內(nèi)容早知道
?第一層 鞏固提升練
題型一 線段或面積的最值問題
題型二 特殊三角形的存在性問題
題型三 平行四邊形的存在性問題
題型四 角度問題
?第二層 能力培優(yōu)練
?第三層 中考真題練
線段最值問題
?技巧積累與運(yùn)用
求線段的最值問題，一般建立二次函數(shù)模型表示線段的長(zhǎng)度，然后將其化為頂點(diǎn)式求最值。
求基本線段（平行于y軸）最值的具體步驟：
①求出動(dòng)點(diǎn)所在的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式。即二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式；
②設(shè)其中一個(gè)函數(shù)圖像（二次函數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（）；
③過點(diǎn)作x軸的垂線交一次函數(shù)圖像與一點(diǎn)，其坐標(biāo)設(shè)為（）；
④得出線段長(zhǎng)度表達(dá)式
⑤將④l關(guān)于x的二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，求最值。
若所求線段不是基本線段，不平行于y軸，則借助一次函數(shù)與x的夾角得出所求線段與平行于y軸的線段之間的關(guān)系。
若求的是三角形的面積最值，兩定點(diǎn)的坐標(biāo)為和，則面積表達(dá)式表示為：，再求該二次函數(shù)的最值。
1．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D．已知拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，求線段PM長(zhǎng)度的最大值．
如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是拋物線上第二象限上一點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥AC于E，當(dāng)DE有最大值時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
特殊三角形的存在問題
?技巧積累與運(yùn)用
解決特殊三角形的存在性問題，一定先確定構(gòu)成三角形的幾個(gè)點(diǎn)，并且確定他們所在的函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式。通常為兩定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)。若兩定點(diǎn)的坐標(biāo)為和，動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，則解決該題型的具體步驟為：
求出相應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；
設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；
根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式表示出三邊的距離PA，PB以及AB。
①若特殊三角形時(shí)等腰三角形：則有PA＝PB或PA＝AB，PB＝AB
②若特殊三角形時(shí)直角三角形：則有或或
解方程得出相應(yīng)的坐標(biāo)。
1．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B（﹣3，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得AE+CE的值最小，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在使△BPC為等腰三角形的點(diǎn)P，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，2），與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸為直線，為y軸上一點(diǎn)，直線AC與拋物線交于另一點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）試在線段AD下方的拋物線上求一點(diǎn)E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，x軸上一點(diǎn)N，使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
平行四邊形的存在性問題
?技巧積累與運(yùn)用
解決平行四邊形的存在性問題，一定先確定構(gòu)成平行四邊形的幾個(gè)點(diǎn)以及確定他們所在的函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式。通常為兩定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)。明確四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，若四個(gè)點(diǎn)沒有順序要求，則兩兩作為對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)是相等的從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)。
1．已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，b的值；
（2）直線l∥BC，且直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．
①求直線l的表達(dá)式；
②設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)為D，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以A，C，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
角度問題
?技巧積累與運(yùn)用
解決角度問題時(shí)，一般利用三角形全等，三角形相似，等腰三角形，直角三角形等的性質(zhì)進(jìn)行求解。
1．如圖，拋物線 y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（4，0），C（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，P為第一象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，PA，PC，PC與AB相交于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的解析式：
（2）設(shè)△APQ的面積為S1，△BCQ的面積為S2，當(dāng) S1﹣S2＝5 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）與點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并寫出拋物線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在線段AC上，過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q，直線PQ交x軸于點(diǎn)M，連接CQ，OP，如果S△CPQ＝2S△OPM，求PM的長(zhǎng)；
（3）探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，求△DCB面積的最大值；
（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，若BD+CD的值最小，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APC的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并寫出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．如圖，直線y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上方時(shí)，連接BC，CD，BD，BD交AC于點(diǎn)E，令△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；
（3）點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．如圖①，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，BD，BC，AC．當(dāng)△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
1．（2024?綿陽(yáng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC和BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接AP，BP和CP．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在拋物線上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接AP1，CP1，記△ACP1的面積為S1，記△BCP的面積為S2，若滿足S1＝3S2，求△ABP的面積；
（3）在（2）的條件下，試探究在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2024?西寧）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（3）在直線AB上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝2S△ABC？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2024?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)﹣1≤x≤t時(shí)，y的取值范圍是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．
4．（2024?甘南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x軸于A，C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）已知拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M，使得△ABM的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）連接BC，點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求當(dāng)四邊形OBQP為平行四邊形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
5．（2024?資陽(yáng)）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且B（4，0），BC＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB，PC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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第6課 綜合應(yīng)用

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