知識點01：一元一次方程的概念
1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．
知識要點：判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：
①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；
②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．
3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解．
4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．
知識點02：等式的性質與去括號法則
1．等式的性質：
等式的性質1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結果仍相等．
等式的性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等．
2．合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．
3．去括號法則：
（1）括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同．
（2）括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相反．
知識點03：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步驟：
(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．
(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．
(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊．
(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．
(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．
知識點04：用一元一次方程解決實際問題的常見類型
1.行程問題：路程＝速度×時間
2.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率
3.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價
4.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量
5.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)
6.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.
【典例精講】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）小紅在解關于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2時，誤將方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解為x＝1，則原方程的解為 x＝﹣1 ．
【思路點撥】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．
【規(guī)范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，
得3+1＝3a﹣2，
解得a＝2，
故原方程為﹣3x+1＝6﹣2，
﹣3x＝3，
解得x＝﹣1．
故答案為：x＝﹣1．
【考點評析】本題考查了一元一次方程的解的定義．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
【變式訓練1-1】（2013秋?南長區(qū)期末）已知x＝2是關于x的方程3x+a＝0的一個解，則a的值是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【思路點撥】方程的解就是能夠使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值，即利用方程的解代替未知數(shù)，所得到的式子左右兩邊相等．
【規(guī)范解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，
解得：a＝﹣6．
故選：A．
【考點評析】本題主要考查了方程解的定義，已知x＝2是方程的解實際就是得到了一個關于a的方程．
【變式訓練1-2】（2021秋?灌云縣校級月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，則a的值是（ ）
A．2B．3C．7D．8
【思路點撥】根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，把方程的解代入方程，可得答案．
【規(guī)范解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，
得：5a﹣8＝20+a，
解得：a＝7，
故選：C．
【考點評析】本題考查了方程的解，把方程的解代入方程，得關于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．
【變式訓練1-3】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）方程2x+▲＝3x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x＝2，那么▲處的常數(shù)是 2 ．
【思路點撥】把x＝2代入已知方程，可以列出關于▲的方程，通過解該方程可以求得▲處的數(shù)字．
【規(guī)范解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，
解得▲＝2．
故答案為：2．
【考點評析】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【變式訓練1-4】（2022秋?鼓樓區(qū)月考）（1）數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的A，B兩點之間距離|AB|＝|a﹣b|．
（2）數(shù)軸上表示1和﹣3兩點之間的距離是 4 ；
數(shù)軸上表示x和﹣2兩點之間的距離是 |x+2| ．
（3）根據(jù)圖象比較大?。簗3+a| ＜ |﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．
（4）若點 A、B、C在數(shù)軸上分別表示數(shù)﹣1、4、c，且點C到點A、B的距離之和是7，則c＝ ﹣2或5 ．
（5）關于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助數(shù)軸探究方程的解的情況，直接寫出結論．
