說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1為第1頁至第2頁，第II卷為第3頁至第4頁.試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（共60分）
一?單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1. 集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）
A. B.
C. D.
2. 命題“都有”的否定是（）
A. 不存在
B. 存在
C. 存在
D. 對(duì)任意的
3. 下列圖象中，以為定義域，為值域的函數(shù)是（）
A. B.
C. D.
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 已知函數(shù)，則的值等于（）
A. 11B. 2C. 5D.
6. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A. B. C. D.
7. 已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則的值為（）
A. 1B. C. -1D. 2
8. 已知函數(shù)的定義域與值域均為，則實(shí)數(shù)的取值為（）
A. -4B. -2C. 1D. 1
二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）
9. 若則以下結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)、滿足，則（）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最小值D. 有最大值
11. 若定義域?yàn)镽函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且對(duì)任意，，已知恒成立，則下列正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 在R上是增函數(shù)
C.
D. 關(guān)于x不等式的解集為
12. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則稱為的“界函數(shù)”.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 的值域?yàn)?br>C. 在上單調(diào)遞減D. 函數(shù)為偶函數(shù)
第II卷（非選擇題，共90分）
三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）
13. 已知集合，且，則m的值為________．
14. 函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
15. 函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
16. 設(shè)是定義在R上奇函數(shù)，對(duì)任意的，，，滿足：，若，則不等式的解集為___________.
四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 已知集合，
（1）時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18. 已知冪函數(shù)，且函數(shù)在上單增
（1）函數(shù)解析式；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 已知函數(shù)，且，
（1）求解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.
20. 一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為 ，一位顧客到店里購買克黃金，售貨員先將砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客
（1）試分析顧客購得的黃金是小于，等于，還是大于？為什么？
（2）如果售貨員又將的砝碼放在天平左盤中，然后取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡，請(qǐng)問要使得三次黃金質(zhì)量總和最小，商家應(yīng)該將左臂長和右臂長之比，設(shè)置為多少？請(qǐng)說明理由.
21. 已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.
（1）求實(shí)數(shù)取值集合；
（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22. 已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù).且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中
高一數(shù)學(xué)試題
2023.11
說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1為第1頁至第2頁，第II卷為第3頁至第4頁.試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（共60分）
一?單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1. 集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得解.
【詳解】解：圖中陰影部分所表示的集合為.
故選：B
2. 命題“都有”的否定是（）
A. 不存在
B. 存在
C. 存在
D. 對(duì)任意的
【答案】B
【解析】
【分析】由全稱命題的否定：將任意改為存在并否定原結(jié)論，即可寫出原命題的否定.
【詳解】由全稱命題否定為特稱命題，
∴原命題的否定為：存在.
故選：B
3. 下列圖象中，以為定義域，為值域的函數(shù)是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，依次分析選項(xiàng)中的圖象，結(jié)合定義域值域的范圍即可得答案．
【詳解】對(duì)于，其對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域不是，錯(cuò)誤；
對(duì)于，圖象中存在一部分與軸垂直，即此時(shí)對(duì)應(yīng)的值不唯一，該圖象不是函數(shù)的圖象，錯(cuò)誤；
對(duì)于，其對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蚴?，正確；
對(duì)于，圖象不滿足一個(gè)對(duì)應(yīng)唯一的，該圖象不是函數(shù)的圖象，錯(cuò)誤；
故選：．
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】時(shí)成立，時(shí)如，則，
因此只能是充分不必要條件，
故選：A．
5. 已知函數(shù)，則的值等于（）
A. 11B. 2C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，令求出x即可計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)，令，得，
所以.
故選：C
6. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出定義域，在利用二次函數(shù)單調(diào)性判斷出結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的定義域需要滿足，解得定義域?yàn)椋?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
故選：D.
7. 已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則的值為（）
A. 1B. C. -1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，分別確定與的范圍，代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，再利用即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，有，，
又因?yàn)椋?br>所以，解得：，
又，所以舍去；
當(dāng)時(shí)，有，，
又因?yàn)椋?br>所以，解得：.
故選：B.
8. 已知函數(shù)的定義域與值域均為，則實(shí)數(shù)的取值為（）
A. -4B. -2C. 1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】依題意知的值域?yàn)?，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當(dāng)時(shí)，取得最大值為，進(jìn)而解得.
【詳解】依題意，的值域?yàn)?，且的解集為?br>故函數(shù)的開口向下，，
則方程的兩根為或，
則，，即，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
即，解得：.
故選：A.
二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）
9. 若則以下結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于AB，可利用不等式的性質(zhì)直接判斷；對(duì)于CD，可賦值判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t有，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，若，，，則，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，若，，，則，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)、滿足，則（）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式求出各選項(xiàng)中代數(shù)式的最值，由此可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】設(shè)正實(shí)數(shù)、滿足.
對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由基本不等式可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11. 若定義域?yàn)镽函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且對(duì)任意，，已知恒成立，則下列正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 在R上是增函數(shù)
C.
D. 關(guān)于x的不等式的解集為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性，再逐項(xiàng)判斷即得答案．
【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，
因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
由任意，，恒成立，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是在R上單調(diào)遞增，B正確；
顯然，即的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，A錯(cuò)誤；
對(duì)C，由，得，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由于在R上單調(diào)遞增，，則，
即不等式的解集為，D正確．
故選：BD
12. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則稱為的“界函數(shù)”.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 的值域?yàn)?br>C. 在上單調(diào)遞減D. 函數(shù)為偶函數(shù)
【答案】BCD
【解析】
【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判斷A、B、C，再求出的解析式，畫出圖象，即可判斷D.
