1．（3分）2的平方根為（ ）
A．4B．±4C．D．±
2．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a5＝a10B．（a2）3＝a6
C．（3ab）2＝3a2b2D．a(chǎn)6÷a2＝a3
3．（3分）數(shù)學老師布置10道選擇題作為課堂練習，學習委員將全班同學的答題情況繪制成條形圖，據(jù)統(tǒng)計圖可知，答對8道題的同學的頻率是（ ）
A．0.38B．0.4C．0.16D．0.08
4．（3分）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣1，Rt△ABC的直角邊AB落在數(shù)軸上，且AB長為3個單位長度，BC長為1個單位長度，若以點A為圓心，以斜邊AC長為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）
A．a(chǎn)，b，cB．∠B＝∠A+∠C
C．（b+a）（b﹣a）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，給出四個結(jié)論：①DC＝DE；②BC＝BE；③△BDE≌△BDC；④AD＝DC．其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
7．（3分）如圖，三個村莊A、B、C構(gòu)成△ABC，供奶站須到三個村莊的距離都相等，則供奶站應(yīng)建在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點
B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點
D．三角形三條中線的交點
8．（3分）如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為（ ）
A．10B．12C．20D．14
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）的立方根是 ．
10．（3分）計算20242﹣2023×2025＝ ．
11．（3分）若a＝230，b＝320，c＝510，則a、b、c的大小關(guān)系是 .（用“＜”連接）
12．（3分）把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示．若∠BAC＝35°，則∠CBD＝ °．
13．（3分）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”大意是：如圖，木柱AB⊥BC，繩索AC比木柱AB長3尺，BC長為8尺，求繩索AC長為多少？設(shè)繩索AC長為x尺，根據(jù)題意，可列方程為 ．
14．（3分）在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC＝5，BD＝4，則以下四個結(jié)論中：①△BDE是等邊三角形；②AE∥BC；③△ADE的周長是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正確的序號是 ．（請?zhí)顚懶蛱枺?br>三、解答題（共78分）
15．（5分）計算[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab．
16．（5分）因式分解：m3﹣4mn2．
17．（6分）先化簡，再求值：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝2024．
18．（7分）如圖是6×8的長方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，點A和點B都在格點上．
（1）在圖①中畫出一個Rt△ABC，使點C在格點上；
（2）在圖②中畫出一個等腰△ABD，使點D在格點上；
（3）在圖③中畫出一個等腰直角△ABE，使點E在格點上．
19．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，求∠D的度數(shù)．
20．（8分）如圖，AC＝DC，E為AB上一點，EC＝BC，并且∠1＝∠2．
（1）求證：△ABC≌△DEC；
（2）若∠B＝75°，求∠3的度數(shù)．
21．（8分）某電子品牌商下設(shè)臺式電腦部、平板電腦部、手機部等．2022年的前五個月該品牌全部商品銷售額共計600萬元．下表表示該品牌商2022年前五個月的月銷售額（統(tǒng)計信息不全）；圖1表示該品牌手機部各月銷售額占該品牌所有商品當月銷售額的百分比情況統(tǒng)計圖；圖2表示5月份手機部各機型銷售數(shù)量占5月份手機部銷售總量的百分比統(tǒng)計圖．
該品牌月銷售額統(tǒng)計表（單位：萬元）
（1）若要表示手機部A機型這5個月銷售量的變化趨勢，該采用 統(tǒng)計圖；
（2）該品牌5月份的銷售額是 萬元，手機部5月份的銷售額是 萬元；
（3）對于該品牌手機部6月份的進貨，你有什么建議？
22．（9分）閱讀下列解答過程：
若二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是x+3，求另一個因式及m的值．
解：設(shè)另一個因式為x+a
則x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
∴∴
∴另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．
請依照以上方法解答下面問題：
（1）已知二次三項式x2+3x﹣k有一個因式是x﹣5，求另一個因式及k的值；
（2）已知二次三項式2x2+5x+k有一個因式是x+3，求另一個因式及k的值．
23．（11分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線A→C→B→A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
（1）AC的長為 ；
（2）當點P在線段AC、CB上運動時，用t的代數(shù)式表示CP的長度；
（3）當點P恰好在∠BAC的角平分線上（點A除外），求t的值；
（4）點P運動的過程中，當△BPC為等腰三角形時，請直接寫出t的值．
24．（12分） 2002年8月在北京召開了國際數(shù)學大會，大會會標如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，四個直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．
（1）通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式．
①圖1中陰影部分小正方形的邊長可表示為
②圖1中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為 、 ；
