1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n+1，則a1=( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
2.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，若a2，3a1，a3成等差數(shù)列，則q=( )
A. 12B. 2C. 13D. 3
3.已知圓C1：(x+1)2+y2=4和圓C2：(x?3)2+(y?3)2=9，則圓C1和圓C2的公切線的條數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知平面α//β,n=(?1,2,3)為平面α的一個(gè)法向量，則下列向量是平面β的一個(gè)法向量的是( )
A. (1,?2,3)B. (3,?1,2)C. (1,2,?3)D. (?12,1,32)
5.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=2，則異面直線AC與DB1所成角的余弦值為( )
A. 53B. 54C. 55D. 2 55
6.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線x?y=0與E交于M，N兩點(diǎn)，若四邊形MF1NF2的面積等于ab，則E的離心率為( )
A. 22B. 33C. 55D. 105
7.在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，AB=AC=2，PA=3，則直線CP與平面DEF所成角的正弦值為( )
A. 513B. 613C. 3 1313D. 2 1313
8.已知直線l1：x?my=0與l2：mx+y?2m+4=0交于點(diǎn)P(x0,y0)，則x0+y0的最大值為( )
A. 1B. 2 5C. ?1+ 5D. ?1+ 10
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知圓O：x2+y2=4，動直線l過點(diǎn)P(3,0)，下列結(jié)論正確的是( )
A. 當(dāng)l與圓O相切于點(diǎn)E時(shí)，|PE|= 5
B. 點(diǎn)P到圓O上點(diǎn)的距離的最大值為5
C. 點(diǎn)P到圓O上點(diǎn)的距離的最小值為2
D. 若點(diǎn)Q(0,1)在l上，l與圓O相交于點(diǎn)M，N，則|MN|= 31010
10.已知數(shù)列{an}滿足a1=12,2an+1?anan+1?an=0，則( )
A. {1an?1}是等比數(shù)列B. {an}是單調(diào)遞減數(shù)列
C. a5=116D. 數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+n?1
11.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，E分別為棱AD，DD1的中點(diǎn)，G為線段B1C上的一個(gè)動點(diǎn)，則( )
A. 三棱錐D?EFG的體積為定值
B. 存在點(diǎn)G，使得平面EFG/?/平面AB1D1
C. 當(dāng)CG=13CB1時(shí)，直線EG與BC1所成角的余弦值為3 520
D. 當(dāng)G為B1C的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐A1?EFG的外接球的表面積為22π3
12.已知拋物線C：y2=2px，點(diǎn)P(1,?2)在C上，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則( )
A. k1+k2=?2B. k1+k2=?4
C. k1k2的取值范圍為(?∞,0)∪(0,4)D. k1k2的取值范圍為(?∞,0)∪(0,1)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知直線l1：(t2?1)x+y?1=0和l2：x+(t?1)y+2=0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)t= ______．
14.已知拋物線y2=8x上一點(diǎn)M(x0,2)，則點(diǎn)M到該拋物線的焦點(diǎn)F的距離為______．
15.已知雙曲線C：x23?y2=1，直線l：y=x+m被C所截得的弦長為4 6，則m= ______．
16.在數(shù)列{an}與{bn}中，已知a1=b1=2，an+1+bn+1=2(an+bn)，an+1bn+1=2anbn，則1a2023+1b2023= ______．
四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題12分)
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+2a2=20，S3=24．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn=1Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tm≤511，求正整數(shù)m的最大值．
18.(本小題12分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且C的離心率為2，焦距為4．
(1)求C的方程；
(2)直線l過點(diǎn)F2且與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為3 2，求l的方程．
19.(本小題12分)
已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，AB=AA1=2，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱AA1，CC1的中點(diǎn)．
(1)證明：四邊形EBFD1為菱形．
(2)求點(diǎn)C到平面BDF的距離．
20.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=8,Sn=2Sn?1?n2+3n+2(n≥2)．
(1)證明{an?2n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn=(?1)n?an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
21.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PO⊥平面ABCD，垂足為O，E為PC的中點(diǎn)，OE/?/平面PAD．
(1)證明：PC=PD．
(2)若AD=2AB=4，OC⊥OD，PC與平面ABCD所成的角為60°，求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．
22.(本小題12分)
已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(1, 32)和A(?2,0)．
(1)求E的方程；
(2)若點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)是E上不同的兩點(diǎn)，且AM?AN=0，證明直線MN過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
參考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.C
6.D
7.B
8.D
9.AB
10.ABD
11.ABD
12.BC
