湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及參考答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人：張志忠、趙攀峰、譚澤陽、葉勇勝
審題人：張志忠
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁.時(shí)量120分鐘.滿分150分.
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用直線斜率公式，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，
所以該直線的斜率為，
則有該直線的傾斜角滿足，因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
2. 已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，所以可設(shè)，列方程組求的值.
【詳解】因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，
則，解得.
故選：D
3. 重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，人們常在此日感恩敬老，是我國民間的傳統(tǒng)節(jié)日，某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排6位學(xué)生到兩所敬老院開展志愿服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案數(shù)是（）
A. 35B. 40C. 50D. 70
【答案】C
【解析】
【分析】
6名學(xué)生分配到兩所敬老院，每所敬老院至少2人，則對(duì)6名學(xué)生進(jìn)行分組分配即可
【詳解】解：6名學(xué)生分成兩組，每組不少于兩人的分組，一組2人另一組4人，或每組3人，
所以不同的分配方案為,
故選：C
4. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，而，
因此切線方程為，
故選：C
5. 設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，則（）
A. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值
C. 有最大值，無最小值D. 無最大值，有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】先利用分布列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得關(guān)于的表達(dá)式，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，從而求得的取值范圍，由此得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?，從?
所以，
則有最大值，最小值，
故選：B
6. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了高階等差數(shù)列的概念.如數(shù)列1，3，6，10，后前兩項(xiàng)之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（）
A. 174B. 184C. 188D. 190
【答案】A
【解析】
【分析】先列出數(shù)列的遞推公式，用“累加法”求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的指定項(xiàng).
【詳解】設(shè)此數(shù)列為，則，，，…，，
所以
，
所以.
故選：A
7. 從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1）可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形（如圖2），籃球的外輪廓為圓，將籃球的表面粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得出的值，再利用雙曲線的離心率公式可求得該雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，連接、，
則，
因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，則，
故點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，所以，
所以，該雙曲線的離心率為.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，是的唯一極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求導(dǎo)可得，再根據(jù)是的唯一極小值點(diǎn)可得恒成立，再根據(jù)恒成立問題求解最小值分析即可.
【詳解】求導(dǎo)有.
設(shè)，則，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.
故若有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有一根，則此時(shí)有時(shí)；時(shí)，故為的極小值點(diǎn)，與題意不符.
故恒成立，故，即，解得.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)的問題，需要根據(jù)極值點(diǎn)滿足的關(guān)系分析得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再求最值求解參數(shù)的范圍，屬于中檔題.
二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）
A. 展開式共6項(xiàng)B. 常數(shù)項(xiàng)為
C. 所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64D. 所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)判斷A；求出指定項(xiàng)判斷B；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用賦值法求出展開式系數(shù)和判斷D；.
【詳解】對(duì)于A，展開式有7項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；
對(duì)于C，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故C正確；
對(duì)于D，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D正確；
故選：BCD.
10. 設(shè)公差小于0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A. B.
C. D. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可推出，即可判斷A；判斷等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可判斷B；根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)判斷C；判斷數(shù)列的各項(xiàng)正負(fù)情況結(jié)合單調(diào)性，即可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，公差小于0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，
，，即，則，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，∵公差，∴等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，結(jié)合A分析及下標(biāo)和性質(zhì)，
有，，即，故B正確；
選項(xiàng)C，，故C正確；
選項(xiàng)D，∵等差數(shù)列為遞減數(shù)列，，
，，……，，，，……，
最大值為或，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，則（）
A. 有兩個(gè)極值點(diǎn)
B. 有三個(gè)零點(diǎn)
C. 在上的值域?yàn)?br>D. 點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)求出的函數(shù)單調(diào)性基礎(chǔ)上，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，求出極值和端點(diǎn)值，比較后得到值域；D選項(xiàng)，驗(yàn)證即可.
【詳解】對(duì)于A，，令可得或2.
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以0是的極大值點(diǎn)，2是的極小值點(diǎn)，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，由A選項(xiàng)知函數(shù)極大值為，極小值為，
又，數(shù)形結(jié)合得，只有2個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于在遞增，在遞減，在遞增，
且，，，
所以在上的值域?yàn)?，故C正確；
對(duì)于D，，
點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故D正確.
故選：ACD.
12. 已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長分別為，，則（）
A. 若，的斜率分別為，，則B.
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】寫出漸近線方程，設(shè)，直接計(jì)算，然后判斷各選項(xiàng)．
【詳解】由題意雙曲線的漸近線為，即，
設(shè)，不妨設(shè)在第一象限，在漸近線上，
則，，，A正確；
在雙曲線上，則，，
，，∴，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，C錯(cuò)誤；
漸近線的斜率為，傾斜角為，兩漸近線夾角為，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即最小值為，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查漸近線方程，考查基本不等式求最值，這類題把許多知識(shí)點(diǎn)集中在一起同，對(duì)學(xué)生推理論證能力，分析求解能力要求較高，屬于難題．
第Ⅱ卷
三、填空題（本大題共4小題，，每小題5分，共20分）
13. 已知數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為，若，則___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列是公比為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】由數(shù)列滿足，知，否則，與矛盾，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，
又由，解得.
故答案為：1.
14. 已知函數(shù)滿足，則___________.
【答案】##
【解析】
【分析】對(duì)求導(dǎo)，再代入，進(jìn)行求解.
【詳解】，，即，解得：
故答案為：
15. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點(diǎn),
∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，
所以P橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，
因?yàn)椋?
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
16. 已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為__________
【答案】
【解析】
【分析】先利用圓切線的性質(zhì)推得、、、四點(diǎn)共圓，，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定時(shí)取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.
【詳解】圓：可化為，
，，
，是圓的兩條切線，則，，
、、、四點(diǎn)共圓，且，，
，
，
當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，
此時(shí)方程為，
聯(lián)立，解得，，即，
以為直徑的圓的方程為，
即，
圓：，兩圓相交，
兩圓方程相減即為的方程.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，從而確定最小時(shí)的坐標(biāo)，從而利用兩圓相減可得相交弦方程的技巧得解.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知數(shù)列滿足，．
（1）記，證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意得，所以是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即得
（2）由（1）的結(jié)論和求出的通頂公式，再由分組求和即得.
【小問1詳解】
由，得，又，
，且，
所以是等比數(shù)列，
【小問2詳解】
由（1）得，得，
所以，
即
18. 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng).
（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C2的方程：
（2）設(shè)圓C1與曲線C2的交點(diǎn)為M、N，求線段MN的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求出，，通過點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化求解中點(diǎn)P的軌跡的方程即可；
（2）將圓與圓的方程相減得，求出圓的圓心到直線的距離d，即可求解；
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，，
于是有 ①，
因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以點(diǎn)P的軌跡的方程為．
【小問2詳解】
將圓與圓的方程相減得：，
由圓圓心為，半徑為1，
且到直線的距離，
則.
19. 在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
【答案】（1）（2）見解析
【解析】
【詳解】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得
(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計(jì)算公式
得X的分布列為
進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.
試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
(II)由題意知X可取的值為：.則
因此X的分布列為
X的數(shù)學(xué)期望是
=
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.
20. 如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，．

