七大常考點(diǎn)：知識(shí)梳理+典例剖析
四大模型技巧點(diǎn)撥+舉一反三
精選5道期末真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練
考點(diǎn)1　三角形的三邊關(guān)系1. 如圖①， M 是鐵絲 AD 的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成△ ABC ，且∠ B ＝30°，∠ C ＝100°，如圖②，則下列說(shuō)法正確的是(　C　)
A. 點(diǎn) M 在 AB 上 B. 點(diǎn) M 在 BC 的中點(diǎn)處C. 點(diǎn) M 在 BC 上，且距點(diǎn) B 較近，距點(diǎn) C 較遠(yuǎn)D. 點(diǎn) M 在 BC 上，且距點(diǎn) C 較近，距點(diǎn) B 較遠(yuǎn)
2. [2024杭州期末]圓圓要用一根筆直的鐵絲從兩處彎曲后圍成一個(gè)三角形.如圖，鐵絲 AB 的長(zhǎng)度為1 m，圓圓從 M ， N 兩處彎曲，其中 AM ＜ AN ，她不能成功的是(　D　)
考點(diǎn)2　三角形的重要線段3. 如圖， CD ⊥ AD 于點(diǎn) D ，已知∠ ABC 是鈍角，則(　B　)
4. 如圖， AD 是△ ABC 的中線， AB ＝4， AC ＝3.若△ ACD 的周長(zhǎng)為8，則△ ABD 的周長(zhǎng)為 ?.
考點(diǎn)3　三角形的內(nèi)角和5. [2023聊城中考]如圖，分別過(guò)△ ABC 的頂點(diǎn) A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，則∠ ACB 的度數(shù)為(　B　)
6. 如圖，在△ ABC 中，∠ A ＝70°，∠ C ＝30°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于點(diǎn) D ， DE ∥ AB ，交 BC 于點(diǎn) E ，則∠ BDE 的度數(shù)是(　B　)
考點(diǎn)4　利用三角尺解三角形外角7. 一副三角尺如圖所示擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是(　B　)
8. [2023十堰中考]一副三角尺按如圖所示放置，點(diǎn) A 在 DE 上，點(diǎn) F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，則∠ DFC ＝ ?.
考點(diǎn)5　多邊形的邊和角的相關(guān)計(jì)算9. 【新考向·傳統(tǒng)文化】[2023蘭州中考]如圖①是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中，如圖②是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1＝(　A　)
10. [2023銅仁期中]如圖，奇奇先從點(diǎn) A 出發(fā)前進(jìn)4 m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)4 m，又向右轉(zhuǎn)15°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn) A 時(shí)，一共走了 m.
考點(diǎn)6　三角形的穩(wěn)定性
11. 下列多邊形具有穩(wěn)定性的是(　D　)
12. [2023吉林中考]如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是 ?.
考點(diǎn)7　三角形的折疊問(wèn)題13. [2023淄博期末]如圖，將△ ABC 沿 DE ， EF 翻折，頂點(diǎn) A ， B 均落在點(diǎn) O 處，且 EA 與 EB 重合于線段 EO ，若∠ CDO ＋∠ CFO ＝100°，則∠ C 的度數(shù)為(　A　)
14. 【新考法·操作探究】如圖，一個(gè)四邊形紙片 ABCD ，∠ B ＝∠ D ＝90°，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn) B 落在 AD 邊上的點(diǎn)B'處， AE 是折痕.如果∠ C ＝130°，求∠ AEB 的度數(shù).
類型1　8字形模型1. 如圖， AB 和 CD 相交于點(diǎn) O ，∠ A ＝∠ C ，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是(　D　)
2. 【學(xué)科素養(yǎng)·模型觀念】如圖①，已知線段 AB ， CD 相交于點(diǎn) O ，連接 AC ， BD ，我們把形如這樣的圖形稱為“8字形”.
(1)求證：∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D ；
(1)證明：在△ AOC 中，∠ A ＋∠ C ＝180°－∠ AOC . 在△ BOD 中，∠ B ＋∠ D ＝180°－∠ BOD . ∵∠ AOC ＝∠ BOD ，∴∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D .
(2)如圖②，若∠ CAB 和∠ BDC 的平分線 AP 和 DP 相交于點(diǎn) P ，與 CD ， AB 分別相交于點(diǎn) M ， N .
①以線段 AC 為邊的“8字形”有 個(gè)，以點(diǎn) O 為交點(diǎn)的“8字形”有 個(gè)；
②若∠ B ＝100°，∠ C ＝120°，求∠ P 的度數(shù).
(2)解：②∵在△ AMC 和△ DMP 中，∠ C ＋∠ CAM ＝∠ P ＋∠ PDM ，在△ BDN 和△ PAN 中，∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PAN ，
∴∠ C ＋∠ CAM ＋∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PDM ＋∠ P ＋∠ PAN ＝2∠ P ＋∠ PDM ＋∠ PAN . ∵ AP 平分∠ BAC ， DP 平分∠ BDC ，∴∠ CAM ＝∠ PAN ，∠ BDN ＝∠ PDM ，∴∠ C ＋∠ B ＝2∠ P ，即120°＋100°＝2∠ P ，∴∠ P ＝110°.
