試卷滿分150分 考試時間120分鐘
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 下列各數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的概念，根據(jù)無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)即可求解，解答本題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的三種形式：1、開方開不盡的數(shù)， 2、無限不循環(huán)小數(shù)，3、含有的數(shù)．
【詳解】解： ，，0都是有理數(shù)，是無理數(shù)，
故選：C．
2. 古代中國諸多技藝均領(lǐng)先世界．榫卯結(jié)構(gòu)就是其中之一，榫卯是在兩個木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，右圖是某個部件“榫”的實物圖，它的主視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三視圖，根據(jù)從正面看到的圖形即可求解，掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由實物圖可知，從從正面看到的圖形是，
故選：．
3. 中國某汽車公司堅持“技術(shù)為王，創(chuàng)新為本”的發(fā)展理念，憑借研發(fā)實力和創(chuàng)新的發(fā)展模式在電池、電子、乘用車、商用車和軌道交通等多個領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用．2024年第一季度，該公司以萬輛的銷售成績穩(wěn)居新能源汽車銷量榜榜首，市場占有率高達．將銷售數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：萬，
故選：．
4. 下列運算結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了整式的運算，根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方運算、平方差公式分別運算即可判斷求解，掌握整式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
詳解】解：、，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項正確，符合題意；
故選：．
5. 不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再根據(jù)解集在數(shù)軸上表示出來即可判斷求解，正確求出一元一次不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式組的解集為，
∴不等式組的解集在數(shù)軸上表示為，
故選：．
6. 佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個內(nèi)角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的外角，設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，先根據(jù)內(nèi)角和求出正多邊形的邊數(shù)，再用外角和除以邊數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，
則，
∴，
∴這個正多邊形的每個外角為，
故選：．
7. 分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范圍為且，
故選：．
8. 工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請計算出淤泥橫截面的面積（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過點作于，由垂徑定理得，由勾股定理得，又根據(jù)圓的直徑為米可得，得到為等邊三角形，即得，再根據(jù)淤泥橫截面的面積即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點作于，則，，
∵圓的直徑為米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴淤泥橫截面的面積，
故選：．
9. 如圖1，與滿足，，，，我們稱這樣的兩個三角形為“偽全等三角形”如圖2，在中，，點在線段上，且，則圖中共有“偽全等三角形”（ ）
A. 1對B. 2對C. 3對D. 4對
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了新定義，等邊對等角，根據(jù)“偽全等三角形”的定義可得兩個三角形的兩邊相等，一個角相等，且這個角不是夾角，據(jù)此分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，，
在中，，
中，，
在中，
綜上所述，共有4對“偽全等三角形”，
故選：D．
10. 如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（ ）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據(jù)對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．
【詳解】解：由圖可知，
∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點在，之間，
∴，
則，故①錯誤；
設(shè)拋物線與軸另一個交點，
∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，解得，
則，故②錯誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據(jù)拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，
方程兩根為滿足，故④正確；
故選：B．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．
【詳解】解：
故答案為：
12. 反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則點在第______象限．
【答案】四##
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，點所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，進而即可求解．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，
∴
∴
∴點在第四象限，
故答案為：四．
13. 體育老師要在甲和乙兩人中選擇人參加籃球投籃大賽，下表是兩人次訓(xùn)練成績，從穩(wěn)定的角度考慮，老師應(yīng)該選______參加比賽．
【答案】甲
【解析】
【分析】本題考查了方差，分別求出甲乙的方差即可判斷求解，掌握方差計算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：甲的平均數(shù)為，
∴，
乙的平均數(shù)為，
∴，
∵，
∴甲成績更穩(wěn)定，
∴應(yīng)選甲參加比賽，
故答案為：甲．
14. 在等邊三邊上分別取點，使得，連結(jié)三點得到，易得，設(shè)，則
如圖①當時，
如圖②當時，
如圖③當時，
……
直接寫出，當時，______．
【答案】##0.73
【解析】
【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問題，首先根據(jù)已知求得比例為n時，，代入即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，當時，，
則當時，，
故答案為：．
15. 如圖，在正方形紙片中，是邊的中點，將正方形紙片沿折疊，點落在點處，延長交于點，連結(jié)并延長交于點．給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②為的中點；③；④．其中正確結(jié)論是______．（填序號）
【答案】①②③
【解析】
【分析】設(shè)正方形邊長為，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)中點的性質(zhì)得出，即可判斷①，證明四邊形是平行四邊形，即可判斷②，求得，設(shè)，則，勾股定理得出，進而判斷③，進而求得，，勾股定理求得，進而根據(jù)余弦的定義，即可判斷④，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵為的中點，
∴
設(shè)正方形的邊長為，
則
∵折疊，
∴，
∴
∴是等腰三角形，故①正確；
設(shè)，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，即是的中點，故②正確；
∵，
∴
在中，，
∵
∴
設(shè)，則，
∴
∴
∴，，
∴，故③正確；
連接，如圖所示，
∵，，
又
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴，故④不正確
故答案為：①②③．
【點睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
16. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了實數(shù)運算及二次根式的運算，直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
17. 先化簡：，再從1，2，3中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本題考查了分式化簡求值；先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件，將字母的值代入求解．
【詳解】解：
∵
∴當時，原式
18. 康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理．
（1）實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；
②以點為圓心，適當長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；
③順次連結(jié)所得的四點得到四邊形．
于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．
（2）猜想與證明
通過和同伴交流，他們一致認為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．
已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

【答案】（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由作圖結(jié)合對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；
