考生須知：
1.本試卷共6頁，共兩部分.三道大題，28道小題。滿分100分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。
2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)。
3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。
4.在答題卡上.選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。
5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。
第一部分 選擇題
一、選擇題（共16分，每題2分）
第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)
1. 下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
故選：B．
2. 如圖，直線和相交于點(diǎn)，，若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了垂直的定義，平角的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)得到，再由平角即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故選：B．
3. 實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值的意義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
由數(shù)軸可得，，根據(jù)絕對(duì)值的意義，實(shí)數(shù)的加法和乘法法則分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行即可．
【詳解】解：A、由數(shù)軸可知，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由數(shù)軸可知，由絕對(duì)值的意義知，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由數(shù)軸可知，而，則，故，故本選項(xiàng)符合題意；
D、由數(shù)軸可知，而，因此，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
4. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)方程的根的判別式即可．
本題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵方程，，
∴，
∴，
解得．
故選C．
5. 不透明的袋子中裝有一個(gè)紅色小球和一個(gè)白色小球，除顏色外兩個(gè)小球無其他差別．從中隨機(jī)取出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)取出一個(gè)小球，則兩次都取到白色小球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率，依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到白色小球的結(jié)果有1種，
兩次都取到白色小球的概率為．
故選：D．
6. 為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，北京積極推進(jìn)多個(gè)公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flps（Flps是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計(jì)實(shí)現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達(dá)到Flps，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的方法確定a值，根據(jù)整數(shù)位數(shù)減一原則確定n值，最后寫成的形式即可．本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，熟練掌握把小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在左邊第一個(gè)非零數(shù)字的后面確定a，運(yùn)用整數(shù)位數(shù)減去1確定n值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】，
故選D．
7. 下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.
上述方法通過判定得到，其中判定的依據(jù)是（ ）
A. 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
B. 兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
C. 兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
D. 兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)基本作圖中，同圓半徑相等，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊原理，解答即可.
本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是邊邊邊原理是解題的關(guān)鍵.
【詳解】根據(jù)基本作圖中，同圓半徑相等，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊原理，
故選A.
8. 如圖，在菱形中，，為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為，，，.對(duì)八邊形給出下面四個(gè)結(jié)論：
①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；
②該八邊形各內(nèi)角都相等；
③點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；
④點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)菱形，，則，，結(jié)合菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，得到點(diǎn)一定在對(duì)角線上，且，，繼而得到，，結(jié)合，繼而得到，可證，，同理可證，根據(jù)，可證，繼而得到，繼而得到，可以判定該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；
根據(jù)題意，得，結(jié)合，，得到，可判定②該八邊形各內(nèi)角不相等；判定②錯(cuò)誤，根據(jù)，可證，繼而得到，故，可判定點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等錯(cuò)誤即③錯(cuò)誤，解答即可.
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】向兩方分別延長(zhǎng)，連接，
根據(jù)菱形，，則，，
∵菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，
∴點(diǎn)一定在對(duì)角線上，且，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，同理可證，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，
故①正確；
根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，
∴④正確；
根據(jù)題意，得，
∵，，
∴，
∴該八邊形各內(nèi)角不相等；
∴②錯(cuò)誤，
根據(jù)，
∴，
∴，
故，
∴點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等錯(cuò)誤
∴③錯(cuò)誤，
故選B．
第二部分 非選擇題
二、填空題（共16分，每題2分）
9. 若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
解得：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10. 分解因式：___________.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】．
故答案為：．
11. 方程的解為___________.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗(yàn)是否有增根．
【詳解】解：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，
所以，原方程的解為，
故答案為：．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則的值是___________.
【答案】0
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖像點(diǎn)的坐標(biāo)特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
將點(diǎn)和代入，求得和，再相加即可．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴有，
∴，
故答案為：0．
13. 某廠加工了200個(gè)工件，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個(gè)工件檢測(cè)了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
當(dāng)一個(gè)工件的質(zhì)量（單位：g）滿足時(shí)，評(píng)定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)是___________.
【答案】160
【解析】
【分析】本題考查了用樣本估計(jì)總體，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先計(jì)算出10個(gè)工件中為一等品的頻率，再乘以總數(shù)200即可求解．
【詳解】解：10個(gè)工件中為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02這8個(gè)，
∴這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故答案為：160．
14. 如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則___________

