1．已知1為關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的根，則a值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下列幾何體中，主視圖是圓形的是（ ）
A．B．C．D．
3．在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅每次摸出一個球并放回，通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則布袋中黑球的個數(shù)可能有（ ）
A．3B．6C．8D．10
4．如圖，兩條直線被三條平行線所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，則EF為（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．反比例函數(shù)y=?mx與一次函數(shù)y＝mx+m（m≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在矩形ABCD中，AE＝3，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE．則BD的長是（ ）
A．33B．6C．43D．12
7．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
8．已知正比例函數(shù)y1＝mx（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2=nx(n≠0)的圖象的一個交點坐標(biāo)為（1，3），則不等式y(tǒng)1＜y2的解集為（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜1D．﹣3＜x＜0或0＜x＜3
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9．陽光下廣告牌的影子屬于 投影（填“中心”或“平行”）．
10．如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OAOD=25，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為 ．
11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，若BO＝3，菱形ABCD的面積為12，則AH的長為 ．
12．如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0)的圖象上，以點A為圓心畫弦交x軸于B，C，延長AC交y軸于點D，連接BD，若△BCD的面積等于4，BC＝4OC，則k的值為 ．
13．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接AF，DE，點G，H分別為DE，AF的中點，連接GH，則GH的長為 ．
三、解答題（共13小題，計81分.解答應(yīng)寫出過程）
14．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?br>（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x（x﹣3）+x＝3．
15．用10個相同的小立方塊搭成幾何體．從上面看到的幾何體的形狀圖如圖1所示．其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．
（1）請在圖2中畫出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖；
（2）如果現(xiàn)在你還有一些大小相同的小立方塊，要求保持從正面和左面看到的形狀圖都不變，最多可以再添加 個小立方塊．
16．已知y與x成反比例，且其函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣6，﹣3）．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)y＝9時，求x的值．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點D，使得△DAC∽△ABC．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18．如圖，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分線交于BC邊上一點E．點F為矩形外一點，四邊形AEDF為平行四邊形．求證：四邊形AEDF是正方形．
19．如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以B為位似中心，在B的下方畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似且相似比為2：1；
（3）直接寫出點A2和點C2的坐標(biāo)．
20．某校組織學(xué)生到天樂湖實踐基地參加勞動實踐活動．該基地有以下四個項目：A．種玉米，B．除草，C．采茶葉，D．包餃子，學(xué)生隨機(jī)選擇（每個學(xué)生必須選擇一個，而且只能選擇一個）．
（1）甲同學(xué)從四個項目中隨機(jī)選取一個，選到A項目的概率為 ；
（2）用列表法或畫樹狀圖法求乙同學(xué)與丙同學(xué)都選到D項目的概率．
21．某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受氣溫影響，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件毛衣每降價1元，平均每天就可以多售出2件，如果該商場要使每天銷售該品牌毛衣的盈利為700元，且每件該品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件該品牌毛衣應(yīng)降價多少元？
22．如圖所示，王剛同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組欲測量校園里一棵大樹的高度，他們選王剛作為觀測者，并在王剛與大樹之間的地面上直立一根高為2m的標(biāo)桿CD，然后，王剛開始調(diào)整自己的位置，當(dāng)他看到標(biāo)桿的頂端C與樹的頂端E重合時，就在該位置停止不動，這時其他同學(xué)通過測量，發(fā)現(xiàn)王剛的腳離標(biāo)桿底部的距離為1m，離大樹底部的距離為9m，王剛的眼離地面的高度AB為1.5m，那么大樹EF的高為多少？
23．某工程隊接受一項開挖水渠的工程，所需天數(shù)y（單位：天）是每天完成的工程量x（單位：m/天）的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（24，50）（如圖）．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知該工程隊每臺挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠15m，若要求該工程隊恰好20天完成此項任務(wù)，那么需要幾臺這樣的挖掘機(jī)？
