考點(diǎn)一 求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根
考點(diǎn)二 根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解題
考點(diǎn)三 平方根的應(yīng)用
考點(diǎn)四 求一個(gè)數(shù)的立方根
考點(diǎn)五 立方根的應(yīng)用
考點(diǎn)六 實(shí)數(shù)的大小比較
考點(diǎn)七 新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
考點(diǎn)八 與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題
【考點(diǎn)一 求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】
【例題1】已知方程組的解滿足，則k的算術(shù)平方根為（ ）
A．±2B．2C．－2D．4
【變式1-1】若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為、、，則使此三角形是直角三角形的的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【變式1-2】若，滿足，則的算術(shù)平方根為_(kāi)__________.
【變式1-3】若單項(xiàng)式與可以合并成一項(xiàng)，則的算術(shù)平方根是______．
【變式1-4】已知的平方根為，的算術(shù)平方根為2．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【考點(diǎn)二 根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】
【例題2】已知+|b﹣1|＝0，那么的值為（ ）
A．﹣1B．1C．32022D．﹣32022
【變式2-1】若實(shí)數(shù)x滿足，則（ ）
A．x＝2或－1B．2≥x≥－1C．x＝2D．x＝－1
【變式2-2】已知： ，那么的值等于___________.
【變式2-3】若x，y為實(shí)數(shù)，且∣x－2∣＋＝0，則的值為_(kāi)__________．
【變式2-4】已知：|a+2|+=0，
(1)求a，b的值；
(2)先化簡(jiǎn)，再求值：
【考點(diǎn)三 平方根的應(yīng)用】
【例題3】如圖，面積為7的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)），且AB＝AE，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．1+D．+2
【變式3-1】已知≈4.858，≈1.536，則﹣≈（ ）
A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536
【變式3-2】一個(gè)正數(shù)的平方根分別是和2x+5，則這個(gè)正數(shù)是______
【變式3-3】如圖，在的方格紙中，有一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是___________．
【變式3-4】如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．
(1)求大正方形的邊長(zhǎng)：
(2)若沿此大正方形邊長(zhǎng)的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3，且面積為48？
【考點(diǎn)四 求一個(gè)數(shù)的平方根】
【例題4】如表是李小聰?shù)臄?shù)學(xué)測(cè)試答卷，他的得分應(yīng)是（ ）
A．120分B．100分C．80分D．60分
【變式4-1】按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的的值是64，則輸出的的值是（ ）
A．B．C．D．
【變式4-2】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則的立方根是______．
【變式4-3】據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個(gè)數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算的奧秘．華羅庚給出了如下方法：（1）由，，確定是兩位數(shù)；（2）由59319個(gè)位上的數(shù)是9，確定個(gè)位上的數(shù)是9；（3）劃去59319后面的三位319得到59，而，，由此確定十位上的數(shù)是3．請(qǐng)你類(lèi)比上述過(guò)程，確定21952的立方根是______．
【變式4-4】如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．
(1)將a，b，c，0由大到小排列（用“”連接）__________________；
(2)______0；______0（填寫(xiě)“”，“”，“”）
(3)試化簡(jiǎn)：
【考點(diǎn)五 立方根的應(yīng)用】
【例題5】有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下：
當(dāng)輸入的x值為64時(shí)，輸出的y值是（ ）
A．4B．C．2D．
【變式5-1】已知，則a的值為( )
A．B．0或±1C．0D．0，±1或
【變式5-2】如圖1，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64．把正方形放到數(shù)軸上，如圖2，使點(diǎn)與-2重合，那么點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為_(kāi)__________．
【變式5-3】我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾巧解開(kāi)立方的智力題：一個(gè)數(shù)是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是兩位整數(shù)；
∵整數(shù)59319的末位上的數(shù)字是9，而整數(shù)0至9的立方中，只有＝729的末位數(shù)字是9，∴的末位數(shù)字是9；
又∵劃去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位數(shù)字是3；
∴＝39；
【應(yīng)用】＋59049＝0，其中x是整數(shù)則x的值為_(kāi)_____．
【變式5-4】你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出195112的立方根是多少嗎？請(qǐng)按照下面的問(wèn)題試一試：
（1）由，，推出是______位數(shù)；
（2）由195112的個(gè)位數(shù)是2，推出的個(gè)位數(shù)是______；
（3）如果劃去195112后面的三位112，得到195，而，，推出的十位數(shù)是______，所以，______．
【考點(diǎn)六 實(shí)數(shù)的大小比較】
【例題6】已知，，，…，均為負(fù)數(shù)，則，，則M與N的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．無(wú)法確定
【變式6-1】如圖1和2，兩個(gè)圓的半徑相等，O1、O2分別是兩圓的圓心，圖1中的陰影部分面積為S1，圖2中的陰影部分面積為S2，那么S1與S2之間的大小關(guān)系是（ ）
A．S1＜S2B．S1＝S2C．S1＞S2D．不能確定
【變式6-2】比較大?。篲__．（填“”或“”）
【變式6-3】已知表示取三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則______．
【變式6-4】閱讀材料：小明對(duì)不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b比較大小，有如下規(guī)律：若，則；若，則；若，則，上面的規(guī)律，反過(guò)來(lái)也成立．課上，通過(guò)老師和其他同學(xué)的交流，驗(yàn)證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問(wèn)題：
(1)比較大?。? ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 試比較A和B的大小.
