考點(diǎn)1 五種基本尺規(guī)作圖的方法 (6年3考)
作圖步驟
一、作一條線段等于已知線段
1. 作射線OP；
2. 以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作弧交OP于點(diǎn)A，則OA即為所求作的線段
原理：圓弧上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑長
二、作一個角等于已知角
1. 在∠α上以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q；
2. 作射線O'A；
3. 以點(diǎn)O'為圓心，OP(或OQ)長為半徑作弧，交O'A于點(diǎn)M；
4. 以點(diǎn)M為圓心，PQ長為半徑作弧，交步驟3中的弧于點(diǎn)N；
5. 過點(diǎn)N作射線O'B，∠AO'B即為所求作的角
原理：三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形對應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線
三、作已知角的角平分線
1. 以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)N，M；
2. 分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；
3. 作射線OP，OP即為∠AOB的平分線
原理：三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線
四、作線段的垂直平分線
1. 分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12AB長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N；
2. 作直線MN，直線MN即為所求作的垂直平分線
原理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線
五、過一點(diǎn)作已知直線的垂線
情況1 過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線
(1)以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
(2)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12AB長為半徑向直線l的上方(或下方)作弧，交于點(diǎn)M；
(3)過點(diǎn)M，P作直線，直線MP即為所求作垂線
原理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線
情況2 過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線
(1)任意取一點(diǎn)M，使點(diǎn)M和點(diǎn)P在直線l的兩側(cè)；
(2)以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑作弧，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
(3)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12AB長為半徑作弧，在點(diǎn)M的同側(cè)交于點(diǎn)N；
(4)過點(diǎn)P，N作直線，直線PN即為所求作垂線
原理：圓弧上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑長；到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線
例1 已知△ABC.
(1)如圖①，請用尺規(guī)作圖法，在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD＝BA；(不寫作法，保留作圖痕跡)
例1題圖①
(2)如圖②，請用尺規(guī)作圖法，在邊BC上找一點(diǎn)D，使∠BAD＝∠B；(不寫作法，保留作圖痕跡)
例1題圖②
(3)如圖③，請用尺規(guī)作圖法，作∠BAC的平分線，交BC邊于點(diǎn)N；(不寫作法，保留作圖痕跡)
例1題圖③
(4)如圖④，請用尺規(guī)作圖法，作邊AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)G；(不寫作法，保留作圖痕跡)
例1題圖④
(5)如圖⑤，若∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn) D.請用尺規(guī)作圖法，在斜邊AC上求作一點(diǎn)E，使DE⊥AD；(不寫作法，保留作圖痕跡)
例1題圖⑤
(6)如圖⑥，請用尺規(guī)作圖法，過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn) D.(不寫作法，保留作圖痕跡)
例1題圖⑥
考點(diǎn)2 與尺規(guī)作圖痕跡有關(guān)的計(jì)算 (2020.15)
例2 (2024呼倫貝爾)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn) D.若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是( )
A. 8 B. 16 C. 12 D. 24
例2題圖
變式1 (2024珠海校級模擬)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，依據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列判斷正確的是( )
變式1題圖
DA＝DC B. ∠CDE＝∠ADE
C. AB＋EC＝AC D. 以上結(jié)論都不對
考點(diǎn)3 無刻度直尺作圖
例3 (2024珠海模擬)如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，回答下列問題.(要求：作圖只用無刻度的直尺)
例3題圖
(1)作∠AOB，使得cs ∠AOB＝35；
(2)作出∠AOB的角平分線OC，并簡要說明點(diǎn)C的位置是如何找到的(不用證明).
真題及變式
命題點(diǎn)1 與尺規(guī)作圖痕跡有關(guān)的計(jì)算 (2020.15)
1. (2020廣東15題4分)如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于12AB的長為半徑，分別以點(diǎn)A，B為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交AD邊于點(diǎn)E(作圖痕跡如圖所示)，連接BE，B D.則∠EBD的度數(shù)為 .
第1題圖
命題點(diǎn)2 尺規(guī)作圖 (6年3考)
2. (2019廣東19題6分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn).
(1)請用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，若ADDB＝2，求AEEC的值.
第2題圖
3. (2023廣東19題9分)如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)D作AB邊上的高DE；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)應(yīng)用與計(jì)算：在(1)的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長.
第3題圖
4. (2024廣東17題7分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)應(yīng)用與證明：在(1)的條件下，以點(diǎn)D為圓心，DC長為半徑作☉ D.求證：AB與☉D相切.
第4題圖
新考法
5. [注重過程性](2024北京)下面是“作一個角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法.
第5題圖
(1)如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；
(2)作射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D'；
(3)過點(diǎn)D'作射線O'B'，則∠A'O'B'＝∠AO B.
