構(gòu)建知識(shí)體系
考點(diǎn)梳理
1. 事件分類
2. 概率的計(jì)算(6年5考)
(1)直接公式法：如果一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝③
(2)列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步計(jì)算，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，可采用列表法不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝mn計(jì)算概率
(3)畫(huà)樹(shù)狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩步或兩步以上的計(jì)算時(shí)，通常采用畫(huà)樹(shù)狀圖法來(lái)表示所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝mn計(jì)算概率
(4)幾何概型的概率公式：P(A)＝
構(gòu)成事件A的區(qū)域面積(或長(zhǎng)度、角度、時(shí)間)全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積(或長(zhǎng)度、角度、時(shí)間)
(5)頻率估計(jì)概率：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率mn穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝④
3. 概率的應(yīng)用
判斷游戲公平性：判斷公平性時(shí)需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平
練考點(diǎn)
1. 下列事件中：①車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到綠燈；②三角形兩邊之和小于第三邊；③30人中有兩人的生日在同一月；④對(duì)某一目標(biāo)射擊10次，命中10次；⑤下個(gè)月有31天；⑥沒(méi)有水分，水稻種子發(fā)芽.
其中是必然事件的有 ，不可能事件有 ，隨機(jī)事件有 .(填序號(hào))
2. 袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.
(1)隨機(jī)從袋子摸出一個(gè)球，摸出的球是黑球的概率為 ；
(2)隨機(jī)從袋子一次性摸出兩個(gè)球，則摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率為 .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn) 概率的計(jì)算 (6年5考)
例 一個(gè)不透明的袋子內(nèi)裝有2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，這些球除顏色外其余都相同.
(1)從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，是白球是 事件，是黃球是 事件，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，至少有一個(gè)球是黃球是 事件(填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”)；
(2)隨機(jī)摸出一個(gè)球.
①摸到黃球的概率為 ；
②放回?cái)噭?，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出的兩球都是黃球的概率為 ；
③不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出的兩球都是紅球的概率為 ；
(3)若在袋中放入若干個(gè)紅球，然后多次從中摸出一個(gè)球并放回，發(fā)現(xiàn)摸到的紅球的頻率穩(wěn)定在0.5，則放入的紅球的個(gè)數(shù)為 ；
(4)5個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字－2，－1，0，1，2.小明先從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，不放回，然后小東再?gòu)拇须S機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的這兩個(gè)球上的數(shù)字之積為正數(shù)，小明獲勝；數(shù)字之積為負(fù)數(shù)，小東獲勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法說(shuō)明你的理由.
易錯(cuò)警示
1. 不放回抽樣，即每次抽樣后樣本總體都會(huì)少一個(gè)；放回抽樣，即每次都是從總體中抽取.
2. 用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求事件概率時(shí)：①要認(rèn)真弄清題意，分清是“一步試驗(yàn)”還是“兩步或兩步以上試驗(yàn)”；②要在所有等可能的結(jié)果中，仔細(xì)篩選出適合題意的結(jié)果，代入P(A)＝事件A發(fā)生的結(jié)果總數(shù)所有可能的結(jié)果總數(shù)中求出概率，謹(jǐn)防出錯(cuò).
真題及變式
命題點(diǎn)1 概率的計(jì)算 (6年5考)
類型一 一步概率(6年3考)
1. (2024廣東6題3分)長(zhǎng)江是中華民族的母親河，長(zhǎng)江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化.若從上述四種區(qū)域文化中隨機(jī)選一種文化開(kāi)展專題學(xué)習(xí)，則選中“巴蜀文化”的概率是( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
2. (2023廣東7題3分)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了勞動(dòng)教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的概率為( )
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
3. (2022廣東7題3分)書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)、1本物理書(shū).從中任取1本書(shū)是物理書(shū)的概率為( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23
類型二 兩步概率(6年2考)
4. (2021廣東3題3分·人教九上例題改編)同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是( )
A. 112 B. 16 C. 13 D. 12
命題點(diǎn)2 統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合 (2019.20)
5. (2019廣東20題7分)為了解某校九年級(jí)全體男生1 000米跑步的成績(jī)，隨機(jī)抽取了部分男生進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試成績(jī)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表信息解答下列問(wèn)題：
(1)x＝ ，y＝ ，扇形圖中表示C的圓心角的度數(shù)為 度；
(2)甲、乙、丙是A等級(jí)中的三名學(xué)生，學(xué)校決定從這三名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名介紹體育鍛煉經(jīng)驗(yàn)，用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求同時(shí)抽到甲、乙兩名學(xué)生的概率.