【答案】55
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先由垂徑定理得到，由得到，故．
【詳解】解：∵直徑平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則面積為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，得到，結(jié)合，得到,，，求得的長(zhǎng)，解答即可.
本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，
∴，
∵，
∴,
，
，
∴，
∴，
∴，
∴的面積為；
故答案為：．
16. 聯(lián)歡會(huì)有A，B，C，D四個(gè)節(jié)目需要彩排.所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開始。一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如下：
已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）。
若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為____________min；
若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按___________的先后順序彩排
【答案】 ①. 60 ②.
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
①節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為；②先確定C在A的前面，B在D前面，然后分類討論計(jì)算出每一種情況下，所有演員候場(chǎng)時(shí)間，比較即可．
【詳解】解：①節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為，
故答案為：60；
②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時(shí)長(zhǎng)不一樣，那么時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時(shí)長(zhǎng)一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時(shí)長(zhǎng)會(huì)短一些，那么B在D前面，
∴①按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；
②按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；
③按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；
④按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；
⑤按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；
⑥按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘．
∴按照順序彩排，候場(chǎng)時(shí)間之和最小，
故答案為：．
三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）
解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
依次根據(jù)零指數(shù)冪，算術(shù)平方根的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
．
18. 解不等式組：
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一個(gè)不等式的解集，在根據(jù)不等式解集的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”的方法確定不等式組的解集．本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進(jìn)行不等式求解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵
∴解不等式①，得，解不等式,②，得，
∴不等式組的解集為．
19. 已知，求代數(shù)式值.
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法對(duì)分母分子化簡(jiǎn)，再對(duì)化簡(jiǎn)得到，再整體代入求值即可．
【詳解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，.

（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若，，，求的長(zhǎng).
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，而，即可求證；
（2）解求得，由三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得到，最后對(duì)運(yùn)用勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵是的中點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
21. 為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國(guó)全面實(shí)施汽車國(guó)六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對(duì)某型號(hào)汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號(hào)某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說明理由.
【答案】符合，理由見詳解
【解析】
【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類類物質(zhì)排放量為，根據(jù)汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為建立方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類類物質(zhì)排放量為，
由題意得：，
解得：，
∵，
∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是符合“標(biāo)準(zhǔn)”．
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn).
（1）求，的值；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像平行的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．
（1）將代入先求出k，再將和k的值代入即可求出b；
（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想解決，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方，畫出臨界狀態(tài)圖像分析即可．
【小問1詳解】
解：由題意得將代入得：，
解得：，
將，，代入函數(shù)中，
得：，
解得：，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴兩個(gè)一次函數(shù)的解析式分別為，
當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，
即當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方，則畫出圖象為：
由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時(shí)符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時(shí)的夾角也符合題意，
∴當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方時(shí)，，
∴m的取值范圍為．
23. 某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段.
（1）初賽由名數(shù)師評(píng)委和名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分（百分制）對(duì)評(píng)委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
.教師評(píng)委打分：

.學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：
.評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
①的值為___________，的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第__________組；
②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則___________（填“”“”或“”）；
（2）決賽由5名專業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）.對(duì)每位選手，計(jì)算5名專業(yè)評(píng)委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業(yè)評(píng)委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是____________，表中（為整數(shù)）的值為____________.
【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【解析】
【分析】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)、方差，理解平均數(shù)、方差的意義和計(jì)算方法是正確解答的前提．
（1）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)以及中位數(shù)的定義解答即可；
（2）根據(jù)方差的定義和意義求解即可；
（3）根據(jù)題意得出，進(jìn)而分別求得方差與平均數(shù)，分類討論，求解即可．
【小問1詳解】
①?gòu)慕處熢u(píng)委打分的情況看，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故教師評(píng)委打分的眾數(shù)為，
所以，
共有45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分，
所以學(xué)生評(píng)委給每位選手打分的中位數(shù)應(yīng)當(dāng)是第個(gè)，從頻數(shù)分面直方圖上看，可得學(xué)生評(píng)委給每位選手打分的中位數(shù)在第4組，
故答案為：，；
②去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，其余8名教師評(píng)委打分分別為：，，，，，，，，
，
故答案為：；
【小問2詳解】
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，
依題意，當(dāng)，則
解得：
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)
∵，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不合題意，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)
∵，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手中排序最靠前的是甲
故答案：甲，．
24. 如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，平分.

