1. 已知集合，，則（ ）
A B. C. D.
2. 是的（ ）條件.
A. 充要條件B. 充分不必要
C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
3. 若，則角的終邊在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
4. 已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
5. 若函數(shù)則（ ）
A. B. 2C. D. -2
6. 的增區(qū)間為
A. B. C. D.
7. 若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則的所有根之和等于
A. 4B. 5C. 6D. 12
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. （多選）下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若正實數(shù)a，b滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 有最小值B. 有最小值
C. 有最小值4D. 有最小值
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為
B. 若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 冪函數(shù)（）始終經(jīng)過點和
D. 若函數(shù)，則對于任意的，有
12. 若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義城上的任意，，當時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有（ ）
A. B. C. D.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)定義域為___________.
14. 已知扇形的半徑為，圓心角為，則扇形的面積為___________.
15. 已知，則的最小值為___________.
16. 設函數(shù)，若有不相等實數(shù)、、滿足，則的取值范圍是_______.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 記函數(shù)定義域為集合，函數(shù)的值域為.求：
（1），；
（2），.
18. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，.
（1）當時，求函數(shù)的解析式；
（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).
19. 已知函數(shù).
（1）若時，求滿足的實數(shù)的值；
（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
20. 某種出口產(chǎn)品的關稅稅率為，市場價格(單位：千元)與市場供應量(單位：萬件)之間近似滿足關系式：，其中均為常數(shù).當關稅稅率時，若市場價格為千元，則市場供應量約為萬件；若市場價格為千元，則市場供應量約為萬件.
（1）試確定的值.
（2）市場需求量(單位：萬件)與市場價格(單位：千元)近似滿足關系式：，當時，市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格不超過千元時，試確定關稅稅率的最大值.
21. 已知函數(shù)f(x)＝lg2.
（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍．
22. 已知函數(shù)， .
（1）證明：為偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)的圖象與直線沒有公共點，求 a的取值范圍；
（3）若函數(shù)，是否存在 m，使最小值為0.若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
2021-2022學年第一學期八校高一年級聯(lián)合調(diào)研數(shù)學試卷
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.
【詳解】由集合，，
得：，
故選：B
2. 是的（ ）條件.
A. 充要條件B. 充分不必要
C 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】舉特例可說明，推不出，但成立時，一定有成立，由此可判斷答案.
【詳解】取 ，滿足，但推不出，
反之，成立時，一定有成立，
故是的必要不充分條件，
故選：C
3. 若，則角的終邊在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】判斷所處的范圍，即可得答案.
【詳解】由于，
故角的終邊在第一象限，
故選：A
4. 已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得到答案.
【詳解】，，
，，
，，
故選：B
5. 若函數(shù)則（ ）
A. B. 2C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入數(shù)據(jù)計算得到答案.
【詳解】，.
故選：.
【點睛】本題考查了分段函數(shù)值的計算，意在考查學生的計算能力.
6. 的增區(qū)間為
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解定義域，然后結合二次函數(shù)的對稱軸判斷增區(qū)間.
【詳解】因為，所以；
又因為的對稱軸為：，且，所以增區(qū)間為，
故選D.
【點睛】本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，難度一般.對于復合函數(shù)的單調(diào)性問題，在利用“同增異減”的方法判斷的同時也要注意到定義域問題.
7. 若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析出函數(shù)在區(qū)間和上的單調(diào)性，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出，分和，解不等式組和，即可得出的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，所以.
①當時，若，可得，則，可得；
若，可得，則，可得；
②當時，若，可得，則，可得；
若，可得，則，可得.
綜上所述，的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)及不等式的解法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中等題.
8. 已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則的所有根之和等于
A. 4B. 5C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】由題可知函數(shù)的圖像關于對稱，求出時函數(shù)的解析式，然后由韋達定理求解．
【詳解】因為奇函數(shù)，所以圖像關于對稱，
所以函數(shù)的圖像關于對稱，即
當時，，
所以當時，
當時，可得
當時，可得
所以的所有根之和為
故選A
【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及求函數(shù)的解析式，解題的關鍵是得出函數(shù)的圖像關于對稱，屬于一般題．
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. （多選）下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)根式運算法則、根式與分數(shù)指數(shù)冪的運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算法則依次判斷各個選項可求得結果.
【詳解】，錯誤；，正確；
，正確；
，正確.
故選
【點睛】本題考查根式、指數(shù)冪運算、對數(shù)運算法則的應用，屬于基礎題.
10. 若正實數(shù)a，b滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 有最小值B. 有最小值
C. 有最小值4D. 有最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)，得到，求出，由此求出，，，從而可得答案.
【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，所以，，所以，故無最小值，A錯誤；
，故，即無最小值，故B錯誤；
，故有最小值4，C說法正確；
，所以有最小值，故D錯誤，
故選：ABD.
【點睛】本題考查了判斷命題的真假，考查了函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)求值域，屬于基礎題.