【思路點撥】（2）根據(jù)題中的兩點間的距離公式求解；
（3）根據(jù)圖形中的位置判斷；
（4）根據(jù)題意列方程求解；
（5）分類討論，解方程．
【規(guī)范解答】解：（2）|﹣3﹣1|＝4，|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
故答案為：4，|x+2|；
（3）∵|3+a|＝|﹣3﹣a|，
由圖可得：|3+a|＜|﹣3﹣b|，
故答案為：＜；
（4）由題意得：|c+1|+|c﹣4|＝7，
解得：c＝﹣2或c＝5，
故答案為：﹣2或5；
（5）當x＜n時，m﹣x+n﹣x＝k，
解得x＝，
當n≤x≤m時，x﹣n+m﹣x＝k，
若m﹣n＝k，有無數(shù)個解，
當m﹣n≠k時，無解，
當x＞m時，x﹣m+x﹣n＝k，
解得：x＝．
【考點評析】本題考查了方程的解和數(shù)軸，數(shù)形結合思想和分類討論思想是解題的關鍵．
【典例精講】（2022秋?宿遷期中）下列說法：①若a為有理數(shù)，且a≠0，則a＜a2；②若＝a，則a＝1；③若a3+b3＝0，則a，b互為相反數(shù)；④若|a|＝﹣a，則a＜0．其中正確說法是 ③ （填序號）．
【思路點撥】根據(jù)有理數(shù)的乘方、等式的性質、相反數(shù)、絕對值解決此題．
【規(guī)范解答】解：①根據(jù)有理數(shù)的乘方，當a＝，則，此時，即a＞a2，故①不正確．
②根據(jù)等式的性質，若＝a，則a＝±1，故②不正確．
③根據(jù)有理數(shù)的乘方以及相反數(shù)的定義，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推斷出a3＝（﹣b）3，則a＝﹣b，即a，b互為相反數(shù)，故③正確．
④根據(jù)絕對值的定義，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正確．
綜上：正確的有③．
故答案為：③．
【考點評析】本題主要考查有理數(shù)的乘方、等式的性質、相反數(shù)、絕對值，熟練掌握有理數(shù)的乘方、等式的性質、相反數(shù)、絕對值是解決本題的關鍵．
【變式訓練2-1】（2022秋?宿城區(qū)期中）已知等式a＝b，則下列等式中不一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+1＝b+1B．2a﹣2b＝0C．D．a(chǎn)c＝bc
【思路點撥】根據(jù)等式的性質，等式的兩邊都加或都減同一個整式，結果不變，等式的兩邊都乘以或除以同一個不為零的整式，結果不變，可得答案．
【規(guī)范解答】解；A、兩邊都加1，故A正確，不符合題意；
B、兩邊都乘以2，故B正確，不符合題意；
C、當c＝0時，無意義故C錯誤，符合題意；
D、兩邊都乘以c時，故D正確，不符合題意；
故選：C．
【考點評析】本題考查了等式的性質，注意等式的兩邊都除以同一個不為零的數(shù)，結果不變．
【變式訓練2-2】（2022秋?蘇州期中）如圖，●，■，▲分別表示三種不同的物體，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右邊應放的物體是（ ）
A．■■B．■■■C．■■■■D．■■■■■
【思路點撥】根據(jù)等式的性質得出，●，■，▲三個圖形之間的關系即可．
【規(guī)范解答】解：由題意知，在第二個天平兩邊都加入一個■，對比第一個天平即可得出●＝■■，
把第二個天平中的●換成■■，則▲＝■■■，
∴●▲＝■■■■■，
故選：D．
【考點評析】本題主要考查等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵．
【變式訓練2-3】（2021秋?泰州期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質．
【提出問題】能否借助一架天平和一個10克的砝碼測量出一個乒乓球和一個一次性紙杯的質量？
【實驗探究】準備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個乒乓球的質量相同，每個紙杯的質量也相同），設一個乒乓球的質量是x克，經(jīng)過試驗，將有關信息記錄在下表中：
【解決問題】
（1）將表格中兩個空白部分用含x的代數(shù)式表示；
（2）分別求出一個乒乓球的質量和一個一次性紙杯的質量．
【及時遷移】借助以上相關數(shù)據(jù)以及實驗經(jīng)驗，你能設計一種方案，使實驗中選取的乒乓球和紙杯的個數(shù)一樣多嗎？請補全下面橫線上內容，完善方案，并說明方案設計的合理性．
方案：將天平左邊放置 10個乒乓球 ，天平右邊放置 10個一次性紙杯和1個10克的砝碼 ，使得天平平衡．
理由：
【思路點撥】解決問題：（1）用乒乓球的總質量加上砝碼的總質量可得答案；
（2）根據(jù)題意列出方程，求解可得答案；
及時遷移：根據(jù)乒乓球、紙杯、砝碼的質量設計即可，只是平衡即可．
【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意可得：記錄一中的一次性紙杯的總質量為：6x+10；
記錄二中的一次性紙杯的總質量為：4x﹣10，
故答案為：6x+10；4x﹣10，
（2）由題意得：6x+10＝14（4x﹣10），
解得：x＝3，∴4x﹣10＝2
答：一個乒乓球的質量為3克，一個一次性紙杯的質量為2克．
及時遷移：將天平左邊放置10個乒乓球，天平右邊放置10個一次性紙杯和1個10克的砝碼，使得天平平衡．
故答案為：10個乒乓球，10個一次性紙杯和1個10克的砝碼，
理由：不唯一，算術方法或者方程方法說明都可以，言之有理即可．
【考點評析】此題考查的是等式的性質、列代數(shù)式，掌握等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式是解決此題的關鍵．
【典例精講】（2022秋?亭湖區(qū)期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是關于x的一元一次方程，則a＝ 0 ．
【思路點撥】依據(jù)只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程，列出關于a的不等式與方程求解即可．
【規(guī)范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是關于x的一元一次方程，
∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，
解得：a＝0．
故答案為：0．
【考點評析】本題主要考查的是一元一次方程的定義，依據(jù)一元一次方程的定義列出關于a的不等式組是解題的關鍵．
【變式訓練3-1】（2022秋?濱?？h月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣y＝6B．x2+x﹣3＝0C．4x＝24D．
【思路點撥】根據(jù)一元一次方程的定義即可求出答案．只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．
【規(guī)范解答】解：A．x﹣y＝6中有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；