（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，又可證明，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可．
【小問1詳解】
如圖，連接，
在中，由，可得，
，，
，，
，，，
則，
故，
，，，平面，
平面；
【小問2詳解】
由（1）可知，，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，，
，，
則，
又，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，故，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，則，，故，
，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

21. 已知且，函數(shù).
（1）若且，求函數(shù)的最值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)的最值；
（2）將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，進(jìn)而求解結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，
所以，
又因?yàn)?，?br>所以；
【小問2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
故有兩解，
所以方程有兩個(gè)不同的解，
即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，
如圖所示

而，所以，所以，
令，
因?yàn)?，?br>所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又當(dāng)時(shí)，，，，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
22. 已知中心在原點(diǎn)，長軸在軸上的橢圓的左右頂點(diǎn)分別為和，P為橢圓上的除左右頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，且，斜率之乘積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過分別作兩條直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)；線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，若，求證：直線過定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)，斜率之乘積為，列式，求出b，即可得答案；
（2）解法一：討論直線斜率是否存情況，存在時(shí)，設(shè)直線，并聯(lián)立橢圓方程，可得出根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合，可得，代入根與系數(shù)的關(guān)系式，化簡，可得參數(shù)之間的關(guān)系，即可證明結(jié)論；
解法二：設(shè)，，，利用點(diǎn)差法推出，討論直線斜率是否存情況，存在時(shí)，設(shè)直線，并聯(lián)立橢圓方程，可得出根與系數(shù)的關(guān)系式，代入，化簡，可得參數(shù)之間的關(guān)系，即可證明結(jié)論；
【小問1詳解】
由題意，設(shè)橢圓方程為.
設(shè)，則，
，
所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
解法1：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，
與橢圓方程聯(lián)立得，，
需滿足；

設(shè)，，則，，
，，
，，
即，，
即，
即，
即，，
或，
當(dāng)時(shí)，直線過左頂點(diǎn)，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，滿足，
此時(shí)直線：經(jīng)過定點(diǎn).
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，，
由得，，
解方程組，得，此時(shí)直線過，
綜合①②可知，直線過.
解法2：設(shè)，，，
則，，，即，
同理，，又，得，
直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，代入橢圓方程，
得，
，，需滿足，
，，
，
，
即，，
或，
當(dāng)時(shí)，直線過右頂點(diǎn)，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，滿足，
此時(shí)直線：經(jīng)過定點(diǎn).
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，，
由得，，
解方程組，得，此時(shí)直線過，
綜合①②可知，直線過.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系中直線過定點(diǎn)問題，解答是要聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡，難點(diǎn)就在于化簡過程較為復(fù)雜，計(jì)算量較大，需要十分細(xì)心.
1
2
3
X
0
1
2
3
4
P
X
0
1
2
3
4
P

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