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為
B. 若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 冪函數(shù)（）始終經(jīng)過點和
D. 若函數(shù)，則對于任意的，有
【答案】CD
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的解析式，單調(diào)性依次判斷每個選項得到答案.
【詳解】若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為，故錯誤；
函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，錯誤；
冪函數(shù)（）始終經(jīng)過點和，正確；
任意的，，要證，即，
即，即，易知成立，故正確；
故選：.
【點睛】本題考查了冪函數(shù)，意在考查學生對于冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應用.
12. 若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義城上的任意，，當時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】滿足①，是奇函數(shù)，滿足②，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為判斷以下函數(shù)是否滿足這兩個性質(zhì).
【詳解】對于①對于定義域內(nèi)的任意，恒有，即，所以是奇函數(shù)；
對于②對于定義域內(nèi)的任意，，當時，恒有，
在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
對于A：，，，故不是奇函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；
對于 B：是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”；
對于C：是奇函數(shù)，并且在R上是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”；
對于D：，，
所以是奇函數(shù)；
根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，在，都是減函數(shù)，
且在處連續(xù)，所以在上減函數(shù)，
所以是“理想函數(shù)”.
故選：BCD.
【點睛】本題以新定義為背景，考查函數(shù)性質(zhì)的判定，對于常用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性要熟練掌握，判定時可以對函數(shù)解析進行化簡，以減少計算量.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的定義域為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出函數(shù)有意義時滿足的不等式，求得答案.
【詳解】函數(shù)需滿足 ，
解得 且 ，
故函數(shù)的定義域為，
故答案為：
14. 已知扇形的半徑為，圓心角為，則扇形的面積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的面積公式 ，直接求得答案.
【詳解】扇形的半徑為，圓心角為，
故扇形的面積（），
故答案為：
15. 已知，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)得到，利用基本不等式求出的最小值.
【詳解】因為對數(shù)有意義，所以x>0,y>0.
由，可得：，即，當?shù)忍柍闪?br>解得：（舍去）.
所以的最小值為4.
故答案為：4.
16. 設函數(shù)，若有不相等的實數(shù)、、滿足，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，設，令，求得的取值范圍，可得出關于的表達式，進而可求得的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
當時，，則，此時，.
設，令，由圖象可知，
由，可得；
由，可得；
由，可得，.
因此，.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點求代數(shù)式的取值范圍，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 記函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的值域為.求：
（1），；
（2），.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可求得集合 ，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求得集合；
（2）根據(jù)集合的交集以及并集運算，可求得答案.
【小問1詳解】
由函數(shù)可得 ，
即 ，故，
由函數(shù) 可得 ，
即；
【小問2詳解】
由（1）可知：，
.
18. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，.
（1）當時，求函數(shù)的解析式；
（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設時，則，然后根據(jù)已知解析式和偶函數(shù)的性質(zhì)可求出結果，
（2）在上任取，且，然后作差比較的大小即可得結論
【小問1詳解】
設時，則，
由題意得：，
又因為是上的偶函數(shù)，
所以，
得
【小問2詳解】
證明：在上任取，且，則，，
所以，
所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).
19. 已知函數(shù).
（1）若時，求滿足的實數(shù)的值；
（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，，令，則，解得或（舍），再回代解方程即可;
（2）將原問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，只需求出函數(shù)的最小值即可，再利用換元法求的最小值.
【小問1詳解】
由題意可得
令，則
解得或（舍去）
此時：
【小問2詳解】
由，得
令，由得
令，
可得在上單調(diào)遞增，可得
所以
綜上：的取值范圍為
20. 某種出口產(chǎn)品的關稅稅率為，市場價格(單位：千元)與市場供應量(單位：萬件)之間近似滿足關系式：，其中均為常數(shù).當關稅稅率時，若市場價格為千元，則市場供應量約為萬件；若市場價格為千元，則市場供應量約為萬件.
（1）試確定的值.
（2）市場需求量(單位：萬件)與市場價格(單位：千元)近似滿足關系式：，當時，市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格不超過千元時，試確定關稅稅率的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）將關稅稅率，市場價格代入中，列出關于與的方程組求解；
（2）利用，將表示成關于的函數(shù)，然后確定的最大值.
【詳解】(1)由已知得：
，得
解得，.
(2)當時，，
所以，則.
設，則在上單調(diào)遞減，
所以當時，有最小值，
故當時，關稅稅率的最大值為.
【點睛】本題考查函數(shù)的實際應用問題，考查學生分析問題、處理問題的能力，數(shù)學建模的能力，難度一般.解答時，要靈活運用題目所給條件，建立函數(shù)模型然后求解.
21. 已知函數(shù)f(x)＝lg2.
（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0即可．
（3）由已知，得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝lg2(1＋a)，
最小值是f（1）＝lg2.
由題設，得lg2(1＋a)－lg2≥2?，解得－

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