2022-2023學(xué)年江蘇省常州市十校高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．是（    ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】將表示為的形式，由此判斷出其所在象限.【詳解】依題意，，所以是第四象限角.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.2．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，再求集合交集運(yùn)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，所以，所以，.故選：D3．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由，但由，當(dāng)時(shí)，，故“”是“”的充分不必要條件.【詳解】，所以“”是“”的充分條件；又，當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的不必要條件；故選：A4．函數(shù)的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】采用排除法：先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A；根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)排除選項(xiàng)B；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)C，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)A；因?yàn)楫?dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故排除選項(xiàng)B；又當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故排除選項(xiàng)C，綜上可知：正確的為選項(xiàng)D，故選：D.5．奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即可．【詳解】∵奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且∴函數(shù)在上為增函數(shù)，且∴不等式等價(jià)于或即或，解得或故選：D．6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增的.設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)變形，然后由對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較，大小，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合中間1比較與前面對(duì)數(shù)的大小后，再由函數(shù)單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增的，所以，所以，故選：B．7．已知函數(shù) 的最小值為，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式即可每一段上函數(shù)的最值，進(jìn)而可得的最值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)最小值為，要使的最小值為，則,當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為，不滿足的最小值為，綜上故選：A8．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸福”，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識(shí)日益增強(qiáng).某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】設(shè)該污染物排放前過濾的次數(shù)為，由題意，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得，根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】解：設(shè)該污染物排放前過濾的次數(shù)為，由題意，即，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，即該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為8次.故選：C. 二、多選題9．下列不等式中正確的有（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】利用特殊值法可判斷AD選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷B選項(xiàng)；利用不等式的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，，則，D錯(cuò).故選：BC.10．下面命題正確的是（    ）A．“”是“”的必要不充分條件B．如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則或C．函數(shù)且恒過定點(diǎn)D．“”是“一元二次方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根”的充要條件【答案】ABD【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；由一元二次方程解的情況結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷D.【詳解】“”是“”的必要不充分條件，A正確；如果冪函數(shù)的圖像不過原點(diǎn)，則，解得，B正確；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，且恒過定點(diǎn)，C錯(cuò)誤；若，則一定成立，即此時(shí)方程一定有兩不等根，設(shè)為，又，即兩根異號(hào)；若一元二次方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，則，即所以D正確.故選:ABD.11．中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形（如圖）的面積為，圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為（黃金分割比）時(shí)，折扇看上去較為美觀，那么（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用扇形的面積公式以及角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故B正確.故選：BCD12．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，則下列敘述正確的是（    ）A．是偶函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．的值域是 D．的值域是【答案】BD【分析】依題意可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性與值域，距離判斷B、D，再根據(jù)高斯函數(shù)的定義求出的解析式，即可判斷A、D.【詳解】解：因?yàn)?/span>，定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>在定義域上單調(diào)遞增，且，又在上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，故B正確；因?yàn)?/span>，所以，所以，則，則，即，故C錯(cuò)誤；令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以的值域是，故D正確；顯然，即不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；故選：BD 三、填空題13．已知，，則等于________．【答案】【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，進(jìn)而利用商數(shù)關(guān)系可求得的值.【詳解】，，因此，．故答案為：．14．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是___________.【答案】和【分析】先分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后利用二次函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸判斷單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)開口向上，對(duì)稱軸為，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞增；故答案為：和15．若且，則的最小值為______________.【答案】【分析】先由得到，把轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以 ；因?yàn)?/span>，所以解得（舍去，因?yàn)?/span>） ，即， 因此，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．16．已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】或【分析】先明確且可看作由函數(shù)復(fù)合而成，分類討論和，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意可知且可看作由函數(shù)復(fù)合而成，當(dāng)時(shí)，為R上的增函數(shù)，若函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在上單調(diào)遞減，即；當(dāng)時(shí)，為R上的遞減函數(shù)，若函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在上單調(diào)遞增，即，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：或. 四、解答題17．（1）（2）【答案】（1）；（2）0.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】解：原式；【點(diǎn)睛】解：原式.18．已知．（1）的值（2）求的值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可得答案；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，并構(gòu)造齊次式求解即可得答案.【詳解】（1）由，解得．（2）由（1）得，所以19．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.【答案】(1)的值為，函數(shù)的解析式為(2) 【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解；（2）由（1），得，令利用換元法得到，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，綜上所述，的值為，函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，，所以，令，則，，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?/span>.20．已知集合，，．(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分別求出與中不等式的解集，根據(jù)交集的定義與的交集即可；（2）分，以及三種情況，分別求出集合中不等式的解集，根據(jù)為與交集的子集列關(guān)系式，可求出的范圍．【詳解】（1）由等價(jià)于等價(jià)于，∴，解得或，∴或，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得．當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得．綜上，a的取值范圍是．21．已知函數(shù)，為非零常數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；(2)當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，證明見解析(2) 【分析】（1），進(jìn)而結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可；（2）結(jié)合（1）得在為單調(diào)增函數(shù)，再判斷函數(shù)的奇偶性得為奇函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性與奇偶性得對(duì)恒成立，進(jìn)而根據(jù)二次不等式恒成立求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷：函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．證明：時(shí)，對(duì)恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，任取且，，，，   ，，，，，∴，，，，，∴函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)．（2）解：當(dāng)時(shí)， ，∴由（1）知函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又，函數(shù)為上的奇函數(shù)，∴不等式對(duì)恒成立等價(jià)于 對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，，解得 ．實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．22．給定區(qū)間，集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的集合：任意，(1)已知，，求證：；(2)已知，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知，，討論函數(shù)與集合的關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)(3)答案見解析 【分析】（1）由集合定義證明不等式（2）化簡后為不等式恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值問題（3）化簡后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系討論最值【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，即，所以（2）當(dāng)時(shí)，恒成立， 即在上恒成立令，當(dāng)時(shí)故的取值范圍是（3），，若，則當(dāng)，恒成立，即恒成立，即恒成立，記，，當(dāng) ，即時(shí)，，即，又因?yàn)?/span>，所以；當(dāng)，即時(shí)，，恒成立，所以；當(dāng) ，即時(shí)，，即又，所以，綜上所得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，． 

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