B．x2+x﹣3＝0，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；
C．4x＝24，是一元一次方程，故本選項符合題意；
D．﹣1＝24，不是一元一次方程，故本選項不符合題意．
故選：C．
【考點評析】本題考查一元一次方程的定義，解題的關鍵是正確運用一元一次方程的定義，本題屬于基礎題型．
【變式訓練3-2】（2019秋?東臺市期中）若關于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，則這個方程的解是（ ）
A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝2
【思路點撥】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0），高于一次的項系數(shù)是0．
【規(guī)范解答】解：由一元一次方程的特點得m﹣2＝1，即m＝3，
則這個方程是3x＝0，
解得：x＝0．
故選：A．
【考點評析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．
【變式訓練3-3】（2015秋?揚州校級月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是關于y的一元一次方程．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．
【思路點撥】（1）先根據(jù)一元一次方程的定義列出關于a，b的方程組，求出a，b的值即可；
（2）把x＝a代入方程求出m的值，再代入代數(shù)式求解即可．
【規(guī)范解答】解：（1）∵（a+2b）y2﹣＝3是關于y的一元一次方程，
∴，解得；
（2）∵a＝4，x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，
∴1﹣+3＝4﹣，解得m＝﹣，
∴|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|＝|4+2﹣2|﹣|﹣2+|＝．
【考點評析】本題考查的是一元一次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程是解答此題的關鍵．
【變式訓練3-4】（2017秋?廣陵區(qū)校級月考）已知關于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，試求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)一元一次方程的定義求解即可；
（2）根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意，得
|m+4|＝1且m+3≠0，
解得m＝﹣5．
（2）當m＝﹣5時，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）＝﹣26+63＝37．
【考點評析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．
【典例精講】（2022秋?海門市期末）若關于x的方程5x﹣1＝2x+a的解與方程4x+3＝7的解互為相反數(shù)，則a＝ ﹣4 ．
【思路點撥】求出第二個方程的解的相反數(shù)，代入第一個方程計算即可求出a的值．
【規(guī)范解答】解：方程4x+3＝7，
移項合并得：4x＝4，
解得：x＝1，
把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，
解得：a＝﹣4，
故答案為：﹣4
【考點評析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【變式訓練4-1】（2022秋?如皋市校級期末）已知關于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，則a的值等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
【思路點撥】將x＝2代入3x﹣5＝x+a，再解出a即可．
【規(guī)范解答】解：將x＝2代入3x﹣5＝x+a，
得：3×2﹣5＝2+a，
解得：a＝﹣1．
故選：B．
【考點評析】本題考查方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關鍵．
【變式訓練4-2】（2021秋?宜興市校級月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被陰影蓋住的是一個常數(shù)，此方程的解是y＝﹣1．這個常數(shù)應是（ ）
A．10B．4C．﹣4D．﹣10
【思路點撥】將y＝﹣1代入方程計算可求解這個常數(shù)．
【規(guī)范解答】解：將y＝﹣1代入方程5y﹣7＝2y﹣中，
5×（﹣1）﹣7＝2×（﹣1）﹣，
解得＝10，
故選：A．
【考點評析】本題主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是解題的關鍵．
【變式訓練4-3】（2022秋?丹徒區(qū)期末）已知關于m的方程的解也是關于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．
（1）求m、n的值；
（2）如圖，數(shù)軸上，O為原點，點M對應的數(shù)為m，點N對應的數(shù)為n．
①若點P為線段ON的中點，點Q為線段OM的中點，求線段PQ的長度；
②若點P從點N出發(fā)以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸正方向運動，點Q從點M出發(fā)以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸負方向運動，經(jīng)過 3或5 秒，P、Q兩點相距3個單位．
【思路點撥】（1）解方程求出m＝10的值，再把x＝10代入方程即可得出n的值；
（2）①根據(jù)線段中點的定義求出OP和OQ的長度即可得出答案；
②設運動時間為x秒，列方程解答即可．
【規(guī)范解答】解：（1）解方程得，m＝10，
∵方程2（x﹣8）﹣n＝6的解為x＝10，
∴4﹣n＝6，
解得n＝﹣2，
∴m、n的值分別為10，﹣2；
（2）①∵點M對應的數(shù)為10，點N對應的數(shù)為﹣2，點P為線段ON的中點，點Q為線段OM的中點，
∴OP＝ON＝1，OQ＝OM＝5，
∴PQ＝OP+OQ＝1+5＝6；
②設經(jīng)過x秒P、Q兩點相距3個單位，
根據(jù)題意得：﹣2+x﹣（10﹣2x）＝3或（10﹣2x）﹣（﹣2+x）＝3，
解得x＝5或x＝3，
故經(jīng)過3秒或5秒，A、B兩點相距3個單位．
故答案為：3或5．
【考點評析】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應用，解題的關鍵是到達題意，用含字母的式子表示P，Q所表示的數(shù)．
【變式訓練4-4】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）我們規(guī)定，關于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解為x＝m+n，則稱該方程為和解方程，例如2x＝﹣4的解為x＝﹣2＝﹣4+2，則方程為和解方程．