③你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是 （等號兩邊需化為最簡形式）；
④一直角三角形的兩條直角邊長為8和15，則其斜邊長為 ．
（2）通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．
①用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為 ；
②已知a+b＝5，ab＝3，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．
2024-2025學年吉林省長春市德惠市八年級（上）期末數(shù)學模擬試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）2的平方根為（ ）
A．4B．±4C．D．±
【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題．
【解答】解：2的平方根是，
故選：D．
【點評】本題考查了平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．
2．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a5＝a10B．（a2）3＝a6
C．（3ab）2＝3a2b2D．a(chǎn)6÷a2＝a3
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方的計算法則求解即可．
【解答】解：A、a2?a5＝a7，故選項計算錯誤，不符合題意；
B、（a2）3＝a6，故選項計算正確，符合題意；
C、（3ab）2＝9a2b2，故選項計算錯誤，不符合題意；
D、a6÷a2＝a4，故選項計算錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）數(shù)學老師布置10道選擇題作為課堂練習，學習委員將全班同學的答題情況繪制成條形圖，據(jù)統(tǒng)計圖可知，答對8道題的同學的頻率是（ ）
A．0.38B．0.4C．0.16D．0.08
【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計圖求出總共答對的人數(shù)，再求出答對8道題的同學人數(shù)，然后利用答對8道題的同學人數(shù)÷總共的人數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：總共的人數(shù)有4+20+18+8＝50人，
答對8道題的同學有20人，
∴答對8道題以上的同學的頻率是：20÷50＝0.4，
故選：B．
【點評】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，利用條形圖得出總共答對的人數(shù)與答對8道題的同學人數(shù)是解題關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣1，Rt△ABC的直角邊AB落在數(shù)軸上，且AB長為3個單位長度，BC長為1個單位長度，若以點A為圓心，以斜邊AC長為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理求得AC的長度，即AD的長度即可得出結(jié)果．
【解答】解：由勾股定理知：AC，
所以AD＝AC．
所以點D表示的數(shù)為1．
故選：D．
【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，關(guān)鍵是求出AD的長度．
5．（3分）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）
A．a(chǎn)，b，cB．∠B＝∠A+∠C
C．（b+a）（b﹣a）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定是直角三角形；
B、∵∠B＝∠A+∠C，∴∠B＝90°，故是直角三角形，正確；
C、∵（b+a）（b﹣a）＝c2，∴b2﹣a2＝c2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，正確；
D、∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，∴∠A＝180°90°，故是直角三角形，正確．
故選：A．
【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，給出四個結(jié)論：①DC＝DE；②BC＝BE；③△BDE≌△BDC；④AD＝DC．其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】判定△BDE≌△BDC（AAS），推出DC＝DE，BC＝BE，由垂線段最短得到AD＞DE，因此AD＞CD．
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE⊥AB于點E，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴DC＝DE，BC＝BE，
故①②③符合題意；
∵DE⊥AB，
∴AD＞DE，
∵CD＝DE，
∴AD＞CD，
故④不符合題意．
∴其中正確的有3個．
故選：B．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，垂線段最短，關(guān)鍵是判定△BDE≌△BDC（AAS）．
7．（3分）如圖，三個村莊A、B、C構(gòu)成△ABC，供奶站須到三個村莊的距離都相等，則供奶站應(yīng)建在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點
B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點
D．三角形三條中線的交點
【分析】到三個村的距離相等，即到三角形三個頂點的距離相等，在三角形中，只有三邊垂直平分線的交點到各頂點距離相等．
【解答】解：∵在三角形中，只有三邊垂直平分線的交點到各頂點距離相等，
∴廣場應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點處．
故選：A．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為（ ）
A．10B．12C．20D．14
【分析】先把圓柱的側(cè)面展開，連接AS，利用勾股定理即可得出AS的長．
【解答】解：如圖所示，
∵在圓柱的截面ABCD中AB，BC＝12，
∴ABπ＝8，BSBC＝6，
∴AS10．
故選：A．
【點評】本題考查的是平面展開﹣最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）的立方根是 2 ．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義進行計算即可．
