一、填空題
1．已知集合，則的子集個數(shù)為 .
2．函數(shù)的最小正周期是 ．
3．不等式的解集為 .
4．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為 .
5．已知，則實數(shù)的取值范圍為 .
6．已知，若，則向量與的夾角的余弦值為 .
7．已知一個正四棱錐的每一條棱長都為2，則該四棱錐的體積為 .
8．某次楊浦區(qū)高三質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷中的填空題第八題，答對得5分，答錯或不答得0分，全區(qū)共4000人參加調(diào)研，該題的答題正確率是，則該次調(diào)研中全區(qū)同學(xué)該題得分的方差為 .
9．將一個半徑為1的球形石材加工成一個圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為 .
10．已知，其中實數(shù).若函數(shù)有且僅有2個零點，則的取值范圍為 .
11．中國探月工程又稱“嫦娥工程”，是中國航天活動的第三個里程碑.在探月過程中，月球探測器需要進(jìn)行變軌，即從一條橢圓軌道變到另一條不同的橢圓軌道上.若變軌前后的兩條橢圓軌道均以月球中心為一個焦點，變軌后橢圓軌道上的點與月球中心的距離最小值保持不變，而距離最大值擴大為變軌前的4倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2.5倍，則變軌前的橢圓軌道的離心率為 .（精確到0.01）
12．已知實數(shù)，是虛數(shù)單位，設(shè)集合，集合，如果，則的取值范圍為 .
二、單選題
13．已知實數(shù)，則“”是“”的（ ）條件.
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分也非必要
14．如果是獨立事件，分別是的對立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
15．小李研究數(shù)學(xué)建模“雨中行”問題，在作出“降雨強度保持不變”?“行走速度保持不變”?“將人體視作一個長方體”等合理假設(shè)的前提下，他設(shè)了變量：
并構(gòu)建模型如下：
當(dāng)人迎風(fēng)行走時，人體總的淋雨量為.
根據(jù)模型，小李對“雨中行”作出如下解釋：
①若兩人結(jié)伴迎風(fēng)行走，則體型較高大魁梧的人淋雨是較大；
②若某人迎風(fēng)行走，則走得越快淋雨量越小，若背風(fēng)行走，則走得越慢淋雨量越??；
③若某人迎風(fēng)行走了秒，則行走距離越長淋雨量越大.
這些解釋合理的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
16．設(shè)無窮數(shù)列的前項和為，且對任意的正整數(shù)，則的值可能為（ ）
A．B．0C．6D．12
三、解答題
17．如圖，在正方體中，點、分別是棱、的中點.
(1)求證：；
(2)求二面角的大小.
18．已知的內(nèi)角所對邊的長度分別為.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值.
19．為加強學(xué)生睡眠監(jiān)測督導(dǎo)，學(xué)校對高中三個年級學(xué)生的日均睡眠時間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機抽樣法，學(xué)校在高一?高二和高三年級中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級一共512人.
(1)學(xué)校高中三個年級一共有多少個學(xué)生？
(2)若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如下表所示（其中是正整數(shù)）
求該樣本的第40百分位數(shù).
(3)從這100名學(xué)生的樣本中隨機抽取三個學(xué)生的日均睡眠時間，求其中至少有1個數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的概率.
20．如圖所示，已知拋物線，點是拋物線上的四個點，其中在第一象限，在第四象限，滿足，線段與交于點.記線段與的中點分別為.
(1)求拋物線的焦點坐標(biāo)；
(2)求證：點三點共線；
(3)若，求四邊形的面積.
21．已知y=fx是定義域為的函數(shù)，實數(shù)，稱函數(shù)為函數(shù)y=fx的“-生成函數(shù)”，記作.
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)若，函數(shù)滿足對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若y=fx滿足：①；②y=fx在0,1上存在導(dǎo)函數(shù)y=f′x，且y=f′x在0,1上是嚴(yán)格增函數(shù)；③對于任意的“-生成函數(shù)”的圖像是一段連續(xù)曲線，求證：函數(shù)在0,1上是嚴(yán)格增函數(shù).
人的身高
人體寬度
人體厚度
降雨速度
雨滴密度
行走距離
風(fēng)速
行走速度
日均睡眠時間（小時）
8.5
9
9.5
10
學(xué)生數(shù)量
32
13
11
4
參考答案：
1．4
【分析】利用子集概念列舉出即可得到答案.