（1）求證：；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).若，，求半徑的長(zhǎng).
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得，結(jié)合，得到，繼而得到，根據(jù)平分，得到，繼而得到，可證；
（2）不妨設(shè)，則，求得，證明，，求得，取的中點(diǎn)M，連接，則，求得，，結(jié)合切線性質(zhì)，得到，解答即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵，，
不妨設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中點(diǎn)M，連接，
則
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
解得，
故半徑的長(zhǎng)為.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
25. 小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯），在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如下，
當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有mL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度（單位：cm）和2號(hào)杯的水面高度（單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：
（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：
①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一都分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
【答案】（1）1.0 （2）見詳解
（3）1.2，8.5
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量，正確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，則可求，代入即可求解；
（2）畫與之間的關(guān)系圖像時(shí)，描點(diǎn)，連線即可，畫與的關(guān)系圖像時(shí)，由于是正比例函數(shù)，故只需描出兩點(diǎn)即可；
（3）①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知高度差；②在左右兩側(cè)找到等距的體積所對(duì)應(yīng)的高度相同，大致為．
【小問1詳解】
解：由題意得，設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，
由表格數(shù)據(jù)得：，
解得：，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖所示，即為所畫圖像，
【小問3詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知高度差，
故答案為：1.2；
②由圖象可知當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，估算高度約為，
故答案為：．
26. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.
（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求解；
（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；
本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
解：分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，
∴，
又∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，
解得，
又∵，
∴；
綜上，當(dāng)或，都有．
27. 已知，點(diǎn)，分別在射線，上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作，交射線于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。
【答案】（1）見詳解 （2），理由見詳解
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，則，故，再根據(jù)等角的余角相等即可得到，故，最后等量代換出，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）在射線上取點(diǎn)H，使得，取的中點(diǎn)G，連接，可證明，則，，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到，則，而，故可等量代換出．
【小問1詳解】
證明：連接，

由題意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；
【小問2詳解】
解：，
在射線上取點(diǎn)H，使得，取的中點(diǎn)G，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，外角定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．
（1）如圖，點(diǎn)，．
①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)___________是弦的“可及點(diǎn)”，其中____________；
②若點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為__________；
（2）已知是直線上一點(diǎn)，且存在的弦，使得點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）①，45；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，先求得，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法分別判斷即可得出在上，故符合題意，根據(jù)圓周角定理即可求解；
②取中點(diǎn)為H，連接，可確定點(diǎn)D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B），當(dāng)點(diǎn)軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，可求，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為；
（2）反過來思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，故點(diǎn)P需要在的圓內(nèi)或圓上，作出的外接圓，連接，則點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)M、N），可求，隨著的增大，會(huì)越來越靠近，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P在上，即為臨界狀態(tài)，此時(shí)最大，，由，故當(dāng)最大，時(shí)，此時(shí)為等邊三角形，此時(shí)，故當(dāng)，的最大值為2，設(shè)，則，解得：，可求直線與交于點(diǎn)，，故t的取值范圍是或．
【小問1詳解】
解：①：反過來思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，
∵若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，
∵點(diǎn)，，
∴，
而，
∴,
由對(duì)稱得：，
∴為等腰直角三角形，
∴,
設(shè)半徑為，
則,故在外，不符合題意；
，故在上，符合題意；
，故在外，不符合題意，
∴點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，
可知三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
故答案為：，45；
②取中點(diǎn)為H，連接，

∵則，
∴，
∴點(diǎn)D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B），
∴當(dāng)點(diǎn)軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，
∵，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)，，
∴，
∴此時(shí)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：反過來思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，
∵若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，
故點(diǎn)P需要在的圓內(nèi)或圓上，
作出的外接圓，連接，
∴點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)M、N），
∴，
∴，
由對(duì)稱得點(diǎn)在的垂直平分線上，
∵的外接圓為，
∴點(diǎn)也在的垂直平分線上，記與交于點(diǎn)Q，
∴，
∴，
隨著的增大，會(huì)越來越靠近，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P在上，即為臨界狀態(tài)，此時(shí)最大，，
連接，
∵，
∴當(dāng)最大,時(shí)，此時(shí)為等邊三角形，
由上述過程知
∴，
∴當(dāng)，的最大值為2，
設(shè)，則，
解得：，
而記直線與交于，與y軸交于點(diǎn)K，過點(diǎn)S作軸，
當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴與x軸交于點(diǎn)，
∴，而
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，軸對(duì)稱變換，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，解直角三角形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，已知兩點(diǎn)求距離等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線，找到臨界狀態(tài)情況是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖，以點(diǎn)圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；
（2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；
（3）過點(diǎn)作射線，則.

節(jié)目
A
B
C
D
演員人數(shù)
10
2
10
1
彩排時(shí)長(zhǎng)
30
10
20
10
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
教師評(píng)委
學(xué)生評(píng)委
評(píng)委1
評(píng)委2
評(píng)委3
評(píng)委4
評(píng)委5
甲
乙
丙
/mL
0
40
100
200
300
400
500
/cm
0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
/cm
0
2.8
4.8
7.2
8.9
10.5
11.8

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