13.1或?2
14.52
15.±3 2
16.1
17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由a1+2a2=20，S3=24，可得3a1+2d=20，3a1+3d=24，
解得a1=d=4，
所以an=4n．
(2)由(1)得Sn=(4+4n)n2=2n(n+1)，
所以bn=1Sn=12n(n+1)=12(1n?1n+1)，
所以Tn=12(1?12+12?13+?+1n?1n+1)=12(1?1n+1)．
令12(1?1m+1)≤511，解得m≤10，
即正整數(shù)m的最大值為10．
18.解：(1)因?yàn)殡p曲線C的離心率為2，焦距為4，
所以ca=22c=4，
解得a=1，c=2，
則b2=c2?a2=3，
故C的方程為x2?y23=1；
(2)由(1)知F2(2,0)，
易知直線l的斜率不為0，
不妨設(shè)直線l的方程為x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立x2?y23=1x=my+2，消去x并整理得(3m2?1)y2+12my+9=0，
此時(shí)3m2?1≠0，Δ=144m2?4×9(3m2?1)=36(m2+1)>0，
由韋達(dá)定理得y1+y2=?12m3m2?1,y1y2=93m2?1，
所以S△OAB=12×2|y1?y2|= (?12m3m2?1)2?4×93m2?1=6 m2+1(3m2?1)2，
因?yàn)椤鱋AB的面積為3 2，
所以6 m2+1(3m2?1)2=3 2，
整理得9m4?8m2?1=0，
解得m2=1，
即m=±1．
則直線l的方程為x+y?2=0或x?y?2=0．
19.(1)證明：取CD的中點(diǎn)G，連接AC，AG.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形且∠ABC=60°，所以AG⊥AB，
易知AB，AG，AA1兩兩垂直．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AG，AA1的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由AB=AA1=2，可得B(2,0,0)，C(1, 3,0)，D(?1, 3,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(1, 3,1)，D1(?1, 3,2)．
則BF=(?1, 3,1)=ED1，BE=(?2,0,1)=FD1，
所以BF//ED1，BE/?/FD1，且BF|= 5=|BE|，
所以四邊形EBFD1為菱形．
(2)解：設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z)，
因?yàn)锽F=(?1, 3,1)，BD=(?3, 3,0)，
所以BF?n=0BD?n=0，即?x+ 3y+z=0?3x+ 3y=0，x=1，得n=(1, 3,?2)，
又BC=(?1, 3,0)，
所以點(diǎn)C到平面BDF的距離d=|BC?nn|=22 2= 22．
20.解：(1)證明：由Sn=2Sn?1?n2+3n+2(n≥2,n∈N?)，an=Sn?Sn?1，即Sn?1=Sn?an，
得Sn=2an+n2?3n?2(n≥2)，
令n=1，可得a1=S1=2a1+1?3?2，解得a1=4，
n=3時(shí)，a1+a2+a3=2a3+9?9?2，可得a3=14，
當(dāng)n≥3時(shí)，Sn?1=2an?1+(n?1)2?3(n?1)?2，
兩式相減得an=2an?1?2n+4(n≥3)，
則an?2n=2[an?1?2(n?1)](n≥3)．
又a2?2×2=2(a1?2×1)，a3?6=2(a2?4)，
所以{an?2n}是以a1?2=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以an?2n=2n，即an=2n+2n．
(2)由(1)知，bn=(?2)n+2n?(?1)n，
所以Tn=(?2)[(?2)n?1]?2?1+[2×(?1)1+4×(?1)2+?+2n×(?1)n]．
設(shè)Pn=2×(?1)1+4×(?1)2+?+2n×(?1)n，
則?Pn=2×(?1)2+4×(?1)3+?+2n×(?1)n+1，
所以2Pn=2×(?1)1+2×(?1)2+?+2×(?1)n?2n×(?1)n+1，
即Pn=(?1)1+(?1)2+?+(?1)n?n×(?1)n+1，
由{(?1)n}是首項(xiàng)為?1，公比為?1的等比數(shù)列，
可得Pn=(?1)[1?(?1)n]2?n×(?1)n+1=?12?2n+12×(?1)n+1，
所以Tn=?23?(?2)n+13?12?2n+12(?1)n+1=?76?2n+2+6n+36×(?1)n+1．
21.(1)證明：如圖，

取CD的中點(diǎn)F，連接EF，PF，OF，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，
所以EF/?/PD，又EF?平面PAD，PD?平面PAD，
所以EF/?/平面APD，因?yàn)镺E/?/平面PAD，OE∩EF=E，
所以平面OEF/?/平面PAD，因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面OEF=OF，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以O(shè)F//AD，因?yàn)锳D⊥CD，
所以O(shè)F⊥CD，由PO⊥平面ABCD，
可得PO⊥CD，又PO∩OF=O，
所以CD⊥平面POF，從而PF⊥CD，又CD的中點(diǎn)為F，
所以PF是CD的中垂線，
所以PC=PD；
(2)解：因?yàn)镻O⊥平面ABCD，所以PC與平面ABCD所成的角為∠PCO=60°，
又OC⊥OD，AB=CD=2，所以PO= 3CO= 6，
作OG⊥BC，垂足為G，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(?1,1,0),B(1,?3,0),C(1,1,0),P(0,0, 6)，
所以BC=(0,4,0),PC=(1,1,? 6),DC=(2,0,0)，
設(shè)平面PBC的法向量為m=(x1,y1,z1)，
則m?BC=4y1=0,m?PC=x1+y1? 6z1=0,令z1=1，得m=( 6,0,1)，
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x2,y2,z2)，
則n?DC=2x2=0,n?PC=x2+y2? 6z2=0,令y2= 6，得n=(0, 6,1)，
設(shè)平面PBC與平面PCD的夾角為θ，
則csθ=|cs?m,n?|=|m?n||m|?|n|=1 7× 7=17，
即平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為17．
22.解：(1)因?yàn)闄E圓E經(jīng)過點(diǎn)P(1, 32)和A(?2,0)，
所以a=21a2+34b2=1，
解得a=2，b=1，
則橢圓E的方程為x24+y2=1；
(2)證明：當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，
不妨設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
聯(lián)立y=kx+mx24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2?4=0，
此時(shí)Δ=64k2m2?4(1+4k2)(4m2?4)=?16(m2?1?4k2)>0，
解得m2

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