一．解答題（共16小題）
1．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是、．
（1）若△為等邊三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的短軸長(zhǎng)為2，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程．
【解答】解：（1）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，
短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是、，△為等邊三角形，
，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）橢圓的短軸長(zhǎng)為2，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
過點(diǎn)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，此時(shí)以為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)，不成立；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
由，得．
設(shè)，，，，則
，，
，，，，
過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，
，，
，解得，即．
故直線的方程為或．
2．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心，，過點(diǎn)作 軸，垂足為，則，
，
，化為．
當(dāng)時(shí)，也滿足上式．
動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．
（Ⅱ）設(shè)，，，
由題意可知，，．
軸是的角平分線，，
，，化為．
直線的方程為，
，化為，
化為，
，令，則，
直線過定點(diǎn)
3．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且為原點(diǎn)），求直線的斜率．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
依題意，，
又，可得，，，
所以，橢圓的方程為．
（2）由題意，設(shè)，，，，
設(shè)直線的斜率為，
又，則直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立整理得，
可得，代入得，
進(jìn)而直線的斜率，
在中，令，得，即，
所以直線的斜率為，
由，得，化簡(jiǎn)得，
從而．
所以，直線的斜率為或．
4．已知橢圓，拋物線，點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，經(jīng)過點(diǎn)的斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．
（1）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)：
（2）是否存在，使得四邊形的面積取得最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，
則，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)．
（2）設(shè)，，，，，，，，
由，得點(diǎn)在直線上，且，
且四邊形的面積．
，
由，得，
則，
，
因?yàn)椋裕?br>由，的斜率分別為，由圖知必過點(diǎn)，
可設(shè)，且，
故直線，令，
則直線，代入橢圓方程，
得，
，
，
點(diǎn) 到的距離，
四邊形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積最大為．
5．已知橢圓過點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，，且線段與軸的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）與直線的斜率相同的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)直線的方程．
【解答】解：（1）由橢圓過點(diǎn)，則，①
連接，由為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，
則，則，
由，②
由①②得，，
則橢圓的離心率；
（2）由（1）橢圓與方程，直線的斜率，
不妨設(shè)直線的方程，設(shè)，，，，
，整理得：，
則△，解得：，
，，
，
由到的距離，
則的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即，
則直線的方程．
6．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，試判斷是否存在定值，使當(dāng)變化時(shí)總成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，則①，
又過點(diǎn)，所以，解得，
由①可得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）可知，點(diǎn)，設(shè)，，，，
聯(lián)立方程組，可得，
所以，
所以，
，
因?yàn)椋裕?br>整理可得，，
所以，
化簡(jiǎn)整理可得，，
解得或，
若，則過點(diǎn)，則，與點(diǎn)重合，不符合題意，
所以，
故存在定值，使當(dāng)變化時(shí)總成立．
7．如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．
【解答】解：（Ⅰ）由點(diǎn)在橢圓上得，①②
由①②得，，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）
（Ⅱ）證明：橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，
設(shè)的斜率為，則直線的方程為③．（5分）
代入橢圓方程，
整理得．（6分）
設(shè)，，，，
則有④．（7分）
在方程③中，令得，，從而，，．（9分）
又因?yàn)?、、共線，則有，
即有，
所以
⑤
將④代入⑤得，（12分）
又，
所以，即，，成等差數(shù)列．．（13分）
8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率為，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍．
【解答】解：（1）由已知有，又，可得，
設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離公式可得，，
故所求的橢圓方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，
聯(lián)立消去整理，
可解得或．
再設(shè)直線的斜率為，
再聯(lián)立
①當(dāng)時(shí)，故得
②當(dāng)時(shí)，故得
綜上直線的斜率的取值范圍．
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足，
（1）求拋物線的方程；
（2）已知經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)和的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，問直線是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由．
【解答】解：（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，，滿足，的的坐標(biāo)為，，在拋物線上，
所以，即，，解得，所以拋物線的方程為：；
（2）設(shè)，，，，，，則，，
直線的斜率，
則直線的方程為：，即①，
同理可得直線的方程整理可得②，
將，分別代入①，②的方程可得，消可得，
易知直線，則直線的方程為：，
即，故，
所以，
因此直線恒過定點(diǎn)．
10．設(shè)直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn)、，與圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．
（1）若是正三角形為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此三角形的邊長(zhǎng)；
（2）若，求直線的方程；
（3）試對(duì)進(jìn)行討論，請(qǐng)你寫出符合條件的直線的條數(shù)（只需直接寫出結(jié)果）
【解答】解：（1）設(shè)的邊長(zhǎng)為，
則，，，；
（2）設(shè)直線，
時(shí)，，符合題意；
時(shí)，方程聯(lián)立可得，設(shè)，，，，
則，，
，，
，
，
，
△，，
，
，舍去，
綜上所述，直線的方程為，；
（3）時(shí)，直線有4條；
，，時(shí)，2條；
，，1條．
11．如圖，已知橢圓與圓在第一象限相交于點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)，都在圓上，且線段為圓的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且直線與軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的最大值．
【解答】解：（1）圓的圓心為，半徑為，
由題意可得，，
由中位線定理可得，即，
由橢圓的定義可得，即，
又，
即為，解答，，
則橢圓方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，
可得，
設(shè)，，，，可得：
，，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，
，由，可得，即，
即有的坐標(biāo)為，，
，
又
，
即有
，
當(dāng)，即，時(shí)，取得最大值．
12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于軸．
（1）求橢圓的方程；
（2）與拋物線相切于第一象限的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求直線斜率的最小值．
【解答】解：（1）點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于軸，
，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得，
又，聯(lián)立可解得，，