請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：
（1）下列關于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ② ．
①；②；③5x＝﹣2．
（2）若關于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，則a＝ ．
（3）關于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，則代數(shù)式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值為 ﹣ ．
（4）關于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解為x＝a，求代數(shù)式2ab（a+b）的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)“和解方程”的定義進行判斷即可；
（2）根據(jù)“和解方程”的定義得到關于a的方程，解之即可；
（3）根據(jù)“和解方程”的定義得到，將所求式子化簡后整體代入即可；
（4）根據(jù)已知條件得到，可求出a，b值，代入計算即可．
【規(guī)范解答】解：（1）①的解是，故不是“和解方程”；
②的解是，故是“和解方程”；
③5x＝﹣2的解是，故不是“和解方程”；
故答案為：②；
（2）∵3x＝2a﹣10是和解方程，
∴，
解得：，
故答案為：；
（3）∵3x＝a+b是和解方程，
∴，
化簡得：，
∴a（a2b+1）+b（1﹣a3）＝a3b+a+b﹣a3b＝a+b＝，
故答案為：﹣；
（4）∵3x＝a+b是和解方程且它的解為x＝a，
∴，
∴解得：，b＝﹣3，
∴．
【考點評析】本題考查了一元一次方程的解，代數(shù)式求值，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．
【典例精講】．（2022秋?濱?？h月考）對于任意有理數(shù)a，b，我們規(guī)定：a?b＝a2﹣2b，例如：3?4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2?x＝3+x，則x的值為 ．
【思路點撥】先根據(jù)新運算得出算式，再根據(jù)等式的性質求出方程的解即可．
【規(guī)范解答】解：∵2?x＝3+x，
∴22﹣2x＝3+x，
∴4﹣2x＝3+x，
∴﹣2x﹣x＝3﹣4，
∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．
故答案為：．
【考點評析】本題考查了解一元一次方程和有理數(shù)的混合運算，能根據(jù)題意列出關于x的一元一次方程是解題的關鍵．
【變式訓練5-1】（2022秋?海門市期末）解方程時，去分母正確的是（ ）
A．2x+1﹣（10x+1）＝1B．4x+1﹣10x+1＝6
C．4x+2﹣10x﹣1＝6D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1
【思路點撥】去分母的方法是方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)6，在去分母的過程中注意分數(shù)線右括號的作用，以及去分母時不能漏乘沒有分母的項．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同時乘以6得：4x+2﹣（10x+1）＝6，
去括號得：4x+2﹣10x﹣1＝6．
故選：C．
【考點評析】在去分母的過程中注意分數(shù)線起到括號的作用，并注意不能漏乘沒有分母的項．
【變式訓練5-2】（2017秋?秦淮區(qū)期末）下列方程變形中，正確的是（ ）
A．由3x＝﹣4，系數(shù)化為1得x＝
B．由5＝2﹣x，移項得x＝5﹣2
C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1
D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括號得3x+4x﹣2＝5
【思路點撥】根據(jù)解方程的方法和等式的性質可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．
【規(guī)范解答】解：3x＝﹣4，系數(shù)化為1，得x＝﹣，故選項A錯誤，
5＝2﹣x，移項，得x＝2﹣5，故選項B錯誤，
由，去分母，得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝24，故選項C錯誤，
由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括號得，3x﹣2+4x＝5，故選項D正確，
故選：D．
【考點評析】本題考查解一元一次方程、等式的性質，解答本題的關鍵是明確解方程的方法．
【變式訓練5-3】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）整式ax﹣b的值隨x的取值不同而不同，下表是當x取不同值時對應的整式的值，則關于x的方程﹣ax+b＝3的解是 x＝0 ．
【思路點撥】把x與ax﹣b的值的方程組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可求出方程的解．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)表格得：，
把②代入①得：﹣2a+3＝﹣6，
解得：a＝，
∴方程為﹣x+3＝3，
解得：x＝0．
故答案為：x＝0．
【考點評析】此題考查了解一元一次方程，二元一次方程組，以及代數(shù)式求值，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．
【變式訓練5-4】（2020秋?惠山區(qū)期中）解方程：
（1）3x+7＝32﹣2x；
（2）．
【思路點撥】（1）移項、合并同類項、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解是多少即可．
【規(guī)范解答】解：（1）移項，可得：3x+2x＝32﹣7，
合并同類項，可得：5x＝25，
系數(shù)化為1，可得：x＝5．
（2）去分母，可得：3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），
去括號，可得：9x﹣3﹣12＝10x﹣14，
移項，合并同類項，可得：x＝﹣1．
【考點評析】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．
【變式訓練5-5】（2022秋?丹徒區(qū)期末）解方程：
（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；
（2）．
【思路點撥】（1）方程去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【規(guī)范解答】解：（1）去括號得：6x﹣3+1＝4x+8，
移項得：6x﹣4x＝8+3﹣1，