24．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點B作BE∥AC，過點C作CE∥DB，BE與CE相交于點E．
（1）求證：四邊形BECO是矩形；
（2）連接DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的長．
25．如圖，點A在第一象限，且在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，點B是點A關(guān)于x軸的對稱點，△ABO的面積是4．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點A的橫坐標(biāo)為1，延長AO交反比例函數(shù)的圖象于點C，連接BC，點D（m，n）（m＞1）在反比例函數(shù)圖象上，滿足△ACD的面積等于△ABC的面積，求直線BD的解析式．
26．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．
2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市秦都區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)模擬卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．已知1為關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的根，則a值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】將x＝1代入方程可得1﹣a+1＝0，解一元一次方程即可得解．
【解答】解：∵1為關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的根，
∴1﹣a+1＝0，
∴a＝2，
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
2．下列幾何體中，主視圖是圓形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三視圖中主視圖的定義解答即可．
【解答】解：A．正方體的主視圖是正方形，故本選項不符合題意；
B．圓錐的主視圖是三角形，故本選項不符合題意；
C．球體的主視圖是圓形，故本選項符合題意；
D．圓柱的主視圖是矩形，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查的是三視圖中主視圖的定義，即從幾何體的正面觀察到的圖形叫做主視圖．
3．在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅每次摸出一個球并放回，通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則布袋中黑球的個數(shù)可能有（ ）
A．3B．6C．8D．10
【分析】設(shè)黑球的個數(shù)為x個，根據(jù)頻率可列出方程，解方程即可求得x，從而得到答案．
【解答】解：設(shè)袋中有黑球x個，由題意得：xx+4=0.6，
解得：x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6是分式方程的解，
則布袋中黑球的個數(shù)可能有6個．
故選：B．
【點評】本題考查了利用頻率估計概率，根據(jù)概率公式列出方程是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，兩條直線被三條平行線所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，則EF為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由兩條直線被三條平行線所截，利用平行線分線段成比例，即可求出EF的長．
【解答】解：∵兩條直線被三條平行線所截，
∴EFDE=BCAB，即EF4=32，
∴EF＝6．
故選：B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．
5．反比例函數(shù)y=?mx與一次函數(shù)y＝mx+m（m≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出m取值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出m的取值，二者一致的即為正確答案．
【解答】解：A、由函數(shù)y＝mx+m的增減性可知m＞0，但從函數(shù)圖象與y軸的交點來看m＜0，相矛盾，故A錯誤；
B、由函數(shù)y＝mx+m的增減性可知m＜0，但從函數(shù)圖象與y軸的交點來看m＞0，相矛盾，故B錯誤；
C、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＞0，由函數(shù)y=?mx的圖象可知m＞0，故C正確；
D、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，由函數(shù)y=?mx的圖象可知m＞0，相矛盾，故D錯誤；
故選：C．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
6．如圖，在矩形ABCD中，AE＝3，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE．則BD的長是（ ）
A．33B．6C．43D．12
【分析】由矩形的性質(zhì)可得OB＝OD＝OA＝OC，AC＝BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝AB＝OB，可證△OAB是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵ED＝3BE
∴BE＝EO，
∵AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等邊三角形，
∴2BE＝AB，
∵AE＝3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=AB2?AE2=4BE2?9，
解得：BE=3，
∴ED=3BE=33，
∴BD=43，
故選：C．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．
7．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．
8．已知正比例函數(shù)y1＝mx（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2=nx(n≠0)的圖象的一個交點坐標(biāo)為（1，3），則不等式y(tǒng)1＜y2的解集為（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜1D．﹣3＜x＜0或0＜x＜3