【詳解】集合,則集合的子集有：
所以集合的子集個數(shù)有個.
故答案為：4.
2．
【詳解】的最小正周期是，
故答案為：
3．
【分析】首先將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集即可.
【詳解】分式不等式可以轉(zhuǎn)化為，解得，
所以原不等式的解集為.
故答案為：.
4．0
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，
由于為偶函數(shù)，故，即，即，
故，
故答案為：0
5．
【分析】討論去絕對值求解.
【詳解】由，
當(dāng)時，上式為，解得（舍），
當(dāng)時，上式為，解得（舍），
當(dāng)時，上式為.
所以實數(shù)的的取值范圍為.
故答案為：.
6．/
【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)向量垂直運算可得答案.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，
若，則，
所以，
可得.
故答案為：.
7．
【分析】作出輔助線，求出正四棱錐的高，由錐體體積公式進(jìn)行求解.
【詳解】如圖，正四棱錐，正方形的對角線相交于點，連接，
則⊥平面，
因為平面，所以⊥，
其中，
故，
所以該四棱錐的體積為.
故答案為：
8．6
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計算求解即可.
【詳解】同全區(qū)同學(xué)中答對的人數(shù)為人，答錯或不答的人數(shù)為人，
所以全區(qū)同學(xué)該題得分的平均數(shù)為分，
則全區(qū)同學(xué)該題得分的方差為.
故答案為：6.
9．
【分析】設(shè)圓柱形工件的高為h，底面半徑為r，得到圓柱形工件的側(cè)面積為，再結(jié)合基本不等式求解側(cè)面積的最大值.
【詳解】設(shè)圓柱形工件的高為h，底面半徑為r，，
則圓柱形工件的側(cè)面積為，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
故答案為：.
10．
【分析】由題意可知有兩根，通過方程求解即可.
【詳解】由題意可知：有兩根，結(jié)合在和都是單調(diào)遞增，
所以有一解，解得：，
有一解，解得：，
所以，
故答案為：.
11．
【分析】根據(jù)橢圓上點到焦點距離最小值為，到焦點距離最大值為，列式運算得解.
【詳解】設(shè)變軌前的橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，離心率為，
變軌后的橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，離心率為，
由題意可得，化簡得，
即，解得（負(fù)值舍去）.
故答案為：.
12．
【分析】解法一：明確集合A，B的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)幾何意義即可求得參數(shù)范圍.
解法二：先證明不屬于的復(fù)數(shù)，恰好是那些區(qū)間上的實數(shù)，再利用該結(jié)論得到取值范圍.
【詳解】解法一：由于，設(shè)，
則
，
設(shè)z對應(yīng)點，則，
所以，其中，
當(dāng)時，該方程的幾何意義為表示所有橢圓的并集，
即平面上除去線段的點的集合，其中，
集合表示復(fù)平面上的圓，圓心為，半徑為a，
如果，則該圓與線段無公共點，
結(jié)合圖形可知的取值范圍為；
解法二：
先證明：不屬于的復(fù)數(shù)，恰好是那些區(qū)間上的實數(shù).
下設(shè)是復(fù)數(shù).
①情況一：不是實數(shù)，也不是純虛數(shù).
設(shè)，，并令，.
則對，有，即.
假設(shè)，則，矛盾，所以，從而.
又因為，
所以.
此時，假設(shè)：由于，
故.
同理，根據(jù)可以得到.
對和相加和相減，
就能得到，.
若假設(shè)，則，從而或，
這和情況一的定義矛盾，所以.
若假設(shè)，則，從而，這和情況一的定義矛盾，所以.
這就得到，所以，所以，
即.
這就得到.
所以或，無論哪種情況都能得到是實數(shù)，故可設(shè).
若，則，得是實數(shù)，這和情況一的定義矛盾.
若，則，得是純虛數(shù)，這和情況一的定義矛盾.
故前面的假設(shè)不成立，所以結(jié)合可知，
一定存在使得，結(jié)合可知.
②情況二：是純虛數(shù).
此時設(shè)，則滿足，
且
.
故.
③情況三：是實數(shù)，且.
此時滿足，
且，故.