合并同類項得：2x＝10，
解得：x＝5；
（2）去分母得：2（2x﹣1）＝2x+1﹣6，
去括號得：4x﹣2＝2x+1﹣6，
移項得：4x﹣2x＝1﹣6+2，
合并同類項得：2x＝﹣3，
解得：x＝﹣1.5．
【考點評析】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關鍵．
【典例精講】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）已知關于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一個解，那么xa＝ 1 ．
【思路點撥】根據(jù)題意計算出a，x的值，再計算xa的值．
【規(guī)范解答】解：∵關于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一個解，
∴a﹣2＝0，a＝2，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴（﹣1）2＝1，
故答案為：1．
【考點評析】本題考查了含絕對值的一元一次方程，解題的關鍵是掌握絕對值的定義，解一元一次方程．
【變式訓練6-1】（2022秋?張家港市期中）已知c為實數(shù)，討論方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情況．
【思路點撥】分類討論：x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，x≥3，根據(jù)絕對值的性質，可化簡絕對值，根據(jù)解方程，可得答案．
【規(guī)范解答】解：當x＜1時，原方程等價于1﹣x﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝c，
X＝，，否則無解．
當1≤x＜2時，原方程等價于x﹣1﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝c
C＝3時，解為：1≤X＜2．否則無解．
當2≤x＜3時，原方程等價于x﹣1﹣（x﹣2）+2（3﹣x）＝c，
X＝，2時有解，此時：1＜C≤3有解：X＝，否則無解，
當x≥3時，原方程等價于x﹣1﹣（x﹣2）+2（x﹣3）＝c，
X＝，時有解，此時：c≥1，有解：X＝，否則無解，
綜上所述：c≥1方程有解，c＜1方程無解．
【考點評析】本題目考查絕對值方程，需要討論，把絕對值方程轉化為一般的一元一次方程求解，體現(xiàn)了轉換的數(shù)學思想．
【變式訓練6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）【我閱讀】
解方程：|x+5|＝2．
解：當x+5≥0時，原方程可化為：x+5＝2，解得x＝﹣3；
當x+5＜0時，原方程可化為：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．
所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．
【我會解】
解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．
【思路點撥】類比題干的解題過程，先根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，再解一元一次方程即可．
【規(guī)范解答】解：當3x﹣2≥0時，原方程可化為：3x﹣2﹣5＝0，
解得x＝；
當3x﹣2＜0時，原方程可化為：﹣3x+2﹣5＝0，
解得x＝﹣1．
所以原方程的解是x＝或x＝﹣1．
【考點評析】本題考查絕對值的定義以及解一元一次方程，解題的關鍵是根據(jù)絕對值的定義將絕對值符號去掉，從而化為一般的一元一次方程求解．
【變式訓練6-3】（2022秋?高新區(qū)校級月考）小兵喜歡研究數(shù)學問題，在學習一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是關于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關于y的方程為關于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知關于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是 ② ．
（2）若關于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)友好方程定義判斷．
（2）根據(jù)友好方程的條件列出關于a的方程．
【規(guī)范解答】解：（1）方程①的解為：y＝3，方程②的解為：y＝±2，
方程3x﹣2x﹣102＝0的解為：x＝102．
∵3+102≠100，﹣2+102＝100．
∴方程①不是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程，方程②是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程．
故答案為：②．
（2）∵|2y﹣2|+3＝5．
|2y﹣2|＝2，
∴2y﹣2＝2或2y﹣2＝﹣2．
∴y＝2或y＝0．
∵方程x﹣＝a+1，
∴3x﹣2x+2a＝3a+3．
∴x＝a+3．
∵兩個方程是友好方程，
∴2+a+3＝100或0+a+3＝100．
∴a＝95或a＝97．
【考點評析】本題考查新定義解決數(shù)學問題，理解新定義是求解本題的關鍵．
【典例精講】（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如果方程的解與方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，則代數(shù)式a﹣的值為 ﹣ ．
【思路點撥】先解關于x的方程得出x＝10，將其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，繼而代入計算可得．
【規(guī)范解答】解：解方程得x＝10，
將x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，
解得：a＝﹣4，
則原式＝﹣，
故答案為：﹣．
【考點評析】本題主要考查方程的解，解題的關鍵是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．
【變式訓練7-1】（2022秋?惠山區(qū)校級期末）關于x的方程kx＝2x+6與2x﹣1＝5的解相同，則k的值為（ ）
A．4B．3C．5D．6
【思路點撥】先解2x﹣1＝5得出x＝3，代入kx＝2x+6即可求解．
【規(guī)范解答】解：2x﹣1＝5，
解得：x＝3，
代入kx＝2x+6，
即3k＝6+6，
解得：k＝4．
故選：A．
【考點評析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定義是解題的關鍵．
【變式訓練7-2】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）若關于x的方程＝5與kx﹣1＝15的解相同，則k的值為（ ）
A．8B．6C．﹣2D．2
【思路點撥】先解出第一個方程的解，代入到第二個方程中，求出k的值．
