說(shuō)明：
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．
考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卷上．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. ，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解一元二次不等式，得集合A，再求交集.
【詳解】由，可得，
所以，則.
故選：C
2. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.
【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，
且，
，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.
故選：B
3. 設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（ ）
A. 與有關(guān)，且與有關(guān)B. 與無(wú)關(guān)，且與有關(guān)
C. 與有關(guān)，且與無(wú)關(guān)D. 與無(wú)關(guān)，且與無(wú)關(guān)
【答案】D
【解析】
【分析】
通過(guò)對(duì)進(jìn)行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與是否有關(guān).
【詳解】函數(shù)（，），
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
則且，，的單調(diào)性都為單調(diào)遞減.
所以函數(shù)（，）的單調(diào)性與無(wú)關(guān).
故選：D
4. 已知等差數(shù)列，則是成立的（ ）條件
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】正面證明得到充分性成立，舉反例否定必要性即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得顯然成立，故充分性成立，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，一定成立，無(wú)法推出，可得必要性不成立，即則是成立的充分不必要條件.
故選:B
5. 已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D.
【答案】C
【解析】
【分析】由線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判定選項(xiàng)A、C，其它易證.
【詳解】若，因?yàn)槠矫?，?br>所以，同理，過(guò)m上一點(diǎn)做直線n的平行線，則，
設(shè)由m和確定的平面為，則，
而，，同上可知，故，選項(xiàng)C正確；
有可能，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由上可知，且，所以，或，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
如上圖，不一定成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C
6. 已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（ ）
A. 2B. C. 2或D. 3或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件將兩邊平方，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】，即，
解得或.
故選：D.
7. 函數(shù)在上的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項(xiàng).
【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，
當(dāng)時(shí)，，故排除A，只有C滿足條件.
故選：C
8. 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A. 12B. 24C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.
【詳解】，，變形為，
令，
則轉(zhuǎn)化為
，即，
其中

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，可知.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及模的運(yùn)算公式對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解．
【詳解】設(shè)，，其中.
對(duì)于選項(xiàng)A: ，所以與不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B: 因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以,故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C: 因?yàn)?
所有
因?yàn)椋?br>所以,故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?，所?br>，而與不一定相等,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC.
10. 已知，的定義域?yàn)镽，且（），，若為奇函數(shù)，則（ ）
A. 關(guān)于對(duì)稱(chēng)B. 為奇函數(shù)
C. D. 為偶函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對(duì)稱(chēng)性定義一一判斷即可.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，
所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；
但不能確定為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)題意，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，令，得，故C正確；
因?yàn)?，則，
結(jié)合，則，所以，
即為偶函數(shù)，故D正確.
故選：ACD
11. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線：，，為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)B. 曲線的圖象具有3條對(duì)稱(chēng)軸
C. D. 的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:將用替換代入方程計(jì)算，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:令，，代入整理可得，利用周期性與對(duì)稱(chēng)性即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:代入，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；對(duì)于選項(xiàng)D:借助三角函數(shù)的性質(zhì)并表示出.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:將用替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B:由
，
令，，
代入整理可得，
其中，為點(diǎn)所在終邊對(duì)應(yīng)的角度，且，
因?yàn)?，故?br>因?yàn)榍€關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故對(duì)應(yīng)的圖象關(guān)于軸（即y軸對(duì)稱(chēng)）對(duì)稱(chēng)，
注意到關(guān)于的周期為，
故曲線也關(guān)于和（即）對(duì)稱(chēng)，
故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C:，C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D:，D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
C另解：，
該方程關(guān)于有解，令，則在上有根，
由，
則， 或，
解得；或
綜上：．
D另解：
，
解得．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于將曲線進(jìn)行換元，令，，代入整理得，借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)探討即可.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因?yàn)樵谥?，?br>，
即，
即，
因在中，,
所以，所以.
故答案為：.
13. 鎮(zhèn)海中學(xué)舉辦大觀紅樓知識(shí)競(jìng)賽，該比賽為擂臺(tái)賽，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，兩人輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝，挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問(wèn)題的概率都是，每次答題互相獨(dú)立，則挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)為挑戰(zhàn)者獲勝的概率，根據(jù)條件概率和獨(dú)立事件的概率公式列式求解.
【詳解】在一輪答題中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率為，守擂者獲勝的概率為，
所以在一輪中若有勝者，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率為，所以挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為.
故答案為：.
14. 在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是__________，它的外接球表面積的最小值為_(kāi)_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得，進(jìn)而可求解面積的最大值，進(jìn)而根據(jù)，即可求解高的最大值，進(jìn)而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.
【詳解】由余弦定理可得,
故，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，
故面積的最大值為，
，
由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，
故，
由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，
設(shè)四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，
故外接球的表面積為,
故答案為：,