類型2　飛鏢模型3. 如圖，∠ ABD ，∠ ACD 的平分線交于點(diǎn) P ，若∠ A ＝48°，∠ D ＝10°，則∠ P 的度數(shù)為(　A　)
4. [2023秦皇島期中]一個(gè)零件的形狀如圖中陰影部分.按規(guī)定∠ A 等于90°， ∠ B ，∠ C 分別等于29°和21°的零件是合格零件，檢驗(yàn)人員量得∠ BDC＝141°，就斷定這個(gè)零件不合格.你能說(shuō)明理由嗎？
解：理由：如圖，延長(zhǎng) BD 交 AC 于點(diǎn) E . 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，∠ CED ＝∠ A ＋∠ B ，∠ BDC ＝∠ CED ＋∠ C ，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝90°＋29°＋21°＝140°，
∴檢驗(yàn)人員量得∠ BDC ＝141°，可斷定這個(gè)零件不合格.
5. 【新考向·開放性問(wèn)題】如圖，在四邊形 ABCD 中，∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°，求∠ BCD 的度數(shù).
下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時(shí)得到的解決問(wèn)題的三種方法：方法一：作射線 AC ；方法二：延長(zhǎng) BC 交 AD 于點(diǎn) E ；方法三：連接 B D. 請(qǐng)選擇上述一種方法，求∠ BCD 的度數(shù).
解：選擇方法一：如圖①，作射線 AC 并在線段 AC 的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn) E .
∵∠ BCE 是△ ABC 的外角，∴∠ BCE ＝∠ B ＋∠ BAE . 同理可得∠ DCE ＝∠ D ＋∠ DAE ，∴∠ BCD ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝∠ B ＋∠ BAE ＋∠ D ＋∠ DAE ＝∠ B ＋∠ BAD ＋∠ D .
∵∠ BAD ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°，∴∠ BCD ＝105°.
∵∠ BED 是△ ABE 的外角，∴∠ BED ＝∠ B ＋∠ A .
同理可得∠ BCD ＝∠ BED ＋∠ D ，∴∠ BCD ＝∠ B ∠ A ＋∠ D . ∵∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°.
選擇方法二：如圖②，延長(zhǎng) BC 交 AD 于點(diǎn) E .
選擇方法三：如圖③，連接 BD . 在△ ABD 中，∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ADB ＝180°，∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ CBD ＋∠ ADC ＋∠ BDC ＝180°，∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°－∠ CBD －∠ BDC . 在△ BCD 中，∠ BCD ＝180°－∠ CBD －∠ BDC ，∴∠ BCD ＝∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC .
∵∠ A ＝55°，∠ ABC ＝30°，∠ ADC ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°.
類型3　角內(nèi)翻模型6. 把△ ABC 沿 EF 對(duì)折，折疊后的圖形如圖所示，∠ A ＝60°，∠1＝96°，則∠2 的度數(shù)為(　B　)
7. 如圖，將△ ABC 紙片沿 DE 折疊，使點(diǎn) A 落在點(diǎn)A'處，且BA'平分∠ ABC ，CA'平分∠ ACB ，若∠BA'C＝120°，則∠1＋∠2的度數(shù)為(　D　)
8. 【新考法·操作探究】如圖，在△ ABC 中，∠ C ＝46°，將△ ABC 沿直線 l 折疊，使點(diǎn) C 落在點(diǎn) D 的位置，則∠1－∠2的度數(shù)是(　B　)
9. 【思想方法分類討論】[2024邢臺(tái)期末]如圖，在△ ABC 中，∠ A ＝64°，∠ B ＝90°，∠ C ＝26°.點(diǎn) D 是 AC 邊上的定點(diǎn)，點(diǎn) E 在 BC 邊上運(yùn)動(dòng)，沿 DE 折疊△ CDE ，點(diǎn) C 落在點(diǎn) G 處.當(dāng)△ DEG 的三邊與△ ABC 的三邊有一組邊平行時(shí)，∠ ADG ＝ ? ?.
26°或38°或52°或64°或116°或142°　
點(diǎn)撥：如圖①，當(dāng) DE ∥ AB 時(shí)， DE ⊥ CG .
∵∠ DGC ＝∠ C ＝26°，∴∠ ADG ＝∠ DGC ＋∠ C ＝52°.
如圖②，當(dāng) DG ∥ AB ，且點(diǎn) G 在 BC 下方時(shí)，∠ ADG ＝180°－∠ A ＝180°－64°＝116°.
如圖③，當(dāng) DG ∥ BC 時(shí)，∠ ADG ＝∠ C ＝26°.
如圖④，當(dāng) EG ∥ AC 時(shí)，∠ ADG ＝∠ G ＝∠ C ＝26°.