【規(guī)范解答】解：＝5，
∴2x﹣1＝15，
∴x＝8；
把x＝8代入第二個方程得：8k﹣1＝15，
解得：k＝2．
故選：D．
【考點評析】本題考查了同解方程，一元一次方程的解法，考核學生的計算能力，將第一個方程的解代入第二個方程是解題的關鍵．
【變式訓練7-3】（2017秋?崇川區(qū)校級月考）如果關于x的方程與的解相同，那么m的值是 ±2 ．
【思路點撥】本題中有兩個方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系數(shù)的方程的解，再把解代入到含有字母系數(shù)的方程中，求字母系數(shù)的值．
【規(guī)范解答】解：解方程＝
整理得：15x﹣3＝42，
解得：x＝3，
把x＝3代入＝x+4+2|m|
得＝3++2|m|
解得：|m|＝2，
則m＝±2．
故答案為±2．
【考點評析】本題考查了同解方程，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是該方程的解，因此檢驗一個數(shù)是否為相應的方程的解，就是把這個數(shù)代替方程中的未知數(shù)，看左右兩邊的值是否相等．
【變式訓練7-4】．（2021秋?廣陵區(qū)校級期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5與方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；
（1）求這個相同的解；
（2）求a的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)移項、合并同類項、系數(shù)化為1，可得答案；
（2）根據(jù)同解方程，可得關于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）6x﹣9＝10x﹣5
移項，得：
6x﹣10x＝﹣5+9，
合并同類項，得：
﹣4x＝4，
系數(shù)化為1，得：
x＝﹣1．
（2）由方程6x﹣9＝10x﹣5與方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同，得
3a﹣1＝3（﹣1+a）﹣2a，
解得a＝﹣1．
【考點評析】本題考查了同解方程，利用同解方程的出關于a的方程是解題關鍵．
【變式訓練7-5】（2022秋?濱?？h月考）已知關于的方程2﹣＝+3﹣x與方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．
【思路點撥】先解方程2﹣＝+3﹣x，可得x＝1，然后再把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，最后進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：2﹣＝+3﹣x，
12﹣2（x﹣1）＝3（1﹣x）+18﹣6x，
12﹣2x+2＝3﹣3x+18﹣6x，
﹣2x+3x+6x＝3+18﹣12﹣2，
7x＝7，
x＝1，
由題意得：
把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：
4﹣＝3k﹣，
4﹣＝3k，
12﹣（k+2）＝9k，
12﹣k﹣2＝9k，
﹣k﹣9k＝2﹣12，
﹣10k＝﹣10，
k＝1，
∴k的值為1．
【考點評析】本題考查了同解方程，熟練掌握同解方程的意義是解題的關鍵．
【典例精講】（2022秋?如皋市校級期末）《九章算術》中記載了這樣一個數(shù)學問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相逢？設乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則可列方程（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】根據(jù)題意設乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲、乙分別所走路程占總路程的和，進而得出等式．
【規(guī)范解答】解：設乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲出發(fā)（x﹣2）日，故可列方程為：
+＝1．
故選：D．
【考點評析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示出兩人所走路程所占比是解題關鍵．
【變式訓練8-1】（2022秋?濱海縣月考）有一些相同的房間需要粉刷墻面．一天3名一級技工去粉刷8個房間，結果其中有50m2墻面未來得及粉刷，同樣時間內5名二級技工粉刷了10個房間之外，還多粉刷了另外的40m2墻面，每名一級技工比二級技工一天多粉刷10m2墻面．設每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【思路點撥】設每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則每名一級技工一天粉刷（x+10）m2墻面，即可得出關于x的一元一次方程．
【規(guī)范解答】解：設每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則每名一級技工一天粉刷（x+10）m2墻面，
依題意，得：＝．
故選：A．
【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式訓練8-2】（2021秋?如東縣期中）我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”．其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托為5尺，那么索和竿各為幾尺？設竿為x尺，可列方程為 （x+5）＝x﹣5 ．
【思路點撥】設竿為x尺，則索為（x+5）尺，根據(jù)“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關于x一元一次方程．
【規(guī)范解答】解：設竿為x尺，則索為（x+5）尺，
根據(jù)題意得：（x+5）＝x﹣5，
故答案為：（x+5）＝x﹣5．
【考點評析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系是解題的關鍵．
【變式訓練8-3】（2022秋?江寧區(qū)月考）新年將至，樂樂和麗麗所在的活動小組計劃做一批“中國結”．如果每人做8個，那么比計劃多了3個；如果每人做5個，那么比計劃少27個．問題：該小組共有多少人？計劃做多少個“中國結”？
她倆經(jīng)過獨立思考后，分別列出了如下尚不完整的方程：
樂樂的方法：8x□ ﹣3 ＝5x□ +27 ；
麗麗的方法：；
（1）在樂樂、麗麗所列的方程中，“□”中是運算符號，“”中是數(shù)字，試分別指出未知數(shù)x，y表示的意義：未知數(shù)x表示 該小組人數(shù) ，未知數(shù)y表示 計劃做“中國結”的個數(shù) ；
（2）分別用這兩種方法，將原題中的問題解答完成．
【思路點撥】（1）樂樂的方法是根據(jù)做“中國結”的個數(shù)不變列的方程，麗麗的方法是根據(jù)該小組的人數(shù)不變列的方程；
