一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知圓C：x2+y2?2x?4y?4=0，P為直線l：x+y+2=0上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，當(dāng)四邊形PACB的面積最小時，直線AB的方程為( )
A. 5x+5y+3=0B. 5x?5y+3=0C. 5x+5y?3=0D. 5x?5y?3=0
2.如圖，已知點P在正方體ABCD?A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDC=60°.設(shè)D′P=λD′B，則λ的值為( )
A. 12B. 22C. 2?1D. 3?2 2
3.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，過焦點F作圓x2+y2=b2的一條切線l交橢圓E的一個交點為A，切點為Q，且OA+OF=2OQ(O為坐標(biāo)原點)，則橢圓E的離心率為( )
A. 53B. 33C. 63D. 32
4.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.設(shè)r是f(x)=x2+x?1=0(x>0)的根，選取x0=1作為r的初始近似值，過點(x0,f(x0))做曲線y=f(x)的切線l，l與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x1，稱x1是r的一次近似值；過點(x1,f(x1))做曲線y=f(x)的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值.則x2=( )
A. 23B. 1120C. 1321D. 1727
5.以雙曲線x24?y29=1的右頂點為圓心，焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線y2=2px(p>0)于A，B兩點.已知|AB|=4 2，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為( )
A. 43或4B. 53C. 53或4D. 4
6.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=?1，nan=Sn+n(n?1)(n∈N?)，設(shè)bn=(?1)nan，則數(shù)列{bn}的前51項之和為( )
A. ?149B. ?49C. 49D. 149
7.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)+f(x)=e?x，f(0)=0，則不等式(e2x?1)f(x)0，則f(a)>f(b)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等比數(shù)列{an}中，a4?a7=?512，a3+a8=124，公比q∈Z，則a10= ______．
13.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P、Q分別在A1B1、C1D1上，且A1P=2PB1，C1Q=2QD1，則異面直線BP與DQ所成角的余弦值為______．
14.已知兩定點M(4,0)，N(1,0)，動點P滿足MN?MP=6|NP|，則動點P的軌跡方程為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知圓心為M(?2,?1)的圓經(jīng)過點(1,3)，直線l：x+my+m=0．
(1)求圓M的方程；
(2)寫出直線l恒過定點Q的坐標(biāo)，并求直線l被圓M所截得的弦長最短時m的值及最短弦長．
16.(本小題12分)
如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
(1)證明：PB//平面AEC；
(2)若AB=AD=2，AP=4，求平面ADE與平面ACE夾角的余弦值．
17.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實常數(shù))．
(1)若a=?2，求證：f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；
(2)當(dāng)a=?4時，求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值與最小值及相應(yīng)的x值；
(3)若存在x∈[1,e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求實數(shù)a的取值范圍．
18.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an?4．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{nSn}的前n項和Tn．
19.(本小題12分)
已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(?2 5,0)，離心率 5．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記雙曲線C的右頂點為A，過點A作直線MA，NA與C的左支分別交于M，N兩點，且MA⊥NA，AD⊥MN，D為垂足．
(i)證明：直線MN恒過定點P，并求出點P坐標(biāo)．
(ii)判斷是否存在定點Q，使得|DQ|為定值，若存在說明理由并求出Q點坐標(biāo)．
參考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.A
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BC
11.ACD
12.512
13.45
14.x24+y23=1
15.解：(1)∵圓M的半徑r= (1+2)2+(3+1)2=5，
∴圓M的方程為(x+2)2+(y+1)2=25；
(2)∵直線l的方程為x+my+m=0，∴x+m(y+1)=0，
令x=0y+1=0，解得：x=0y=?1，∴定點Q的坐標(biāo)為(0,?1)，
∵(0+2)2+(?1+1)2=40，解得x>1，
∴f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)．
(2)∵a=?4，∴f(x)=?4lnx+x2，∴f′(x)=?4x+2x=2x2?2x，
令f′(x)>0解得x> 2，令f′(x)lnx在x∈[1,e]恒成立，∴a≥x2?2xx?lnx，
即存在x∈[1,e]時，a≥x2?2xx?lnx，
令g(x)=x2?2xx?lnx，g′(x)=(x?1)(x+2?2lnx)(x?lnx)2，
令?(x)=x+2?2lnx,?′(x)=1?2x=x?2x，
令?′(x)=x?2x>0，解得2

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