④情況四：是實數(shù)，且.
此時滿足，
且，故.
⑤情況五：是實數(shù)，且.
假設(shè)，則存在復(fù)數(shù)使得，且，設(shè).
則.
從而，，而由可知，
所以，故.
這就得到，矛盾.
所以假設(shè)不成立，從而.
綜合上面五種情況，就得到了結(jié)論：不屬于的復(fù)數(shù)，恰好是那些區(qū)間上的實數(shù).
現(xiàn)在回到原題，結(jié)合上面的結(jié)論，條件等價于中包含的每個實數(shù)都不屬于.
一方面，若中包含一個實數(shù)，滿足.
則，，從而.
另一方面，若，則實數(shù)滿足，.
故中包含一個實數(shù)，滿足.
這就說明，中包含一個實數(shù)滿足的充要條件是.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對復(fù)數(shù)知識和三角恒等變換的使用.
13．A
【分析】根據(jù)分式不等式化簡可得或，即可根據(jù)集合間的關(guān)系求解.
【詳解】由得，解得或，
由于?或，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
14．C
【分析】根據(jù)相互獨立事件的定義以及性質(zhì)，即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】對于A,由于是獨立事件，故，A正確，
對于B，由于是獨立事件，則也是相互獨立事件，故，B正確，
對于C，,故由于不一定為0，故C錯誤，
對于D, 由于是獨立事件，則也是相互獨立事件，,D正確，
故選：C
15．C
【分析】利用作差法可以比較兩人淋雨量判斷①，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷②③.
【詳解】①若兩人結(jié)伴迎風(fēng)行走，設(shè)體型較高大魁梧的人身高為，寬度為，厚度為，另一人身高為，寬度為，厚度為，
則，
又，，，
則，，
即，
即體型較高大魁梧的人淋雨是較大，①正確；
②若某人迎風(fēng)行走，則，
則隨的增大而減小，即走得越快淋雨量越小；
若某人逆風(fēng)行走，則，
當(dāng)時，隨的增大而減小，即走得越快淋雨量越小，
當(dāng)時，，隨的增大而減小，即走得越慢淋雨量越小，
當(dāng)時，淋雨量與無關(guān)，②錯誤；
③若某人迎風(fēng)行走了秒，則為定值，且 ，
則，
所以隨的增大而增大，即行走距離越長淋雨量越大，③正確；
綜上所述合理的解釋有個，
故選：C.
16．A
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，探索數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點，分別求出和，再根據(jù)及數(shù)列是無窮數(shù)列對各選項進(jìn)行判斷.
【詳解】當(dāng)時，.
當(dāng)時，，所以，
兩式相減得：，因為，所以.
所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，且.
所以.
同理，數(shù)列的偶數(shù)項是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以.
所以.
若，則數(shù)列各項均不為0，數(shù)列是無窮數(shù)列，故A正確；
若，這與矛盾，故B錯誤；
若，根據(jù)奇數(shù)項成公差為1的等差數(shù)列，則，則無法求出，這與數(shù)列是無窮數(shù)列矛盾，故C錯誤；
若，根據(jù)奇數(shù)項成公差為1的等差數(shù)列，則，則無法求出，這與數(shù)列是無窮數(shù)列矛盾，故D錯誤.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：觀察出數(shù)列的特點后，一定要注意及數(shù)列是無窮數(shù)列這兩個條件的應(yīng)用.
17．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用線面垂直證線線垂直；
（2）法一：利用幾何法可得二面角，法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求二面角.
【詳解】（1）如圖所示，連接，，，
由為正方體，
可知，平面，又平面，
，
，分別為，中點，
，，
，且，平面，
平面，
平面，
；
（2）設(shè)正方體棱長為，
法一：
如圖所示，設(shè)，連接，
由（1）得平面，
，平面，
，，
二面角的平面角即為，
又，
在中，，，
所以，所以，
所以二面角的余弦值為，即二面角的大小為；
法二：
如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，，，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
即，，
設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，則，
令，則，
易知平面的一個法向量為，
，
二面角為銳二面角，
二面角的余弦值為，
即二面角的大小為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合題設(shè)及余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式求解即可；
（2）由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡求得，進(jìn)而結(jié)合平方關(guān)系求解即可.