（2）可設該小組有x人，根據(jù)做“中國結”的個數(shù)不變先列出方程，再求解作答．
【規(guī)范解答】解：（1）﹣3；+27；未知數(shù)x表示的是該小組人數(shù)；未知數(shù)y表示的是計劃做“中國結”的個數(shù)；
故答案為：﹣3；+27；該小組人數(shù)；計劃做“中國結”的個數(shù)；
（2）設該小組有x人，
由題意得8x﹣3＝5x+27，
解這個方程，得x＝10，
計劃做“中國結”的個數(shù)：8×10﹣3＝77（個）．
答：該小組共有10人，計劃做“中國結”77個．
【考點評析】本題考查了列一元一次方程解決實際問題，掌握解一元一次方程應用題的一般步驟是關鍵．
【變式訓練8-4】（2018秋?亭湖區(qū)校級期末）生態(tài)公園計劃在園內的坡地上種植一片有A、B兩種樹的混合林，需要購買這兩種樹苗共100棵．假設這批樹苗種植后成活95棵，種植A、B兩種樹苗的相關信息如下表：
（1）設購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗 （100﹣x） 棵，根據(jù)題意可列方程為 96%x+92%（100﹣x）＝95 ，解得x＝ 75 ．
（2）求種植這片混合林的總費用需多少元？
【思路點撥】（1）設購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗（100﹣x）棵，根據(jù)成活棵數(shù)＝種植A種樹苗的棵數(shù)×成活率+種植B種樹苗的棵數(shù)×成活率，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）根據(jù)總費用＝（A種樹苗的單價+種植A種樹苗的栽樹勞務費）×種植A種樹苗的棵數(shù)+（B種樹苗的單價+種植B種樹苗的栽樹勞務費）×種植B種樹苗的棵數(shù)，即可求出種植這片混合林的總費用．
【規(guī)范解答】解：（1）設購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗（100﹣x）棵，
依題意，得：96%x+92%（100﹣x）＝95，
解得：x＝75．
故答案為：（100﹣x）；96%x+92%（100﹣x）＝95；75．
（2）（15+3）×75+（20+4）×（100﹣75）＝1950（元）．
答：種植這片混合林的總費用需1950元．
【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關系，列式計算．
【變式訓練8-5】（2021秋?姜堰區(qū)校級月考）為打造綠色生態(tài)環(huán)境，一段長為2400米的河道整治任務交由甲、乙兩個工程隊接力完成，共用時80天．已知甲隊每天整治32米，乙隊每天整治24米．
（1）根據(jù)題意，小李、小張分別列出如下的一元一次方程（尚不完整）：
小李：32x+24（ 80﹣x ）＝2400；
小張：＝80；
請分別指出上述方程中的意義，并補全方程：
小李：x表示 甲隊工作的時間 ；
小張：x表示 甲隊整治河道的長度 ．
（2）求甲、乙兩隊分別整治河道多少米？（寫出完整的解答過程）
【思路點撥】（1）根據(jù)所列方程可得第一個方程為32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲隊工作的時間，第二個方程為+＝80，x表示的是甲隊整治河道的長度；
（2）求解第二個方程即可．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意得，第一個方程為32x+24（80﹣x）＝2400，
x表示的是甲隊工作的時間，
第二個方程為+＝80，
x表示的是甲隊整治河道的長度，
故答案為：80﹣x，甲隊工作的時間，甲隊整治河道的長度；
（2）設甲隊整治河道的長度為x米，
列方程得：+＝80，
解得：x＝1920，
則2400﹣x＝480．
答：甲、乙兩隊分別整治河道1920米，480米．
【考點評析】本題考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程求解．
【典例精講】（2021秋?如皋市校級月考）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走80步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走 200 步才能追到速度慢的人．
【思路點撥】設速度快的人追上速度慢的人所用時間為t，根據(jù)速度慢的人和速度快的人所用時間相等列方程，求出時間，進而求出速度快的人所走的路程即可．
【規(guī)范解答】解：設速度快的人追到速度慢的人所用時間為t，
根據(jù)題意列方程得：100t＝60t+80，
解得t＝2，
2×100＝200（步），
∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，
故答案為：200．
【考點評析】本題主要考查一元一次方程的知識，根據(jù)等量關系列出方程并正確求解是解題的關鍵．
【變式訓練9-1】（2019秋?鎮(zhèn)江期末）某超市在“元旦”活動期間，推出如下購物優(yōu)惠方案：
①一次性購物在100元（不含100元）以內，不享受優(yōu)惠；
②一次性購物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以內，一律享受九折優(yōu)惠；
③一次性購物在350元（含350元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；
小敏在該超市兩次購物分別付了90元和270元，如果小敏把這兩次購物改為一次性購物，則小敏至少需付款（ ）元
A．288B．296C．312D．320
【思路點撥】設第一次購物購買商品的價格為x元，第二次購物購買商品的價格為y元，分0＜x＜100及100≤x＜350兩種情況可得出關于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次購物付款金額＝0.9×第二次購物購買商品的價格可得出關于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用兩次購物合并為一次購物需付款金額＝0.8×兩次購物購買商品的價格之和，即可求出結論．
【規(guī)范解答】解：設第一次購物購買商品的價格為x元，第二次購物購買商品的價格為y元，
當0＜x＜100時，x＝90；
當100≤x＜350時，0.9x＝90，
解得：x＝100；
∵0.9y＝270，
∴y＝300．
∴0.8（x+y）＝312或320．
所以至少需要付312元．
故選：C．
【考點評析】此題主要考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是第一次購物的90元可能有兩種情況，需要討論清楚．本題要注意不同情況的不同算法，要考慮到各種情況，不要丟掉任何一種．
【變式訓練9-2】（2022秋?邗江區(qū)期末）某商店換季準備打折出售，若按照原售價的八折出售，將虧損20元，而按原售價的九折出售，將盈利10元，則該商品的成本為（ ）
A．230元B．250元C．260元D．300元
【思路點撥】設該商品的原售價為x元，根據(jù)成本不變列出方程，求出方程的解，然后再由打折即可得到結果．
【規(guī)范解答】解：設該商品的原售價為x元，