【詳解】根據(jù)題意，由，解得，
，
所以，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，
所以，即的值域?yàn)?，故B、C正確；
因?yàn)椋?br>則的圖象如下所示：
由圖可知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確；
故選：BCD
第II卷（非選擇題，共90分）
三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）
13. 已知集合，且，則m的值為________．
【答案】或##3或1
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，解方程再驗(yàn)證得到答案.
【詳解】，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，不滿足互異性，排除；時(shí)，，滿足條件.
綜上所述：或.
故答案為：或.
14. 函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)且分母不為零得到不等式組，解得即可.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，則等價(jià)于，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案：
15. 函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義，解不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：．
16. 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，，，滿足：，若，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】令，可得函數(shù)利是定義在上的偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，原不等式等價(jià)于，分析可得答案.
【詳解】令，
由是定義在上的奇函數(shù)，
可得是定義在上的偶函數(shù)，
由對(duì)任意的，，，滿足：，
可得在上單調(diào)遞增，
由，可得，
所以在上單調(diào)遞減，且，
不等式，即為，即，
可得或，即或
解得或.
故答案為：.
四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 已知集合，
（1）時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入求集合，根據(jù)交集的定義即可得解；
（2），即，分和兩種情況討論，從而可得出答案.
【小問1詳解】
解：若，則，
又，
所以；
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，
則，解得，
此時(shí)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，
則，解得，
綜上所述，
所以若，m的取值范圍為.
18. 已知冪函數(shù)，且函數(shù)在上單增
（1）函數(shù)的解析式；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）冪函數(shù)，有，再由函數(shù)在上單調(diào)遞增，解出的值，得函數(shù)的解析式；
（2）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【小問1詳解】
為冪函數(shù)，則有，解得或，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，符合題意；
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不合題意；
所以.
【小問2詳解】
，函數(shù)定義域?yàn)镽，，
函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若，有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)，且，
（1）求解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增，證明見解析.
【解析】
【分析】（1）依題意可得，，解方程即可得函數(shù)解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義法判斷即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，解得：，，
所以函數(shù)解析式為：.
【小問2詳解】
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：
由（1）知，
取任意、，令，
則
因?yàn)?，所以?br>又，則，，
所以，則，
所以，即，
所以，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
20. 一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為 ，一位顧客到店里購買克黃金，售貨員先將砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客
（1）試分析顧客購得的黃金是小于，等于，還是大于？為什么？
（2）如果售貨員又將的砝碼放在天平左盤中，然后取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡，請(qǐng)問要使得三次黃金質(zhì)量總和最小，商家應(yīng)該將左臂長和右臂長之比，設(shè)置為多少？請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）顧客購得的黃金是大于，理由見詳解
（2）三次黃金質(zhì)量總和要最小，則左臂長和右臂長之比,理由見詳解
【解析】
【分析】（1）設(shè)天平的左臂長為，右臂長，則，售貨員先將的砝碼放在左盤，
將黃金g放在右盤使之平衡；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金g放在左盤使之平衡，
則顧客實(shí)際所得黃金為（g）利用杠桿原理和基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
（2）再一次將的砝碼放在天平左盤，再取黃金g放在右盤使之平衡，加上前兩次利用基本不等式進(jìn)行分析即可.
【小問1詳解】
由于天平兩臂不等長，設(shè)天平左臂長為，右臂長為，且，
先稱得黃金為g，后稱得黃金為g，則
，則，所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，所以
顧客購得的黃金是大于
【小問2詳解】
由（1）再一次將的砝碼放在天平左盤，再取黃金g放在右盤使之平衡，則此時(shí)有
，此時(shí)有，所以三次黃金質(zhì)量總和為：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即
所以三次黃金質(zhì)量總和要最小，則左臂長和右臂長之比.
21. 已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.
（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；
（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知在時(shí)恒成立，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的取值集合；
（2）分析可知，分、兩種情況討論，求出集合，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：由，都有不等式成立，
得在時(shí)恒成立，所以，
因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，.
【小問2詳解】
解：由可得.
①當(dāng)時(shí)，可得或，
因?yàn)槭堑某浞謼l件，則，則，此時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，可得或，
因?yàn)槭浅浞謼l件，則，則，解得，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
22. 已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù).且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和時(shí)的解析式，即可得出時(shí)的解析式，進(jìn)而得出答案；
（2）由的單調(diào)性和奇偶性解不等式，通過參變分離、換元法、構(gòu)造函數(shù)求單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，可求實(shí)數(shù)的范圍．
小問1詳解】
函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，有，．
所以．
【小問2詳解】
因奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，
由在上單調(diào)遞減，故函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，
由，
可得，
故，即，
又注意到，結(jié)合，
知，得：．
令，其中，
任取，
故，
因，則，，，
故，即，
所以在上單調(diào)遞增，得．
又令，則轉(zhuǎn)化為，其中．
要使式子成立，需小于的最小值．
又注意到函數(shù)與函數(shù)均在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增．
故，得，則的范圍為．

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重慶市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析：

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