（2）先證明，再證明，可得，從而可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：由作圖可得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
該判定定理是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形與矩形的判定方法是關(guān)鍵．
19. 小明的書桌上有一個型臺燈，燈柱高，他發(fā)現(xiàn)當燈帶與水平線夾角為時（圖1），燈帶的直射寬為，但此時燈的直射寬度不夠，當他把燈帶調(diào)整到與水平線夾角為時（圖2），直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點到桌面的距離．（結(jié)果保留1位小數(shù)）（）
【答案】此時臺燈最高點到桌面的距離為
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；在圖1中，，在圖2中求得，進而根據(jù)燈柱高，點到桌面的距離為，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作交于點，
在圖1中，
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
在中，
在圖2中，過點作于點，
∴
∵燈柱高，
點到桌面的距離為
答：此時臺燈最高點到桌面的距離為．
20. 某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業(yè)額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業(yè)額為元．
（1）求兩種客房每間定價分別是多少元？
（2）酒店對種客房調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果客房不調(diào)價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為多少元？
【答案】（1）種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；
（2）當種客房每間定價為元時，種客房一天的營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為元．
【解析】
【分析】（）設(shè)種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；
（）設(shè)種客房每間定價為元，根據(jù)題意，列出與的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確列出二元一次方程組和二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：設(shè)種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，
由題意可得，，
解得，
答：種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；
【小問2詳解】
解：設(shè)種客房每間定價為元，
則，
∵，
∴當時，取最大值，元，
答：當種客房每間定價為元時，種客房一天營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為元．
21. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）如果方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）或．
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)根的判別式證明恒成立即可；
（2）由題意可得，，，進行變形后代入即可求解．
【小問1詳解】
證明：，
∵無論取何值，，恒成立，
∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
【小問2詳解】
解：∵是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，
解得：或．
22. 遂寧市作為全國旅游城市，有眾多著名景點，為了解“五一”假期同學(xué)們的出游情況，某實踐探究小組對部分同學(xué)假期旅游地做了調(diào)查，以下是調(diào)查報告的部分內(nèi)容，請完善報告：
【答案】（1），，；（2）見解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，樣本估計總體，列表法求概率；
（1）根據(jù)組的人數(shù)除以占比，即可得出總?cè)藬?shù)，進而求得組的人數(shù)，得出的值，根據(jù)的占比乘以，即可得出對應(yīng)圓心角的度數(shù)；
（2）根據(jù)組的人數(shù)補全統(tǒng)條形計圖，
（3）用乘以組的占比，即可求解．
（4）用列表法求概率，即可求解．
【詳解】解：（1）本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，
組的人數(shù)為：，
∴，
∴
B：龍鳳古鎮(zhèn)”對應(yīng)圓心角的度數(shù)是
故答案為：，，．
（2）根據(jù)（1）可得組人數(shù)為人，補全統(tǒng)計圖，如圖所示，
（3）解：
答：請你估計該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)為人；
（4）列表如下，
共有種等可能結(jié)果，其中他們選擇同一景點的情形有種，
∴他們選擇同一景點的概率為
23. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出時，的取值范圍；
（3）過點作直線，交反比例函數(shù)圖象于點，連結(jié)，求的面積．
【答案】（1）反比例函數(shù)表達式為，一次函數(shù)表達式為
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；
（）如圖，設(shè)直線與軸相交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，求出點坐標，再根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征求出點坐標，根據(jù)計算即可求解；
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)表達式為，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函數(shù)表達式為；
【小問2詳解】
解：由圖象可得，當時，的取值范圍為或；
【小問3詳解】
解：如圖，設(shè)直線與軸相交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，則，
∴，
∵點關(guān)于原點對稱，
∴，
∴，，
∴
，
即的面積為．
24. 如圖，是的直徑，是一條弦，點是的中點，于點，交于點，連結(jié)交于點．
（1）求證：；
（2）延長至點，使，連接．
①求證：是的切線；
②若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析，②的半徑為．
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，證明，可得，證明，可得，進一步可得結(jié)論；
（2）①證明，可得是的垂直平分線，可得，，，而，可得，進一步可得結(jié)論；②證明，可得，求解，，結(jié)合，可得答案．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∵，為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小問2詳解】
證明：①∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴是的切線；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半徑為．
【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，弧與圓心角之間的關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
25. 二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）當兩點關(guān)于拋物線對軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；
（3）設(shè)的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，最小值為
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標表示兩點距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）可求，設(shè)，由，得，則
，解得，（舍去），故；
（3）構(gòu)造的外接矩形，把代入得，把代入得，用割補法表示的面積，這個面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題．
【小問1詳解】
解：把，代入得，
，解得，
∴二次函數(shù)的表達式為；
【小問2詳解】
解：如圖：
由得拋物線對稱軸為直線，
∵兩點關(guān)于拋物線對軸對稱，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：先畫一個虛擬圖，過點P作y軸的垂線交y軸于點E，過點Q作x軸的垂線，垂足為點F，兩條垂線交于點G，如圖：
把代入得，
把代入得，
∵，，
，
∵，
∴，
∴當時，的面積取得最小值為．
此時點P在y軸左側(cè)，如下圖
甲
乙
xx小組關(guān)于xx學(xué)校學(xué)生“五一”出游情況調(diào)查報告
數(shù)據(jù)收集
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對象
xx學(xué)校學(xué)生
數(shù)據(jù)的整理與描述
景點
A：中國死海
B：龍鳳古鎮(zhèn)
C：靈泉風(fēng)景區(qū)
D：金華山
E：未出游
F：其他
數(shù)據(jù)分析及運用
（1）本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為______，扇形統(tǒng)計圖中，______，“：龍鳳古鎮(zhèn)”對應(yīng)圓心角的度數(shù)是______；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該學(xué)?？?cè)藬?shù)為人，請你估計該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)；
（4）未出游中的甲、乙兩位同學(xué)計劃下次假期從、、、四個景點中任選一個景點旅游，請用樹狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點的概率．

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