根據(jù)題意得：80%x+20＝90%x﹣10，
解得：x＝300，
則該商品的原售價為300元．
該商品的成本為：300×80%+20＝260，
故選：C．
【考點評析】此題考查了一元一次方程的應用，弄清題中的等量關系是解本題的關鍵．
【變式訓練9-3】（2020秋?鹽城期末）《算法統(tǒng)宗》中記有“李白沽酒”的故事．詩云：今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）
大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．則李白的酒壺中原有 升酒．
【思路點撥】設壺中原有x升酒，由在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．
【規(guī)范解答】解：設壺中原有x升酒，
根據(jù)題意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，
解得：x＝．
答：壺中原有升酒．
故答案為：．
【考點評析】本題考查一元一次方程的應用，理解題意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先經(jīng)過酒店，再碰到朋友，又經(jīng)過酒店，再碰到朋友，又經(jīng)過酒店，再碰到朋友．也就是，經(jīng)過酒店三次，碰到朋友三次酒正好沒了壺中酒，可列方程求解．
【變式訓練9-4】（2021秋?射陽縣校級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點E是AB上的一點，且AE＝2BE．點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿點C﹣D﹣A﹣E勻速運動，最終到達點E．設點P運動時間為ts，若三角形PCE的面積為18cm2，則t的值為 或6 ．
【思路點撥】分下列三種情況討論，如圖1，當點P在CD上，即0＜t≤3時，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可；
如圖2，當點P在AD上，即3＜t≤7時，由S△PCE＝S四邊形AECD﹣S△PCD﹣S△PAE建立方程求出其解即可；
如圖3，當點P在AE上，即7＜t≤9時，由S△PCE＝PE?BC＝18建立方程求出其解即可．
【規(guī)范解答】解：如圖1，當點P在CD上，即0＜t≤3時，
∵四邊形ABCD是長方形，
∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm．
∵CP＝2t（cm），
∴S△PCE＝×2t×8＝18，
∴t＝；
如圖2，當點P在AD上，即3＜t≤7時，
∵AE＝2BE，
∴AE＝AB＝4．
∵DP＝2t﹣6，AP＝8﹣（2t﹣6）＝14﹣2t．
∴S△PCE＝×（4+6）×8﹣（2t﹣6）×6﹣（14﹣2t）×4＝18，
解得：t＝6；
當點P在AE上，即7＜t≤9時，
PE＝18﹣2t．
∴S△CPE＝（18﹣2t）×8＝18，
解得：t＝＜7（舍去）．
綜上所述，當t＝或6時△APE的面積會等于18．
故答案為：或6．
【考點評析】本題考查了一元一次方程的運用，三角形面積公式的運用，梯形面積公式的運用，動點問題，分類討論等；解答時要運用分類討論思想求解，避免漏解．
【變式訓練9-5】（2022秋?濱海縣月考）我區(qū)某中學舉辦一年一屆的科技文化藝術節(jié)活動，需搭建一個舞臺，請來兩名工人．已知甲單獨完成需4小時，乙單獨完成需6小時．現(xiàn)由乙提前做1小時，剩下的工作由甲、乙兩人合做，問再合做幾小時可以完成這項工作？
【思路點撥】設再合做x小時可以完成這項工作，根據(jù)“甲工作x小時的工作量+乙工作（x+1）小時的工作量＝總工作量”列方程求解．
【規(guī)范解答】解：設再合做x小時可以完成這項工作，根據(jù)題意，得：
，
解得：x＝2，
答：還需2小時可以完成這項工作．
【考點評析】本題考查一元一次方程的應用（工程問題），理解“工作總量等于工作效率乘以工作時間”的運用，根據(jù)條件建立方程是關鍵．
【變式訓練9-6】（2022秋?邳州市期末）如圖數(shù)軸上有兩個點A、B，分別表示的數(shù)是﹣2，4．請回答以下問題：
（1）﹣2的絕對值是 2 ，A與B之間距離為 6 ；
（2）若數(shù)軸上有點C，使得BC的距離為3個單位長度，則點C表示的數(shù)是 7或1 ；
（3）若點P從A點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向右做勻速運動，點Q從B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右做勻速運動，P，Q同時運動，設運動的時間為t秒：
①當點P運動多少秒時，點P和點Q重合？
②當點P運動多少秒時，P，Q之間的距離為3個單位長度？
【思路點撥】（1）由絕對值概念和兩點的距離公式可得答案；
（2）分C在B的左邊和右邊兩種情況；
（3）①由P，Q表示的數(shù)相同列方程即可；
②由P，Q之間的距離為3個單位長度列方程可解得答案．
【規(guī)范解答】解：（1））﹣2的絕對值是2，A與B之間距離為4﹣（﹣2）＝6，
故答案為：2，6；
（2）點C表示的數(shù)是4+3＝7或4﹣3＝1，
故答案為：7或1；
（3）P表示的數(shù)為﹣2+5t，Q表示的數(shù)為4+3t，
①根據(jù)題意得﹣2+5t＝4+3t，
解得t＝3，
∴當點P運動3秒時，點P和點Q重合；
②根據(jù)題意得|﹣2+5t﹣（4+3t）|＝3，
解得t＝1.5或t＝4.5，
∴當點P運動1.5秒或4.5秒時，P，Q之間的距離為3個單位長度．
【考點評析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能用含t的代數(shù)式表示點運動后所表示的數(shù)．
【變式訓練9-7】（2019秋?贛榆區(qū)期末）某校七年級科技興趣小組計劃制作一批飛機模型，如果每人做6個，那么比計劃多做了10個，如果每人做5個，那么比計劃少做了14個．該興趣小組共有多少人？計劃做多少個飛機模型？
【思路點撥】設該興趣小組共有x人，由題意表示出計劃做的個數(shù)為（6x﹣10）或（5x+14），由此聯(lián)立方程求得人數(shù)，進一步求得計劃做的個數(shù)即可．
【規(guī)范解答】解：設該興趣小組共有x人，由題意得
6x﹣10＝5x+14，
解得：x＝24，
則6x﹣10＝144﹣10＝134．
答：該興趣小組共有24人，計劃做134個飛機模型．
【考點評析】此題考查一元一次方程的實際運用，找出題目蘊含的數(shù)量關系：設出人數(shù)，表示出做的總個數(shù)，利用總個數(shù)相等聯(lián)立方程解決問題
記錄
天平左邊
天平右邊
天平狀態(tài)
乒乓球總質量
一次性紙杯的總質量
記錄一
6個乒乓球，1個10克的砝碼
14個一次性紙杯
平衡
6x
6x+10
記錄二
4個乒乓球
1個一次性紙杯
1個10克的砝碼
平衡
4x
4x﹣10
x
﹣2
0
2
ax﹣b
﹣6
﹣3
0
品名
單價（元/棵）
栽樹勞務費（元/棵）
成活率
A
15
3
96%
B
20
4
92%

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