【解答】解：∵8，8的立方根是2，
∴的立方根是2．
故答案為：2．
【點評】本題考查算術(shù)平方根、立方根，理解算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．
10．（3分）計算20242﹣2023×2025＝ 1 ．
【分析】將原式變形為20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式計算可得答案．
【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
故答案為：1．
【點評】此題考查的是平方差公式，將原式變形為20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）是解決此題的關(guān)鍵．
11．（3分）若a＝230，b＝320，c＝510，則a、b、c的大小關(guān)系是 c＜a＜b .（用“＜”連接）
【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方的計算方法得到a＝810，b＝910，c＝510即可．
【解答】解：∵a＝230＝（23）10＝810，b＝320＝（32）10＝910，c＝510，而5＜8＜9
∴510＜810＜910，
即c＜a＜b，
故答案為：c＜a＜b．
【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．
12．（3分）把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示．若∠BAC＝35°，則∠CBD＝ 20 °．
【分析】由折疊可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，由長方形形的性質(zhì)可得FB∥AE，再利用平行線的性質(zhì)可得∠FBA＝∠BAE，利用直角三角形兩銳角互余可求出∠CBA的度數(shù)，進而求出∠CBD的度數(shù)．
【解答】解：如圖，由折疊可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，
∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
又∵BF∥AE，
∴∠DBA＝∠BAE＝35°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝55°﹣∠35°＝20°．
故答案為：20．
【點評】此題主要考查的是折疊角的問題以及平行線的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵折疊時折痕是角平分線，同時正確利用平行線的性質(zhì)．
13．（3分）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”大意是：如圖，木柱AB⊥BC，繩索AC比木柱AB長3尺，BC長為8尺，求繩索AC長為多少？設(shè)繩索AC長為x尺，根據(jù)題意，可列方程為 （x﹣3）2+82＝x2 ．
【分析】設(shè)AC＝x尺，則AB＝（x﹣3）尺，由勾股定理得出方程（x﹣3）2+82＝x2．
【解答】解：設(shè)AC＝x尺，則AB＝（x﹣3）尺，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣3）2+82＝x2，
故答案為：（x﹣3）2+82＝x2．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC＝5，BD＝4，則以下四個結(jié)論中：①△BDE是等邊三角形；②AE∥BC；③△ADE的周長是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正確的序號是 ①②③ ．（請?zhí)顚懶蛱枺?br>【分析】根據(jù)等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行判定．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴△EBD是等邊三角形．
∴①正確．
∵將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴△BCD≌△BAE，
∴∠BAE＝BCD＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，
∴②正確．
∵△EBD是等邊三角形，
∴BD＝ED＝4，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE＝CD．
∴△ADE的周長＝AD+AE+DE
＝AD+CD+DE
＝AC+DE
＝5+4
＝9．
∴③正確．
∵△EBD是等邊三角形，
∴∠EDB＝60°，
如果∠ADE＝∠BDC，
∵∠ADE+∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADE＝∠BDC＝60°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠ABD+∠BAD
＝∠ABD+60°＞60°，
∴④錯誤．
故答案為：①②③．
【點評】本題考查等邊三角形，全等三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，充分利用性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共78分）
15．（5分）計算[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab．
【分析】先去中括號，再去小括號，再算除法，最后合并同類項即可．
【解答】解：[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab
＝（3a3b﹣12a2b2﹣6ab3）÷3ab+4ab
＝a2﹣4ab﹣2b2+4ab
＝a2﹣2b2．
【點評】本題考查了整式的除法，單項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
16．（5分）因式分解：m3﹣4mn2．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4n2）＝m（m+2n）（m﹣2n）．
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
17．（6分）先化簡，再求值：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝2024．