如圖⑤，當(dāng) EG ∥ AB ，且點(diǎn) G 在 BC 上方時(shí)，∠ CFE ＝∠ A ＝64°，∠ CEG ＝∠ B ＝90°.由折疊的性質(zhì)可知， ∠ DEG ＝∠ DEC ＝45°，∠ EDG ＝∠ CDE ，
∴∠ EDF ＝∠ C ＋∠ DEC ＝26°＋45°＝71°，
∴∠ CDE ＝180°－∠ EDF ＝109°，
∴∠ ADG ＝∠ EDG －∠ EDF ＝∠ CDE －∠ EDF ＝109°－71°＝38°.
如圖⑥，當(dāng) DG ∥ AB ，且點(diǎn) G 在 BC 上方時(shí)，∠ ADG ＝∠ A ＝64°.
如圖⑦，當(dāng) EG ∥ AB ，且點(diǎn) G 在 BC 下方時(shí)，
∠ GEB ＝∠ B ＝90°，
∴∠ CEG ＝90°.
∵∠ C ＝26°，∴∠ GDE ＝∠ CDE ＝180°－135°－26°＝19°，
∴∠ ADG ＝180°－19°－19°＝142°.
綜上，∠ ADG 的度數(shù)為26°或38°或52°或64°或116°或142°.
(3)如圖③，在△ ABC 中， D 是邊 AB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， E 是邊 AC 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ CBD 的平分線 BO 與∠ BCE 的平分線 CO 交于點(diǎn) O . 寫出∠ A 與∠ BOC 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
易錯(cuò)點(diǎn)一：畫鈍角三角形的高時(shí)出錯(cuò)1.如圖,在△ABC 中,作出邊 AC 上的高 BE
正解:如圖,過(guò)點(diǎn)B作邊AG所在直線的垂線，重足為E
易錯(cuò)點(diǎn)二：確定等腰三角形的邊長(zhǎng)時(shí),易忽略三角形的三邊關(guān)系而出錯(cuò)
2.己知在等腰三角形 ABC 中,其中一邊長(zhǎng)為 4,周長(zhǎng)為 17,則其底邊長(zhǎng)為( ） A.4 B.9 C.4或9 D.不存在
正解:當(dāng)4為腰長(zhǎng)時(shí)，它的底邊長(zhǎng)為17-4-4=9.4+4＜9∴不能構(gòu)成三角形:當(dāng)4為底邊長(zhǎng)時(shí),它的腰長(zhǎng)為(17-4)÷2=+6.5>能構(gòu)成等腰三角形.綜上所述,其底邊長(zhǎng)為 4.故選 A.
易錯(cuò)點(diǎn)三:忽視三角形的形狀而漏解3.在△ABC中，∠ABC=∠C,BD是邊AC上的高，∠ABD=40°求∠C的度數(shù)
易錯(cuò)點(diǎn)四：在處理多邊形的“截角”問(wèn)題時(shí)漏解
4.從如圖所示的五邊形中截去一個(gè)三角形,得到一個(gè)三角形和一個(gè)新多邊形,那么這個(gè)新多邊形的內(nèi)角和等于多少度?請(qǐng)畫圖說(shuō)明
①如圖①,新多邊形為四邊形,則其內(nèi)角和為 360°;②如圖② 新多邊形為五邊形,則其內(nèi)角和為(5-2)x180°=540°
如圖③,新多邊形為六邊形，則其內(nèi)角和為(6-2)x180°=720°
綜上所述,這個(gè)新多邊形的內(nèi)角和等于 360°或540°或720°
1. [2024汕尾期末]下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是(　C　)
2.（2023秋?鞍山期末）圖1是我國(guó)古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶，形狀無(wú)一定規(guī)則，代表一種自然和諧美．圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=( ____ )度．A.270° B.300° C.360° D.400°
【解析】解：由多邊形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360度．故選：C．
3. [2024佛山期末]在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的是(　D　)
4.（2023秋?鞍山期末）如圖，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，將△ADC沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，若DE∥AB，則∠ADE的度數(shù)為 ______ ．
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=30°，∴∠BAC=110°，由折疊的性質(zhì)得，∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，∵DE∥AB，∴∠BAE=∠E=30°，∴∠CAD=40°，∴∠ADE=∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°，
5.（2023秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，A，B分別是∠MON兩邊OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)(均不與點(diǎn)O重合)．(1)如圖1，當(dāng)∠MON=58°時(shí)，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分線交于點(diǎn)C，則∠ACB=　　°；(2)如圖2，當(dāng)∠MON=n°時(shí)，∠OAB，∠OBA的平分線交于點(diǎn)D，則∠ADB=　　°(用含n的式子表示)；(3)如圖3，當(dāng)∠MON=α(α為定值，0°＜α＜90°)時(shí)，BE是∠NBA的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)F．隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)，∠F的大小會(huì)改變嗎？如果不會(huì)，求出∠F的度數(shù)(用含α的式子表示)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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