得分：______
一、選擇題
1. “，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.
【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知，
“，”的否定是，.
故選：B
2. 集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域求集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求集合B，然后利用集合的交集運(yùn)算和補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，
所以，
又，所以，
所以.
故選：C
3. 三個數(shù)的大小順序是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】由題意得，，故選D.
4. 若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)在上單調(diào)遞減，建立不等關(guān)系解出即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，由在上不可能單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上不可能單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞減，
所以，解得，所以的取值范圍是.
故選：D.
5. “函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分必要條件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減去，且對任意的，恒成立，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)在上為減函數(shù)，
且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
且對任意的，恒成立，即恒成立，則，
所以，.
故選：C.
6. 如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若函數(shù)及的圖象與線段分別交于點(diǎn)，，且，恰好是線段的兩個三等分點(diǎn)，則，滿足．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由恰好是線段的兩個三等分點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，分別代入指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的解析式，求得的值，即可求解.
【詳解】由題意知，且恰好是線段的兩個三等分點(diǎn)，所以，，
把代入函數(shù)，即，解得，
把代入函數(shù)，即，即得，所以.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的解析式求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則不等式的解集是（）
A. B.
CD.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可得出、的方程組，解出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出關(guān)于的不等式，即可得出原不等式解集.
【詳解】因?yàn)棰?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，
則，即②，
由①②可得，
因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，
由，可得，解得.
因此，不等式的解集是.
故選：A.
8. 函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，若對任意正數(shù)、都有，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出，然后將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】對于函數(shù)（且），
令，可得，且，所以，，即，，
對任意的正數(shù)、都有，即，則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
所以，的最小值是.
故選：D.
二、選擇題
9. 下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）
AB.
CD.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可判斷A；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義可判斷D.
【詳解】對于A，的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，
所以為奇函數(shù)，不符合題意；
對于B，設(shè)，定義域?yàn)镽，滿足，
即為偶函數(shù)；
當(dāng)時，減函數(shù)，符合題意；
對于C，的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，
所以為偶函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)，為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知，在區(qū)間上是減函數(shù)，符合題意；
對于D，的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，
所以為奇函數(shù)，不符合題意.
故選：BC
10. 下列敘述正確的是（）
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，的最小值是5
C. 函數(shù)的最大值是0
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判斷ABC，利用單調(diào)性的定義和性質(zhì)求解參數(shù)范圍判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，正確；
對于B，因?yàn)?，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，但是，所以等號取不到，
即，錯誤；
對于C，當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，正確；
對于D，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由單調(diào)性的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，任取，，
當(dāng)時，，則有，
當(dāng)時，，則有，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以.
綜上，，正確.
故選：ACD
11. 德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集．則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題，正確的為（）
A. 對任意，都有
B. 對任意，都存在，
C. 若，，則有
D. 存在三個點(diǎn)，，，使為等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)，則，此時，故A選項(xiàng)錯誤；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)任意時，存在，則，故；當(dāng)任意時，存在，則，故，故對任意，都存在，成立，故B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，根據(jù)題意得函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)，時，，故C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，要為等腰直角三角形，只可能為如下四種情況：
①直角頂點(diǎn)在上，斜邊在軸上，此時點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；
②直角頂點(diǎn)在上，斜邊不在軸上，此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；
③直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊在上，此時點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；
④直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊不在上，此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．
綜上，不存在三個點(diǎn)，，，使得為等腰直角三角形，故選項(xiàng)D錯誤．
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查數(shù)學(xué)推理與運(yùn)算等核心素養(yǎng)，是難題.本題D 選項(xiàng)解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分直角頂點(diǎn)在上，斜邊在軸上；直角頂點(diǎn)在上，斜邊不在軸上；直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊在上；直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊不在上四種情況討論求解.
12. 已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是（ ）
A.
B.
C. 在上的最大值是10
D. 不等式的解集為
【答案】ACD
【解析】
【分析】依題意令，求出，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，則有，
令，則，則，故A正確；
令，則，
令代，則，
即，即，故B錯誤；
設(shè)且，則，由，
令，則，即，
令，，則，即，
因?yàn)闀r，，又，故，
所以，所以，即在上單調(diào)遞減，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值為，故C正確；
由，即，
即，即，
又因?yàn)椋矗?br>所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集為，故D正確；
故選：ACD.
答題卡
三、填空題
13. 計算：______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】
.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)f(x)＝，若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】(－3，＋∞)
【解析】
