注意事項：
1．答題前，請考生務必在答題卡上正確填寫自己的姓名、準考證號和座位號．考試結(jié)束，將試卷和答題卡一并交回．
2．選擇題每小題選出的答案須用2B鉛筆在答題卡上把對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦凈后，再選涂其它答案．非選擇題須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上對應題號位置作答，在試卷上作答無效．
第Ⅰ卷（選擇題 共36分）
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．
1. 下列各數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如（兩個1之間依次增加1個0），（兩個2之間依次增加1個1）等．
【詳解】解：根據(jù)無理數(shù)的定義可知，四個數(shù)中，只有D選項中的數(shù)π是無理數(shù)，
故選：D．
2. 第二十屆中國國際酒業(yè)博覽會于2024年3月21-24日在瀘州市國際會展中心舉辦，各種活動帶動消費億元，將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查科學記數(shù)法的表示方法，一般形式為，其中，確定的值時，要看原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的值與小數(shù)點移動位數(shù)相同，確定與的值是解題關鍵．
【詳解】解：，
故選：B．
3. 下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查三視圖．主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面所看到的圖形．依此即可求解．
【詳解】解：A、主視圖為三角形，左視圖為三角形，故本選項不符合題意；
B、主視圖三角形，左視圖為三角形，故本選項不符合題意；
C、主視圖為矩形，左視圖為矩形，故本選項符合題意；
D、主視圖為矩形，左視圖為三角形，故本選項不符合題意．
故選：C．
4. 把一塊含角的直角三角板按如圖方式放置于兩條平行線間，若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角的運算，熟練掌握相關性質(zhì)是解題的關鍵．利用平行線性質(zhì)得到，再根據(jù)平角的定義求解，即可解題．
【詳解】解：如圖，

直角三角板位于兩條平行線間且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故選：B．
5. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了積的乘方，單項式除以單項式，單項式乘以單項式和合并同類項等計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算正確，符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
6. 已知四邊形是平行四邊形，下列條件中，不能判定為矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了矩形的判定．根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、有一個角是直角的平行四邊形是矩形判斷即可．
【詳解】解：如圖，
A、，能判定為矩形，本選項不符合題意；
B、∵，，∴，能判定為矩形，本選項不符合題意；
C、，能判定為矩形，本選項不符合題意；
D、，能判定菱形，不能判定為矩形，本選項符合題意；
故選：D．
7. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，檢驗）求解，即可解題．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
經(jīng)檢驗是該方程的解，
故選：D．
8. 已知關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．首先根據(jù)一元二次方程無實數(shù)根確定k的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置．
【詳解】解：∵方程無實數(shù)根，
∴，
解得：，則函數(shù)的圖象過二，四象限，
而函數(shù)的圖象過一，三象限，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖象不會相交，則交點個數(shù)為0，
故選：A．
9. 如圖，，是的切線，切點為A，D，點B，C在上，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作輔助線是解題關鍵．
根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，由得，由切線長定理得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切線，根據(jù)切線長定理得，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
10. 寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關鍵．
設寬，根據(jù)比例表示長，證明，在中，利用勾股定理即可求得結(jié)果．
【詳解】解：設寬為，
∵寬與長的比是，
∴長為：，
由折疊的性質(zhì)可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
設，
在中，，
變形得：，
，，
∴，
故選A．
11. 已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸有2個交點，開口向上，而且與軸的交點不在負半軸上，然后解不等式組即可．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
且，，
解得．
故選：A．
12. 如圖，在邊長為6正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長線上截取，連接，易證明，則，可得當H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，求出，在中，由勾股定理得，責任的最小值為5．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點M是的中點，
∴；