成績(jī)等級(jí)扇形統(tǒng)計(jì)圖
第5題圖
新考法
6. [跨物理和化學(xué)學(xué)科](2024臨夏州)物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)的生成.某學(xué)習(xí)小組在延時(shí)課上制作了A，B，C，D四張卡片，四張卡片除圖片內(nèi)容不同外，其他沒(méi)有區(qū)別，放置于暗箱中搖勻.
(1)小臨從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽中C卡片的概率是 ；
(2)小夏從四張卡片中隨機(jī)抽取兩張，用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的概率.
第6題圖
考點(diǎn)精講
①1 ②0 ③mn ④p
練考點(diǎn)
1. ③，②⑥，①④⑤.
2. (1)23；(2)715
高頻考點(diǎn)
例 解：(1)不可能，隨機(jī)，必然；
(2)①35；②925；③110；
(3)1；
(4)不公平，理由如下：
畫(huà)樹(shù)狀圖如解圖；
例題解圖
由樹(shù)狀圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之積為正數(shù)的結(jié)果有4種，數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有8種，
∴P(小明獲勝)＝420＝15，
P(小東獲勝)＝820＝25，
∵15≠25，
∴游戲不公平.
真題及變式
1. A 【解析】∵共有四種區(qū)域文化，∴隨機(jī)選一種文化開(kāi)展專題學(xué)習(xí)，選中“巴蜀文化”的概率是14.
2. C 【解析】∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程，∴P(恰好選中“烹飪”)＝14.
3. B 【解析】∵書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)、1本物理書(shū)，∴P(從中任取1本書(shū)是物理書(shū))＝13.
4. B 【解析】根據(jù)題意，列表如下，
由表格可知，共有36種等可能的結(jié)果，其中和為7的結(jié)果有6種，∴P(兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7)＝636＝16.
5. 解：(1)4，40，36；(3分)
【解法提示】由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，等級(jí)B所占百分比為25％，由成績(jī)等級(jí)頻數(shù)分布表可知，等級(jí)B的頻數(shù)為10，則總頻數(shù)y＝1025％＝40，則x＝40－24－10－2＝4，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示C的圓心角的度數(shù)為440×360°＝36°.
(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如解圖：
第5題解圖
(5分)
由樹(shù)狀圖可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中同時(shí)抽到甲、乙兩名學(xué)生的結(jié)果有2種，
∴P(同時(shí)抽到甲、乙兩名學(xué)生)＝26＝13.(7分)
6. 解：(1)14；
【解法提示】∵一共有A，B，C，D四張卡片，∴小臨從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽中C卡片的概率是14.
(2)依據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如解圖：
第6題解圖
或列表如下：
由樹(shù)狀圖(或列表)可知，共有12種等可能結(jié)果，其中A，D卡片內(nèi)容為化學(xué)變化，小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的結(jié)果有2種，
∴P(小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化)＝212＝16.
事件類型
定義
概率
確定
事件
必然事件
在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件
①
不可能事件
在一定條件下，必然不會(huì)發(fā)生的事件
②
隨機(jī)事件
在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件
0～1之間
成績(jī)等級(jí)頻數(shù)分布表
成績(jī)等級(jí)
頻數(shù)
A
24
B
10
C
x
D
2
合計(jì)
y
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
4
5
6
1
5
6
7
2
6
7
8
3
7
8
9
4
8
9
10
5
9
10
11
6
10
11
12
卡片
A
B
C
D
A
—
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
—
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
—
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
—

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