【詳解】（1）由，得，
由余弦定理得，即，
所以，即，
所以的面積為.
（2）由，由正弦定理得，
可得，
則，
因為，所以，
則，又，
所以.
19．(1)1600
(2)
(3)
【分析】根據(jù)分層抽樣，按比例抽取即可得到答案．
根據(jù)極差可得，再結(jié)合學(xué)生總數(shù)量為100，可求出，再根據(jù)求第百分位數(shù)的方法即可求得.
根據(jù)古典概型的概率計算，如果一次實驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，如果某個事件包含的結(jié)果有個，那么事件的概率為，即可解得.
【詳解】（1）設(shè)學(xué)校高中三個年級一共有個學(xué)生,
因為采用分層抽樣法抽取一個容量為100的樣本，
在高一年級抽取了35人，高二年級抽取了33人，
所以高三抽取的人數(shù)為：人，
又因為高三年級一共512人，所以有：，解得.
所以學(xué)校高中三個年級一共有1600個學(xué)生.
（2）因為抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，所以
又因為，所以樣本的第40百分位數(shù)為：
（3）因為100名學(xué)生的樣本中隨機抽取三個學(xué)生的總情況數(shù)為：
其中至少有1個數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的情況為：
所以至少有1個數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的概率為：
20．(1)
(2)證明見解析；
(3)
【分析】（1）由拋物線方程可直接得焦點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線AB，CD斜率不存在時，由對稱性可證明結(jié)論；當(dāng)直線AB，CD斜率存在時，設(shè)直線MN與線段AC，BD交點為P，Q，證明P，Q重合即P，Q為H時可證明結(jié)論；
（3）由（2）結(jié)合，可得，后由，可得與四邊形面積組成部分的比例關(guān)系，即可得答案.
【詳解】（1）因拋物線方程為，則焦點坐標(biāo)為；
（2）證明：設(shè).
若，則直線AB，CD斜率不存在，
由對稱性，可知M，N，H均在x軸上，則三點共線；
若，則直線斜率存在，
直線方程為：，結(jié)合，
則，
同理可得方程：，方程：，
BD方程：.設(shè)，
因，則.
則直線MN與x軸平行，設(shè)直線MN與線段AC，BD交點為.
將代入直線AC方程，
則；
將代入直線BD方程，
則.
注意到
，又，則P，Q兩點重合，
即P，Q為線段與交點H，且點三點共線；
（3）由（2），直線MN與x軸平行，
則.
又，同理可得，
又由（2），
則，
由，則，
即.
則
.
如圖，過B作MN平行線，交CD為E，則四邊形MBEN為平行四邊形，
結(jié)合，則，.
因，則，結(jié)合，
則，又M為AB中點，則N為DE中點.
則，
則四邊形的面積.
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于所涉點較多的圓錐曲線綜合問題，常不設(shè)直線，而改為設(shè)點，并用點的坐標(biāo)結(jié)合曲線方程化簡直線方程；對于不規(guī)則圖形面積，常分割為多個三角形求面積.
21．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意得到，，結(jié)合，求出函數(shù)的最值，得到值域；
（2），，故對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合特殊點函數(shù)值，多次求導(dǎo)，由端點值效應(yīng)得到時，滿足要求，并得到時，不滿足要求，得到答案；
（3）得到，求導(dǎo)得到，
由的單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，又，故，兩邊同時除以得，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）
，，
因為，所以，，所以當(dāng)，
即時，取得最小值，最小值為，
當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為2，
故函數(shù)值域為；
（2），故，，
，，
對任意的恒成立，
令，，
則，其中，，
顯然，令，，
則，，
令，，
，
令，則在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞增，
，故在上恒成立，
故在恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
其中，若，即時，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
故在上單調(diào)遞增，
，滿足要求，
若，則，故存在適當(dāng)?shù)?，使得時，，
故在上單調(diào)遞減，又，
故在恒成立，不合要求，
綜上，實數(shù)的取值范圍是；
（3），，
由于，故，
，
因為在上是嚴(yán)格增函數(shù)，，
所以，，
故在上單調(diào)遞增，
又，故在恒成立，
兩邊同時除以得，
由于為上的任意數(shù)，故函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù).
【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖象確定條件.
題號
13
14
15
16






答案
A
C
C
A






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