一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知數(shù)列，，，，，…，，…，則該數(shù)列的第項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
2．在等差數(shù)列中，，，則（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
3．從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6
4．?dāng)?shù)列滿足，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（2，6）B．（3，2）C．（6，4）D．（4，6）
6．如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，y軸上的點(diǎn)P在橢圓以外，且線段PF1與橢圓E交于點(diǎn)M．若，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列說法不正確的是（ ）
A．若直線的斜率不存在且過點(diǎn)，則直線方程為
B．直線過定點(diǎn)
C．是直線與直線垂直的充要條件
D．是直線與直線平行的充要條件
10．如圖所示，在棱長為1的正方體中，是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．平面平面
B．的最小值為
C．若P為線段的中點(diǎn)，則平面與平面夾角余弦值為
D．若是線段的中點(diǎn)，則到平面的距離為
11．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線的方程為，則（ ）
A．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為
B．若，則
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由所經(jīng)過的路程為8
D．反射光線所在直線的斜率為，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為；若拋物線上一點(diǎn)滿足，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_______．
13．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則_______．
14．已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)最小時(shí)，線段AB的長度為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，．
（1）求圓C的方程；（2）求圓C與圓M：的公共弦長．
16．某部門組織甲、乙兩人同時(shí)破譯一個(gè)密碼，每人能否破譯該密碼相互獨(dú)立．已知甲、乙各自獨(dú)立破譯出該密碼的概率分別為，．
（1）求他們破譯出該密碼的概率；
（2）求甲、乙至多有一人破譯出該密碼的概率；
（3）現(xiàn)把乙調(diào)離，甲留下，并要求破譯出該密碼的概率不低于80%，那么至少需要再增添幾個(gè)與甲水平相當(dāng)?shù)娜耍?br>17．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其對(duì)稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)C和焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)Q，求的值；
（3）若行車道總寬度AB為7米，請(qǐng)計(jì)算通過隧道的車輛限制高度為多少米（精確到0.1米）？
18．在中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，滿足，且．將沿折起到的位置，使，存在動(dòng)點(diǎn)使如圖所示．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)直線與平面所成線面角為，求的最大值．
19．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長．某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如：如圖用一張圓形紙片，按如下步驟折紙：
步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F，此時(shí)圓周上與點(diǎn)F重合的點(diǎn)記為A；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點(diǎn)為P；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕和越來越多的點(diǎn)P．
現(xiàn)取半徑為8的圓形紙片，設(shè)點(diǎn)F到圓心E的距離為，按上述方法折紙．以線段FE的中點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程：
（2）若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作曲線C的切線交圓于不同的兩點(diǎn)M，N．
（?。┰囂角簏c(diǎn)Q到點(diǎn)的距離是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由；
（ⅱ）求面積的最大值．
高二年級(jí)12月教學(xué)交流考試數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題
二、填空題
12． 4 13． 14．
三、解答題
15．（1）記點(diǎn)，線段AB的中垂線方程為：
圓C經(jīng)過A，B，所以圓心C在直線上，又因?yàn)閳A心C在直線上
所以圓心C的坐標(biāo)為（2，－2）
半徑
所以圓C的方程為：
（2）設(shè)圓C與圓M相交與E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則直線EF的方程為：
即：
圓心M到直線EF的距離，
所以，，即公共弦長為，
16．記“甲破譯出密碼”為事件A，“乙破譯出密碼”為事件B，則．
（1）“他們破譯出該密碼”的對(duì)立事件為“他們沒有破譯出該密碼”，即“甲沒有破譯出該密碼”與“乙沒有破譯出該密碼”同時(shí)發(fā)生，所以他們破譯出該密碼的概率為．
（2）“至多有一人破譯出密碼”記為事件C
．
（3）設(shè)共需要個(gè)與甲水平相當(dāng)?shù)娜?，則有．
即，又
，數(shù)列是遞減數(shù)列，所以．
故至少需要再增添3個(gè)與甲水平相當(dāng)?shù)娜耍?br>17．（1）如圖所示．依題意，設(shè)該拋物線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，
所以該拋物線的方程為；
（2），焦點(diǎn)，
設(shè),則,
由解得,,
所以，
（或：）
則；
（3）設(shè)車輛高為h，則，故，
代入拋物線方程，得，解得，
所以通過隧道的車輛限制高度為4.0米．
18．（1）因?yàn)?，則，
且，可得，
將沿DE折起到的位置，始終有，
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>由平面，可得，
且平面BCDE，
所以平面BCDE
（2）由（1）可知，，CD，CB兩兩垂直，翻折后，
由勾股定理得，
以C為原點(diǎn)，直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可知
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
且，
因?yàn)橹本€BM與平面線面角為，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．
19．（1）由題意可知：，
則，
可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，
且，，，所以曲線C的方程．
（2）①聯(lián)立方程，消去y可得，
因?yàn)橹本€與曲線C相切，則，
整理可得，
則原方程為，解得，
將代入直線，可得，
可知
則，為定值；
（2）由題意可知：圓的圓心為，半徑，
因?yàn)榈街本€的距離，
可得，
因?yàn)?，則，
可得，
則面積，
（或：）可知當(dāng)，即時(shí)，
取到最大值8．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
C
C
B
C
C
B
ACD
ABD
ABD

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