【分析】因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以f(x)>0恒成立等價于x2＋2x＋a>0，令g(x)＝-x2-2x，利用分離參數(shù)法求g(x)的最大值可得.
【詳解】對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立；
等價于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，則g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3.
【點(diǎn)晴】（1）恒成立等價于；
（2）恒成立等價于；
（3）能成立等價于；
（4）能成立等價于.
15. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若對任意的，且，都有成立，則不等式的解集為______.
【答案】
【解析】
【分析】令，根據(jù)題意，得到為偶函數(shù)，且上遞減，在上遞增，又由，把不等式轉(zhuǎn)化為，分類討論，即可求解.
【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，且，都有成立?br>不妨設(shè)且，所以，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
由，可得，作出的示意圖：
由于不等式，即為，
當(dāng)時，不等式可化為，可得；
當(dāng)時，不等式可化為，可得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恰有1個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】數(shù)形結(jié)合，結(jié)合函數(shù)的圖像即可得出結(jié)論.
【詳解】函數(shù)的圖象, 如圖所示,
關(guān)于的不等式，
當(dāng)時, , 由于關(guān)于的不等式恰有 1 個整數(shù)解,
因此其整數(shù)解為 3 , 又,
所以,
則, 所以實(shí)數(shù)的最大值為 8 ,
故答案為：8.
四、解答題
17. 已知函數(shù)，其中，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知方程的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出函數(shù)的解析式；
（2）分、、三種情況解方程，即可得出原方程的解集.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，則，
所以，，解得，
，可得，故.
【小問2詳解】
解：因?yàn)?
當(dāng)時，由，可得，舍去；
當(dāng)時，由，可得；
當(dāng)時，由，可得.
綜上所述，方程的解集為.
18. 已知函數(shù).
（1）判斷的奇偶性并證明；
（2）解不等式.
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；
（2）由已知可得出且，可得出且，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出的取值范圍，即可得解.
【小問1詳解】
解：函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：
對任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，故函數(shù)為奇函數(shù).
【小問2詳解】
解：由，可得且，
即且，可得且，
解得或，
因此，不等式的解集為.
19. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，解不等式；
（2）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；
（2）由參變量分離法可知，，使得，令，可得出，利用單調(diào)性求出函數(shù)上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，，由可得，解得或，
故當(dāng)時，不等式的解集為或.
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，使得?br>因?yàn)?，則，
令，則，則，
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
故.
20. 已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，時，有.
（1）判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）若對所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）是增函數(shù)，證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在[﹣1，1]上是的增函數(shù)；
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式≤m2﹣5mt-5進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)在[－1，1]上是增函數(shù).
設(shè)
∵是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，∴.
又，∴，
由題設(shè)有，即，
所以函數(shù)在[－1，1]上是增函數(shù).
（2）由（1）知，∴對任意恒成立，
只需對]恒成立，即對恒成立，
設(shè)，則，
解得或，
∴的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．
21. 某公司研發(fā)了一款新型的洗衣液，其具有“強(qiáng)力去漬、快速去污”的效果.研發(fā)人員通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每投放克洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，且當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于16克/升時，才能夠起到有效去污的作用.若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.
（1）若一次投放4克的洗衣液，則有效去污時間可達(dá)幾分鐘？
（2）如果第一次投放4克洗衣液，4分鐘后再投放4克洗衣液，寫出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度（克/升）與時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，其中表示第一次投放的時長，并判斷接下來的4分鐘是否能夠持續(xù)有效去污.
【答案】21. 422. ，能夠持續(xù)有效去污
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，分類討論，列出不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合基本不等式求得最小值，即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時，由，解得；
當(dāng)時，由，解得；
綜上可得，所以一次投放4克的洗衣液，則有效去污時間可達(dá)4分鐘.
【小問2詳解】
由（1）知，當(dāng)時，可得，
當(dāng)時，可得，
綜上所述，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
因?yàn)?，所以接下來?分鐘能夠持續(xù)有效去污.
22. 我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).
（1）已知函數(shù)，求該函數(shù)圖象的對稱軸方程；
（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，.
①求的解析式；
②求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，即可得出結(jié)果；
（2）①當(dāng)時，可得出，即可得出函數(shù)的解析式；
②分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由，可得出，不等式兩邊平方，結(jié)合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>令，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，
因此，函數(shù)圖象的對稱軸方程為.
【小問2詳解】
解：①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，
當(dāng)時，，則，
所以，.
②當(dāng)時，，因函數(shù)、在上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)?，則，
不等式兩邊平方可得，即，解得，
因此，不等式的解集為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案

相關(guān)試卷

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析：

這是一份湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析，共23頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析：

這是一份湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析，共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省邵陽市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析：

這是一份湖南省邵陽市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析，共17頁。試卷主要包含了 已知集合，則， 設(shè)，則“”是“”的， 若，使的取值范圍為， 已知函數(shù)則函數(shù)定義域?yàn)椋?設(shè)，則的大小關(guān)系是， 若且恒成立，則的最大值是， 下列命題中真命題的有等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)檢測試題含解析

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)檢測試題含解析
湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析
湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月第一次月考試題含解析

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月第一次月考試題含解析
湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考四試題含解析

湖南省長沙市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考四試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部