上述方法通過判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依據(jù)是( )
A. 三邊分別相等的兩個三角形全等
B. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
C. 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
D. 兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等
6. (2024江西)如圖，AC為菱形ABCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).
(1)如圖①，過點(diǎn)B作AC的垂線；
(2)如圖②，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線.
第6題圖
7. [注重過程性](2024浙江)如圖，平行四邊形ABCD，E是AD上一點(diǎn)，關(guān)于如何作EC的平行線，小紅、小明展開討論：
小紅：我以C為圓心，AE為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，則AF∥EC；
小明：我以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，則AF∥EC
小紅：我認(rèn)為你的方案有誤，因?yàn)椤?br>(1)證明小紅的結(jié)論；
(2)解釋小明方案的不合理性.
第7題圖
高頻考點(diǎn)
例1 解：(1)如解圖①，點(diǎn)D即為所求作(作法不唯一)；
例1題解圖①
(2)如解圖②，點(diǎn)D即為所求作(作法不唯一)；
例1題解圖②
(3)如解圖③，AN即為所求作(作法不唯一)；
例1題解圖③
(4)如解圖④，直線EG即為所求作；
例1題解圖④
(5)如解圖⑤，DE即為所求作(作法不唯一)；
例1題解圖⑤
(6)如解圖⑥，直線AD即為所求作(作法不唯一).
例1題解圖⑥
例2 B 【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作圖知AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∴CD＝12AD，∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∴CD＝12BD，∴S△ACDS△ABD＝12CD·AC12BD·AC＝CDBD＝12，又∵△ACD的面積為8，∴△ABD的面積是2×8＝16.
變式1 C 【解析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，AD為∠BAC的平分線，DE為AC的垂線，∴∠BAD＝∠EAD，△AED為直角三角形，∵∠B＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ABD≌△AED，∴AE＝AB，∴AE＋EC＝AC＝AB＋EC，∴C正確，故符合要求；由題意知，DA不一定等于DC，∠CDE不一定等于∠ADE，A、B、D錯誤，故不符合要求.
例3 解：(1)如解圖，在線段OA上取點(diǎn)E，使OE＝3，在點(diǎn)E的正上方取點(diǎn)B，使BE＝4，連接OB，
∴OB＝32＋42＝5，
∴cs ∠AOB＝OEOB＝35，
∴∠AOB即為所求作；
(2)如解圖，在線段OA上取點(diǎn)D，使OD＝5，連接BD，再取BD的中點(diǎn)C，作射線OC，則射線OC即為所求作.
例3題解圖
真題及變式
1. 45° 【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝30°，∴∠ABD＝∠ADB＝12(180°－∠A)＝75°.由作圖痕跡可得，點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE ＝75°－30°＝45°.
2. 解：(1)如解圖，∠ADE即為所求；
【作法提示】①以點(diǎn)B 為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交線段AB，BC于點(diǎn)P，Q；②以點(diǎn)D 為圓心，BP(或BQ)長為半徑畫弧，交線段AD于點(diǎn)M；③以點(diǎn)M為圓心，PQ長為半徑畫弧，交步驟②中所畫弧于點(diǎn)N；④連接DN并延長交線段AC于點(diǎn)E，∠ADE即為所求作.
(2)∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AEEC＝ADDB＝2.
第2題解圖
3. 解：(1)如解圖，線段DE即為所求作；
第3題解圖
(2)在Rt△ADE中，AD＝4，∠DAB＝30°，
∴AE＝AD·cs∠DAB＝4×32＝23，
∴BE＝AB－AE＝6－23.
4. (1)解：如解圖①，AD即為所求作；
第4題解圖①
(2)證明：如解圖②，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，
∵DC為☉D的半徑，∴DE為☉D的半徑，
∵DE⊥AB，∴AB與☉D相切.
第4題解圖②
5. A 【解析】由作圖過程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C'O'D'≌△COD(SSS)，∴判定△C'O'D'≌△COD的依據(jù)是三邊分別相等的兩個三角形全等.
6. 解：(1)如解圖①，直線BD即為所求作(作法不唯一)；
第6題解圖①
(2)如解圖②，直線BF即為所求作(作法不唯一).
【作法提示】連接CE并延長交DA的延長線于點(diǎn)F，作直線BF，直線BF即為所求作.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEC，∴AF＝BC，∴四邊形AFBC是平行四邊形，∴BF∥AC，∴直線BF即為所求作.
第6題解圖②
7. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
由作圖可知，CF＝AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF∥EC；
(2)解：如解圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，當(dāng)AG＜CE時，以A為圓心，EC為半徑畫弧，此時這條弧與BC有兩個不同的交點(diǎn)F，F(xiàn)'，使得四邊形AECF不能唯一確定.
第7題解圖

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