如圖所示，在延長線上截取，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴當H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為5，
故選：B．
第Ⅱ卷（非選擇題 共84分）
注意事項：用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上對應題號位置作答，在試卷上作答無效．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）．
13. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
∴，
故答案為．
14. 在一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數(shù)為______．
【答案】3
【解析】
【分析】此題考查了分式方程的應用，以及概率公式的應用．設黃球的個數(shù)為x個，然后根據(jù)概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．
【詳解】解：設黃球的個數(shù)為x個，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
∴黃球的個數(shù)為3個．
故答案為：3．
15. 已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形求值．對于一元二次方程，若該方程的兩個實數(shù)根為，，則，．先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，再根據(jù)完全平方公式的變形，求出，由此即可得到答案．
【詳解】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
，，
，
，
．
故答案為：．
16. 定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移個單位，再繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，這樣的圖形運動叫做圖形的變換．如：點按照變換后得到點的坐標為，則點按照變換后得到點的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形．根據(jù)題意，點向上平移2個單位，得到點，再根據(jù)題意將點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，點向上平移2個單位，得到點，

∴，，
∴，，
∴，
根據(jù)題意，將點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
∴，
作軸于點，
∴，，
∴，
∴點的坐標為，
故答案為：．
三、本大題共3個小題，每小題6分，共18分．
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的運算，絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的加減運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．先化簡各式，然后再進行加減計算即可解答．
【詳解】解：原式，
，
．
18. 如圖，在中，E，F(xiàn)是對角線上的點，且．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，則，再證明，即可證明．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19. 化簡：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
先將括號里的通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)完全平方公式和平方差公式整理，最后約分即可得出答案．
【詳解】解：
四、本大題共2個小題，每小題7分，共14分．
20. 某地兩塊試驗田中分別栽種了甲、乙兩種小麥，為了考察這兩種小麥的長勢，分別從中隨機抽取16株麥苗，測得苗高（單位：）如下表．
將數(shù)據(jù)整理分析，并繪制成以下不完整的統(tǒng)計表格和頻數(shù)分布直方圖．
根據(jù)所給出的信息，解決下列問題：
（1）______，______，并補全乙種小麥的頻數(shù)分布直方圖；
（2）______，______；
（3）甲、乙兩種小麥的苗高長勢比較整齊的是______（填甲或乙）；若從栽種乙種小麥的試驗田中隨機抽取1200株，試估計苗高在（單位：）的株數(shù)．
【答案】（1）2，4，乙種小麥的頻數(shù)分布直方圖見解析；
（2）13，13.5；
（3）乙，375．
【解析】
【分析】本題考查的是數(shù)據(jù)的整理，畫頻數(shù)分布直方圖，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，根據(jù)方差作決策，用樣本估計總體．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和頻數(shù)分布直方圖的，即可直接得到、，以及乙種小麥的株數(shù)，再畫出頻數(shù)分布直方圖，即可解題；
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念，即可解題；
（3）可根據(jù)方差的意義作出判斷，根據(jù)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖得到乙種小麥苗高在的所占比，再利用總數(shù)乘以其所占比，即可解題．
【小問1詳解】
解：由表可知：甲種小麥苗高在的有7、8，故；
甲種小麥苗高在的有10、11、11、12，故，
（株），
補全后的乙種小麥的頻數(shù)分布直方圖如下：
故答案為：2，4；
【小問2詳解】
解：由表可知：乙種小麥苗高最多，為5次，故；
將甲種小麥苗高從小到大排列得7、8、10、11、11、12、13、13、14、14、14、14、15、16、16、18，故中位數(shù)為，即；
故答案為：；
【小問3詳解】
解：乙種小麥方差甲種小麥方差8.65，
甲、乙兩種小麥的苗高長勢比較整齊的是乙，
由題可知：乙種小麥隨機抽取16株麥苗中苗高在有5株，
若從栽種乙種小麥的試驗田中隨機抽取1200株，苗高在的株數(shù)為：
（株）．
21. 某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商品比購進4件B商品費用多60元；購進5件A商品和2件B商品總費用為620元．
