時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分
得分______
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)，則（）
A.B.C.3D.5
2.無(wú)論為何值，直線過(guò)定點(diǎn)（）
A.B.C.D.
3.在平行四邊形中，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A.B.C.D.
4.已知，則（）
A.B.C.D.
5.直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線方程為（）
A.B.C.D.
6.已知橢圓：的離心率為，則（）
A.B.或C.8或2D.8
7.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的范圍是（）
A.B.C.D.
8.已知平面上一點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使，則稱(chēng)該直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”，下列直線中不是點(diǎn)的“相關(guān)直線”的是（）
A.B.C.D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知直線：，圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）
A.若圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則
B.點(diǎn)到直線的距離的最大值為
C.存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切
D.存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為
10.已知圓：與圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線，則下列說(shuō)法正確的是（）
A.曲線的方程為
B.曲線的方程為
C.過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與曲線相交所得弦長(zhǎng)為
D.曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為
11.在邊長(zhǎng)為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）
A.與所成角的余弦值為
B.過(guò)，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為3
C.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為3
D.若為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.通過(guò)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級(jí)地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級(jí)地震，若甲、乙兩地地震釋放的能量分別為，，則______.
13.直線的傾斜角的取值范圍是______
14.如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為_(kāi)_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）已知兩圓和.求：
（1）m取何值時(shí)兩圓外切？
（2）當(dāng)時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).
16.（15分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面積.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿(mǎn)足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.
18.（17分）某校高一年級(jí)設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)（正手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、殺球以及半場(chǎng)計(jì)時(shí)往返跑）考核，滿(mǎn)分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)；
（2）為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來(lái)自和的概率；
（3）若一個(gè)總體劃分為兩層，通過(guò)按樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：
19.（17分）已知?jiǎng)又本€與橢圓：交于，兩點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明：和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在三點(diǎn)D，E，G，，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024—2025學(xué)年度高二第一學(xué)期第一次階段性檢測(cè)
數(shù)學(xué)參考答案
一、二、選擇題
1.B 【解析】∵，∴. .故選B.
2.A 【解析】由得：，
由得
∴直線恒過(guò)定點(diǎn).故選A.
3.A 【解析】設(shè)，則，，得.故選A.
4.A 【解析】，
又，
所以.故選A.
5.C 【解析】取直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線上任意一點(diǎn)，易知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線上可知，即.故選C.
6.C 【解析】橢圓：的離心率為，
可得或，解得或.故選C.
7.A 【解析】表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)與的連線的斜率，
結(jié)合圖象可知，斜率分別在與（相切時(shí)）處取最大值和最小值，
所以的范圍是.故選A.
8.D 【解析】根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離時(shí)，該直線上存在點(diǎn)使得，此時(shí)直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”，
對(duì)于A，，即，點(diǎn)到直線的距離，該直線是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；
對(duì)于B，，點(diǎn)到直線的距離，該直線是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；
對(duì)于C，，點(diǎn)到直線的距離，該直線是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；
對(duì)于D，，點(diǎn)到直線的距離，該直線不是點(diǎn)的“相關(guān)直線”.故選D.
9.ABD 【解析】直線：過(guò)定點(diǎn)，
圓：，圓心，半徑，
對(duì)選項(xiàng)A：直線過(guò)圓心，則，解得，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)選項(xiàng)B：點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)選項(xiàng)C：直線與圓相切，則圓心到直線的距離，
解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，圓心到直線的距離，
解得，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.
10.BCD 【解析】對(duì)A選項(xiàng)與B選項(xiàng)，由題意知圓與圓交于點(diǎn)，
則，，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，即，，
所以，所以曲線的方程為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；
對(duì)C選項(xiàng)，通徑的長(zhǎng)度為，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)與直線平行的直線為，，
將與聯(lián)立得，
令，解得，此時(shí)直線與橢圓相切，
當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最大，
直線的方程為，此時(shí)兩平行線的距離為，
故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故D選項(xiàng)正確.故選BCD.
11.AC 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，
∴，
∴與所成角的余弦值為，故A正確；
取的中點(diǎn)，連接，，，
則，
故梯形為過(guò)點(diǎn)，，的該正方體的截面，
∵，，，
∴梯形的高為，
∴梯形的面積為，故B錯(cuò)誤；
由對(duì)稱(chēng)性可知，，故，
又由于，，，四點(diǎn)共面，故，當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時(shí)，
最小，
過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，兩者交于點(diǎn)，此時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選AC.
三、填空題
12.1000 【解析】由題知，.
13.【解析】設(shè)直線的傾斜角為，
當(dāng)時(shí)，直線為，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，綜上可得.
14.【解析】連接，，由點(diǎn)在以為直徑的圓上，故.
又，在橢圓上，故有，.
設(shè)，則，，，.
在中，由勾股定理得，
解得，于是，，故.
四、解答題
15.【解析】（1）由已知化簡(jiǎn)兩圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，
，
則圓心分別為，，半徑分別為和，
當(dāng)兩圓外切時(shí)，滿(mǎn)足，解得.
（2）當(dāng)時(shí)，有，
則，所以?xún)蓤A相交，
則兩圓的公共弦所在直線的方程為：，
即，
圓心到直線的距離，
所以公共弦長(zhǎng).
16.【解析】（1）由正弦定理得，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，
又，所以，因此.
（2）由，得，由余弦定理及，
又，得，解得，從而.
又因?yàn)?，且，所?
因此.
17.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，，平面?br>所以，，又，所以，，兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，
則，，，，
因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，
又，，
所以，
所以，，為共面向量，
則在平面內(nèi)存在直線與平面外的直線平行，所以平面.
（2）設(shè)，，，，
依題意可知，平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則令，則.
因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，
所以，即，
解得或，所以存在點(diǎn)使得平面與平面所成角的余弦值為，或.
18.【解析】（1）由題意得：，解得，
設(shè)第60百分位數(shù)為，則，
解得，即第60百分位數(shù)為85.
（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為，，
在的有人，設(shè)為a，b，c.
則樣本空間為，.
設(shè)事件“兩人分別來(lái)自和”，
則，，
因此，
所以?xún)扇说梅址謩e來(lái)自和的概率為.
（3）由題得：①；
②略
19.【解析】（1）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，①
又因?yàn)?，所以，?br>由①②得，，此時(shí)，.
（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由題意知，將其代入得，
其中，即，（*）
又，，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，
所以，
又，整理得，且符合（*）式，
此時(shí)，，
綜上所述，，，結(jié)論成立。
（2）解法一：（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（1）知，，
因此，，
（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（1）知：，
，
，
，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
綜上可得，的最大值為.
解法二：，
所以，，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此的最大值為.
（3）橢圓上不存在三點(diǎn)，，，使得.
證明：假設(shè)存在，，滿(mǎn)足，
由（1）得，，，，，，
解得，，
因此，，只能從中選取，，，只能從中選取，
因此，，只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與矛盾.
所以橢圓上不存在滿(mǎn)足條件的三點(diǎn)，，.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
A
A
C
C
A
D
ABD
BCD
AC

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