橢圓的方程為；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則．
整理，得．
，設(shè)，，，，
聯(lián)立，可得，
△．
．
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
的垂直平分線方程為，令，得，
即，．
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．
直線的斜率的最小值為．
13．已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．
（1）求圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為．判斷是否為定值．若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，
則，解得，即，
由，解得，即圓心坐標(biāo)為，
所以半徑，
所以圓的方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，
所以，消去得，
設(shè)，、，，則，，
所以，所以的中點(diǎn)，
由解得，即，
所以，，
所以；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
由，解得或，
即、，所以，所以，
又解得，即，
所以，所以，
綜上可得．
14．下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對(duì)圓錐曲線切線問題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請(qǐng)你一起合作學(xué)習(xí)，請(qǐng)你思考后，將答案補(bǔ)充完整．
（1）圓上點(diǎn)，處的切線方程為 ．理由如下： ．
（2）橢圓上一點(diǎn)，處的切線方程為；
（3）是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，如圖，則直線的方程是 ．這是因?yàn)樵?，，，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；
（4）問題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，由，得，
化簡(jiǎn)得△得．
若，則由這個(gè)方程可知點(diǎn)一定在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的方程為 ．
（5）拋物線上一點(diǎn)，處的切線方程為；
（6）拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作拋物線的兩條切線和，設(shè)，，，，則直線的方程為．直線的方程為，設(shè)和相交于點(diǎn)．則①點(diǎn)在以線段為直徑的圓上；②點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．
【解答】解：（1）圓上點(diǎn)，處的切線方程為．
理由如下：
①若切線的斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則，
所以，
又過點(diǎn)，，
由點(diǎn)斜式可得，，
化簡(jiǎn)可得，，
又，
所以切線的方程為；
②若切線的斜率不存在，則，
此時(shí)切線方程為．
綜上所述，圓上點(diǎn)，處的切線方程為．
（3）在，，，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和，
因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn)，
所以得到了和，
由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程為；
（4）問題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，
由，可得，
由△，可得，
因?yàn)椋?br>則，
所以式中關(guān)于的二次方程有兩個(gè)解且其乘積為，
則，
可得，
所以圓的半徑為2，且過原點(diǎn)，其方程為．
故答案為：（1），理由見解析；
（3）；
（4）．
15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，，為橢圓的左右頂點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．
（1）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，在橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，則求的最大值和最小值分別是多少？
（2）如圖1，若直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為．求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若直線過左焦點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)．
（4）如圖3，若，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上除，外的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線，的斜率都存在，并記為為定值．
（5）如圖4，若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．
（6）如圖5，若過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．試探究：線段上是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由．
（7）如圖6，若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的？①點(diǎn)在橢圓上；②點(diǎn)為的重心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，作過、的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，如圖所示
中，，，
，可得，．
由橢圓的定義，得，
由平面幾何知識(shí)，得，
當(dāng)與重合時(shí)，達(dá)到最大值；當(dāng)與重合時(shí)，達(dá)到最小值．
由，可得的最大值為，最小值為．
的取值范圍為，．
（2）設(shè)，，設(shè)，，，
則，，
，，三點(diǎn)共線，，得，
設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，
則直線的方程為，
，
即．
所以直線過定點(diǎn)．
（3）證明：設(shè)，，，，，
代入橢圓方程，整理，得，
，
，，
，，
，
設(shè)與軸交于點(diǎn)，以線段為直徑的圓與軸交于點(diǎn)，，
則，，
，點(diǎn)，的坐標(biāo)為，，
以線段為直徑的圓過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和．
證明：設(shè)、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，，則，，
（4）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
．
即，，
為定值．
（5）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．
由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△，
化簡(jiǎn)得：．
設(shè)，，
法一：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，
則，
，，
，當(dāng)時(shí)，，，．
當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，．
所以四邊形面積的最大值為．
法二：，．
．
四邊形的面積，
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故．
所以四邊形的面積的最大值為．
（6）存在這樣的點(diǎn)符合題意．設(shè)線段的中點(diǎn)為，，，，，，，
直線的斜率為，注意到，則直線的方程為，
由消去得：，
所以，
故，．
又點(diǎn)在直線上，所以，
由可得，
，，
整理得，
所以，在線段上存在點(diǎn)符合題意，其中．
（7）不存在，理由如下：若這樣的三角形存在，由題可設(shè)，
由條件①知，
由條件②得，又因?yàn)辄c(diǎn)，
所以即，
故，
解之得或（舍，
當(dāng)時(shí)，解得不合題意，
所以同時(shí)滿足兩個(gè)條件的三角形不存在．
16．已知直線與拋物線交于，、兩點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，．如圖所示．
（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)、的直線是否恒過定點(diǎn)，如果是，指出此定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）拋物線的方程化為，
，．（2分）
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．（4分）
（2）聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為．（6分）
聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為．（7分）
所以直線的方程為，（8分）
令，解得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．（9分）
（3）結(jié)論：過拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，
過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn)．（10分）
證明如下：
設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)的一條直線為，
則另一條為，
聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為．（11分）
聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，．（12分）
所以直線的方程為，（13分）
令，解得．
直線恒過定點(diǎn)．（14分）

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