（1）求A，B兩種商品每件進價各為多少元？
（2）該商場計劃購進A，B兩種商品共60件，且購進B商品的件數(shù)不少于A商品件數(shù)的2倍．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，為滿足銷售完A，B兩種商品后獲得的總利潤不低于1770元，則購進A商品的件數(shù)最多為多少？
【答案】（1）A，B兩種商品每件進價各為100元，60元；
（2）購進A商品的件數(shù)最多為20件
【解析】
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式組的實際應用：
（1）設A，B兩種商品每件進價各為x元，y元，根據(jù)購進3件A商品比購進4件B商品費用多60元；購進5件A商品和2件B商品總費用為620元列出方程組求解即可；
（2）設購進A商品的件數(shù)為m件，則購進B商品的件數(shù)為件，根據(jù)利潤不低于1770元且購進B商品的件數(shù)不少于A商品件數(shù)的2倍列出不等式組求解即可．
【小問1詳解】
解：設A，B兩種商品每件進價各為x元，y元，
由題意得，，
解得，
答：A，B兩種商品每件進價各為100元，60元；
【小問2詳解】
解：設購進A商品的件數(shù)為m件，則購進B商品的件數(shù)為件，
由題意得，，
解得，
∵m為整數(shù)，
∴m的最大值為20，
答：購進A商品的件數(shù)最多為20件．
五、本大題共2小題，每小題8分，共16分．
22. 如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西方向上，再沿北偏東方向繼續(xù)航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．
【答案】C，D間的距離為．
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用．作于點，利用方向角的定義求得，，，證明是等腰直角三角形，在中，求得的長，再證明，，在中，利用三角函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：作于點，
由題意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D間的距離為．
23. 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與x軸相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）直線與反比例函數(shù)和的圖象分別交于點C，D，且，求點C的坐標．
【答案】（1）一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到，進而得到；再證明，推出，設，則，求出，可得，解方程即可得到答案．
【小問1詳解】
解：把代入中得：，解得，
∴反比例函數(shù)解析式為；
把，代入中得：，
∴，
∴一次函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：如圖所示，過點B作軸于E，設與x軸交于F，
∵直線與反比例函數(shù)和圖象分別交于點C，D，
∴，
∴，
∴；
∵軸，點B在反比例函數(shù)的圖象上，
∵，
∵，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
經(jīng)檢驗是原方程解，且符合題意，
∴．
六、本大題共2個小題，每小題12分，共24分．
24. 如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，過點B作的切線與的延長線交于點D，點E在上，，交于點F．
（1）求證：；
（2）過點C作于點G，若，，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得到，則，由切線的性質(zhì)推出，則，再由同弧所對的圓周角相等和等邊對等角得到，，據(jù)此即可證明；
（2）由勾股定理得，利用等面積法求出，則，同理可得，則，進而得到；如圖所示，過點C作于H，則，證明，求出，則；設，則，證明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小問1詳解】
證明：∵是的直徑，
∴，
∴，
∴；
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
如圖所示，過點C作于H，則，
由（1）可得，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
設，則，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構造直角三角形和相似三角形是解題的關鍵．
25. 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當時，y的取值范圍是，求t的值；
（3）點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進行求解即可．
（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱，
∴，解得：，
∴；
【小問2詳解】
∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數(shù)值越小，
∵時，，
①當時，則：當時，函數(shù)有最大值，即：，
解得：或，均不符合題意，舍去；
②當時，則：當時，函數(shù)有最大值，即：，
解得：；
故；
【小問3詳解】
存在；
當時，解得：，當時，，
∴，，
設直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
設，則：，
∴，，，
當B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：
①當為邊時，則：，即，
解得：（舍去）或，
此時菱形的邊長為；
②當為對角線時，則：，即：，
解得：或（舍去）
此時菱形的邊長為：；
綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2．甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
苗高分組
甲種小麥的頻數(shù)
a
b
7
3
小麥種類
統(tǒng)計量
甲
乙
平均數(shù)
12.875
12.875
眾數(shù)
14
d
中位數(shù)
c
13
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