【分析】先利用整式的混合運算法則進行化簡，再將值代入原式即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝x2+x﹣（x2﹣1）
＝x2+x﹣x2+1
＝x+1，
把x＝2024代入得：x+1＝2025．
【點評】本題考查了整式的化簡求值．涉及到平方差公式的應(yīng)用，正確使用公式，合并同類項是關(guān)鍵．
18．（7分）如圖是6×8的長方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，點A和點B都在格點上．
（1）在圖①中畫出一個Rt△ABC，使點C在格點上；
（2）在圖②中畫出一個等腰△ABD，使點D在格點上；
（3）在圖③中畫出一個等腰直角△ABE，使點E在格點上．
【分析】（1）根據(jù)題意直接畫圖即可．
（2）由勾股定理得AB5，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)畫圖即可．
（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定畫圖即可．
【解答】解：（1）如圖①，Rt△ABC即為所求（答案不唯一）．
（2）如圖②，等腰△ABD即為所求（答案不唯一）．
（2）如圖③，等腰直角△ABE即為所求．
【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
19．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，求∠D的度數(shù)．
【分析】連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀即可．
【解答】解：連接AC，
∵∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625，
∵CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝72+242＝625＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠D＝90°．
【點評】本題考查的是勾股定理及其逆定理，先根據(jù)題意判斷出△ACD是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，AC＝DC，E為AB上一點，EC＝BC，并且∠1＝∠2．
（1）求證：△ABC≌△DEC；
（2）若∠B＝75°，求∠3的度數(shù)．
【分析】（1）利用SAS證明△ABC≌△DEC即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CEB＝∠B＝75°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠DEC＝75°，根據(jù)平角的定義求解即可．
【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）；
（2）解：∵EC＝BC，∠B＝75°，
∴∠CEB＝∠B＝75°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠B＝∠DEC＝75°，
∵∠3+∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠3＝30°．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ABC≌△DEC是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）某電子品牌商下設(shè)臺式電腦部、平板電腦部、手機部等．2022年的前五個月該品牌全部商品銷售額共計600萬元．下表表示該品牌商2022年前五個月的月銷售額（統(tǒng)計信息不全）；圖1表示該品牌手機部各月銷售額占該品牌所有商品當月銷售額的百分比情況統(tǒng)計圖；圖2表示5月份手機部各機型銷售數(shù)量占5月份手機部銷售總量的百分比統(tǒng)計圖．
該品牌月銷售額統(tǒng)計表（單位：萬元）
（1）若要表示手機部A機型這5個月銷售量的變化趨勢，該采用 折線 統(tǒng)計圖；
（2）該品牌5月份的銷售額是 120 萬元，手機部5月份的銷售額是 36 萬元；
（3）對于該品牌手機部6月份的進貨，你有什么建議？
【分析】（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖的特點即可得出答案；
（2）用五個月的全部商品銷售額減去前四個月的銷售額即可得到5月份的銷售額，根據(jù)圖1，手機占5月銷售額的30%即可得出答案；
（3）根據(jù)5月份手機部各機型的銷售數(shù)量，可以多進些B機型的手機，少進些D機型的手機．
【解答】解：（1）折線統(tǒng)計圖可以顯示銷售量變化趨勢，
故答案為：折線；
（2）600﹣180﹣90﹣115﹣95＝120（萬元），
120×30%＝36（萬元），
故答案為：120，36；
（3）多進些B機型的手機，少進些D機型的手機．
【點評】本題考查了統(tǒng)計圖的選擇，統(tǒng)計表，掌握折線統(tǒng)計圖的特點：①能清楚地反映事物的變化情況，②顯示數(shù)據(jù)變化趨勢是解題的關(guān)鍵．
22．（9分）閱讀下列解答過程：
若二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是x+3，求另一個因式及m的值．
解：設(shè)另一個因式為x+a
則x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
∴∴
∴另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．
請依照以上方法解答下面問題：
（1）已知二次三項式x2+3x﹣k有一個因式是x﹣5，求另一個因式及k的值；
（2）已知二次三項式2x2+5x+k有一個因式是x+3，求另一個因式及k的值．
【分析】利用已知結(jié)合因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，假設(shè)出另一個因式，進而得出方程組，可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)另一個因式為（x+m），由題意，得：
x2+3x﹣k＝（x﹣5）（x+m），
則x2+3x﹣k＝x2+（m﹣5）x﹣5m，
∴
∴，
∴另一個因式為x+8，k的值為40．
（2）設(shè)另一個因式為（x+m），由題意，得：
2x2+5x+k＝（x+3）（x+m），
則2x2+5x+k＝x2+（m+3）x+3m，
∴，
∴，
∴另一個因式為x+2，k的值為6．
【點評】此題主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程組，正確假設(shè)出另一個因式是解題的關(guān)鍵．