【考點(diǎn)七 新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】
【例題7】對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b定義兩種運(yùn)算：a⊕b，a?b，并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)?3=﹣2，[(﹣2)⊕3] ?2=2，那么(⊕2)?的值為（ ）
A．2B．C．3D．3
【變式7-1】規(guī)定不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作，例如，，．下列說(shuō)法：①；②；③（a為正整數(shù)）；④若n為正整數(shù)，且，則n的最小值為6，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式7-2】對(duì)于任何實(shí)數(shù)，可用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則______．
【變式7-3】如果無(wú)理數(shù)的值介于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)之間，即滿足（其中、為連續(xù)正整數(shù)），我們則稱(chēng)無(wú)理數(shù)的“雅區(qū)間”為．例：，所以的“雅區(qū)間”為．若某一無(wú)理數(shù)的“雅區(qū)間”為，且滿足，其中，是關(guān)于、的二元一次方程組的一組正整數(shù)解，則______．
【變式7-4】閱讀下列材料，并回答問(wèn)題：
人們把形如與（a，b為有理數(shù)且b不等于0，m為正整數(shù)且開(kāi)方開(kāi)不盡）的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為共軛實(shí)數(shù)
(1)請(qǐng)你舉出一對(duì)共軛實(shí)數(shù)
(2)與是共軛實(shí)數(shù)嗎？與是共軛實(shí)數(shù)嗎？
(3)共軛實(shí)數(shù)與是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)？
(4)你發(fā)現(xiàn)共軛實(shí)數(shù)與的和，差是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)？
【考點(diǎn)八 與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題】
【例題8】有一列數(shù)，，，，…，，從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若，則的值為 （ ）
A．2B．C．D．2021
【變式8-1】若，，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-2】觀察下列各式：
，，，……
請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算，其結(jié)果為_(kāi)__________．
【變式8-3】將1、、、按如圖方式排列．若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù)，則（5，4）與（12，3）表示的兩數(shù)之和是 _____．
【變式8-4】已知，
(1)觀察上式得出規(guī)律，則 ， ．
(2)若的值．
(3)由（2）中、的值，求的值．
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
2．下列運(yùn)算中，①，②，③，④．錯(cuò)誤的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．下列說(shuō)法：（1）任何一個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；（2）數(shù)a的平方根是±；（3）的算術(shù)平方根是2；（4）負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方； （5），其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入x的值為16時(shí)，輸出的y的值為（ ）．
A．4B．C．2D．1
5．如圖，，過(guò)點(diǎn)P作且，得；再過(guò)點(diǎn)作且，得；又過(guò)點(diǎn)作且，得…依此法繼續(xù)作下去，得等于（ ）
A．B．C．D．
6．若，則____________．
7．已知．
（1）x的值為_(kāi)____；
（2）x的算術(shù)平方根為_(kāi)____．
8．南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是一種用程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法．其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為和（即有x，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知π，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分?jǐn)?shù)．現(xiàn)已知，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分?jǐn)?shù)為 _____．
9．若符號(hào)[a，b]表示a，b兩數(shù)中較大的一個(gè)數(shù)，符號(hào)（a，b）表示a，b兩數(shù)中較小的一個(gè)數(shù)，則計(jì)算的結(jié)果是______．
10．高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被公認(rèn)的世界最著名的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：函數(shù)y=[x]，也稱(chēng)為取整函數(shù)，即[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[-2.5]=-3，[3.14]=3，根據(jù)這個(gè)規(guī)定：
（1）[-+1]=_________；
（2）若[]=2022，則x的取值范圍是__________．
11．實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，其中是原點(diǎn)，且；
化簡(jiǎn)：
12．（1）已知，，是的算術(shù)平方根，求的值；
（2）已知，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．
13．如圖，∠BAD=∠CAE=，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．
(1)求證：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度數(shù)；
(3)若DE=a，CD=b，并且，求DB的長(zhǎng)度．
14．閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家都知道是無(wú)理數(shù)，而且，即，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．
又例如：①∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．②∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．
請(qǐng)解答：
如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；
15．閱讀材料，并解答問(wèn)題：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如圖①，在直角三角形中，，，，，斜邊，為了比較與的大小，小伍和小陸兩名同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題分別進(jìn)行了研究．
(1)小伍同學(xué)利用計(jì)算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“”
(2)小陸同學(xué)受到前面學(xué)習(xí)在數(shù)軸上用點(diǎn)表示無(wú)理數(shù)的啟發(fā)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，其中，，點(diǎn)在上，且．請(qǐng)你利用此圖進(jìn)行計(jì)算與推理，幫小陸同學(xué)比較和的大?。?br>姓名：李小聰?shù)梅郑海?br>填空（每小題20分，共120分）
①﹣0.5的絕對(duì)值是（）．
②2的倒數(shù)是（﹣2）．
③﹣0．8的相反數(shù)是（0.8）．
④﹣1的立方根是（﹣1）．
⑤算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是（1）．
⑥的算術(shù)平方根是（8）．

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