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．
（1）求；
（2）若的外接圓半徑為2，且，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意表示出，利用正弦定理將角化邊，借助余弦定理化簡(jiǎn)即可;
（2）結(jié)合第（1）問(wèn)及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，求出的面積即可.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，
又，故；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?，則，
即，又，所以．
因?yàn)榈耐饨訄A半徑，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
16. 已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，且，，數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，可得，兩式相除可得，兩邊取對(duì)數(shù)并構(gòu)造常數(shù)列，即可求得答案.
（2）由（1）的結(jié)論，求出，再根據(jù)單調(diào)數(shù)列的意義列式求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
由為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，得，由，得，
于是，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，整理得，
因此數(shù)列是常數(shù)列，即，于是，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，
即，而數(shù)列是遞減數(shù)列，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
17. 某款游戲預(yù)推出一項(xiàng)皮膚抽卡活動(dòng)，玩家每次抽卡需要花費(fèi)10元，現(xiàn)有以下兩種方案．方案一：沒(méi)有保底機(jī)制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚．已知，玩家按照一、二兩種方案進(jìn)行抽卡，首次抽中新皮膚時(shí)的累計(jì)花費(fèi)為X，Y（元）．
（1）求X，Y的分布列；
（2）求；
（3）若，根據(jù)花費(fèi)的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案．（參考數(shù)據(jù)：．）
【答案】（1），，
（2）
（3）選擇方案二
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式求出，
（2）結(jié)合錯(cuò)位相減法可求期望，
（3）由已知條件依次求得，，根據(jù)數(shù)學(xué)期望即可給出選擇方案.
【小問(wèn)1詳解】
可取值，可取值，
當(dāng)時(shí)，摸球次數(shù)為，沒(méi)有抽中新皮膚的概率為，
故，，
．
【小問(wèn)2詳解】
令，
則，故，
整理得到，
所以，
若玩家按方案一抽卡，花費(fèi)元時(shí)抽到皮膚，則抽取次數(shù)為，
而，其中，.
則
，
因?yàn)橥婕野捶桨敢怀榭ù螖?shù)無(wú)限制，
且當(dāng)時(shí)，，，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
，即，
由（2）可得故；
若玩家按方案二抽卡，則可取值，
且，其中，
，
故，
因?yàn)?，故選擇方案二．
18. 已知橢圓C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱錐的體積，
②若，異面直線和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）①；②；③存在，
【解析】
【分析】（1）由橢圓定義求得，結(jié)合離心率求得，再求出后即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①求得點(diǎn)坐標(biāo)，確定折疊后新坐標(biāo)，然后由體積公式計(jì)算體積；②建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角；③建立解析中所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，由三角形周長(zhǎng)求得，設(shè)方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，，用坐標(biāo)表示變形后代入，求出值，從而可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
由橢圓的定義知：，，
所以的周長(zhǎng)，所以，
又橢圓離心率，所以，所以，，
由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問(wèn)2詳解】
①由直線l：與，
由得或，
所以（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以及，
，，
②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，
，．
記異面直線和所成角為，則；
③設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，
折疊前周長(zhǎng)是8，則折疊后周長(zhǎng)是，
由，，故，
設(shè)方程為，
由，得，
，，
在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原x軸仍然為x軸，原y軸正半軸為y軸，原y軸負(fù)半軸為z軸）；

，，
所以，（?。?br>又，
所以，（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）可得，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，解得，
因?yàn)?，所以?br>19. 在幾何學(xué)常常需要考慮曲線彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
（2）求橢圓在處的曲率；
（3）定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
分析】（1）依據(jù)所給定義求解即可.
（2）直接利用定義求解即可.
（3）合理構(gòu)造給定式子，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，結(jié)合高觀點(diǎn)極限方法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
．
【小問(wèn)2詳解】
，，，
故，，故．
【小問(wèn)3詳解】
，，故，其中，
令，，則，則，其中（不妨）
令，在遞減，在遞增，故；
令，
，令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
故有，
則在遞增，
又，，故，
故．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是將給定式子合理轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用極限方法求得關(guān)鍵函數(shù)值域，最終即可求解．

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