23．（11分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線A→C→B→A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
（1）AC的長為 8 ；
（2）當點P在線段AC、CB上運動時，用t的代數(shù)式表示CP的長度；
（3）當點P恰好在∠BAC的角平分線上（點A除外），求t的值；
（4）點P運動的過程中，當△BPC為等腰三角形時，請直接寫出t的值．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理，即可求解；
（2）根據(jù)題意分別列出代數(shù)式；
（3）點P作PE⊥AB于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、勾股定理列方程進行解答即可；
（4）分兩種情況討論：當P在AC上時，△BCP為等腰三角形；當P在AB上時，△BCP為等腰三角形即①CP＝PB、②PB＝BC時、③PC＝BC，進行討論易得t的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴，
故答案為：8；
（2）當點P在AC上運動時，CP＝AC﹣AP＝8﹣t；
當點P在CB上運動時，CP＝t﹣AC＝t﹣8；
（3）當點P在∠BAC的平分線上時，過點P作PE⊥AB于點E，
∵PC＝PE，AP＝AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ACP，
∴AC＝AE＝8，
∴BP＝8+6﹣t＝（14﹣t），PE＝PC＝（t﹣8），BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
∵在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
∴（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，
∴；
（4）①當P在AC上時，AP＝t，△BCP為等腰三角形，
∴PC＝BC，即8﹣t＝6，
∴t＝2．
②當P在AB上時，△BCP為等腰三角形，
Ⅰ．當CP＝PB時，點P在BC的垂直平分線上，過P作PE⊥BC于E，如圖：
∴∠B＝∠PCB，，
∵∠B+∠A＝90°，∠PCB+∠PCA＝90°，
∴PA＝PC，
∴，即t﹣6﹣8＝5，
∴t＝19；
Ⅱ．PB＝BC，即t﹣6﹣8＝6，
∴t＝20；
Ⅲ．PC＝BC，過C作CF⊥AB于F，如圖：
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∴在Rt△BFC中，，
∴，
∴．
∴當t＝2秒或t＝19秒或t＝20秒或秒時，△BCP為等腰三角形．
【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、三角形的面積、列方程并解方程等，難度適中．能利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．
24．（12分） 2002年8月在北京召開了國際數(shù)學大會，大會會標如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，四個直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．
（1）通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式．
①圖1中陰影部分小正方形的邊長可表示為 b﹣a
②圖1中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為 c2﹣2ab 、 （b﹣a）2 ；
③你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是 a2+b2＝c2 （等號兩邊需化為最簡形式）；
④一直角三角形的兩條直角邊長為8和15，則其斜邊長為 17 ．
（2）通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．
①用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為 （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ；
②已知a+b＝5，ab＝3，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．
【分析】（1）①根據(jù)直角三角形的兩邊長即可得到結(jié)論；
②求出圖形的各個部分的面積，即可得出答案；
③根據(jù)②的結(jié)果，即可得出答案；
④代入求出即可；
（2）①求出大正方體的條件和各個部分的體積，即可得出答案；
②代入①中的等式求出即可．
【解答】解：（1）①圖1中陰影部分小正方形的邊長可表示為b﹣a，
故答案為：b﹣a；
②圖1中陰影部分的面積為c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案為：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
③由②知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2，
故答案為：a2+b2＝c2；
④∵a2+b2＝c2，a＝8，b＝15，
∴c＝17，
故答案為：17；
（2）①圖形的體積為（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，
故答案為：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
②∵a+b＝5，ab＝3，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2＝a3+b3+3ab（a+b）
∴53＝a3+b3+3×3×5，
解得：a3+b3＝80．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的幾何應(yīng)用，能正確列代數(shù)式表示各個部分的體積和面積是解此題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/12/26 14:25:27；用戶：劉亞君；郵箱：99197645@qq.cm；學號：2798877月份
1月
2月
3月
4月
5月
該品牌月銷售額
180
90
115
95
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
D
A
B
A
A
月份
1月
2月
3月
4月
5月
該品牌月銷售額
180
90
115
95

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