【分析】求出正比例函數(shù)y1＝3x，反比例函數(shù)y2=3x，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y1＝mx（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2=nx(n≠0)的圖象的一個交點坐標(biāo)為（1，3），
∴m＝3，n＝1×3＝3，
∴正比例函數(shù)y1＝3x，反比例函數(shù)y2=3x，
畫出函數(shù)圖象如圖所示：
由圖象可得：不等式y(tǒng)1＜y2的解集為x＜﹣1或0＜x＜1，
故選：B．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
9．陽光下廣告牌的影子屬于 平行 投影（填“中心”或“平行”）．
【分析】根據(jù)平行投影中心投影的定義判斷即可．
【解答】解：陽光下廣告牌的影子屬于平行投影．
故答案為：平行．
【點評】本題考查平行投影，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行投影，中心投影的定義，屬于中考?？碱}型．
10．如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OAOD=25，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為 20 ．
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到△ABC∽△DEF，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，即可求出△DEF的周長．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=25，
∴C△ABCC△DEF=25，
∵△ABC的周長為8，
∴8C△DEF=25，
解得：C△DEF＝20．
故答案為：20．
【點評】本題考查了位似變換，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系\熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，若BO＝3，菱形ABCD的面積為12，則AH的長為 121313 ．
【分析】根據(jù)菱形面積的計算公式求得AC，再根據(jù)菱形對角線互相垂直平分線，利用勾股定理求出BC，進(jìn)而利用菱形面積等于底×高，計算出菱形的高AH即可解答．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，OB＝3，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面積為12，
∴12BD?AC=12，
即12×6?AC=12，
∴AC＝4，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OA=OC=12AC=2，
∴BC=OB2+OC2=32+22=13，
又∵AH⊥BC，
∴菱形ABCD的面積＝BC?AH，
∴13AH=12．
∴AH=121313．
故答案為：121313．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握菱形的面積公式“菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半”是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0)的圖象上，以點A為圓心畫弦交x軸于B，C，延長AC交y軸于點D，連接BD，若△BCD的面積等于4，BC＝4OC，則k的值為 12 ．
【分析】作AE⊥BC于E是解題的關(guān)鍵．作AE⊥BC于E，連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OC=12CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得S△CEA＝4，進(jìn)而根據(jù)題意求得S△AOE＝6，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥BC于E，連接OA，
∵以點A為圓心畫弧交x軸于點B、C，
∴AB＝AC，
∴CE=BE=12BC，
∵BC＝4OC，
∴OC=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=(CEOC)2=4，
∵△BCD的面積等于4，OB＝OC+BC＝5OC，
∴S△COD=14S△BCD=1，
∴S△CEA＝4S△COD＝4×1＝4
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=2，
∴S△AOE＝2+4＝6，
∵S△AOE=12|k|=6，
∵k＞0，
∴k＝12，
故答案為：12．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是關(guān)鍵．
13．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接AF，DE，點G，H分別為DE，AF的中點，連接GH，則GH的長為 2 ．
【分析】連接AG，并延長AG交CD于點P，先通過證明△AEG≌△PDG得到DG＝EG，DP＝AE后，證明GH是△APF的中位線，可得GH=12PF，在Rt△FCP中利用勾股定理求出PF的長，從而求出GH的長．
【解答】解：連接AG并延長AG交CD于點P，連接PF，如圖所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEG＝∠GDP，
∵E、F分別為邊AB、BC的中點，
∴AE=12AB＝2，CF=12BC＝2．
∵G為DE的中點，
∴EG＝DG，
在△EAG和△DPG中，
∠AEG=∠GDPEG=DG∠AGE=∠PGD，
∴△EAG≌△DPG（ASA）．
∴AG＝PG，DP＝AE＝2．
∴G為AP的中點，
∵H為AF的中點，
∴GH是△APF的中位線．
∴GH=12PF．
在Rt△FCP中，
CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2，
∴PF=PC2+FC2=22．
∴GH=12PF=2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線把MN歸納到三角形中，然后證明MN是三角形的中位線．
三．解答題（共13小題）
14．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?br>（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）直接開方，進(jìn)行求解即可；
（2）移項后，利用因式分解法進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）原方程開方得：x﹣2＝±3，
∴x1＝﹣1，x2＝5；
（2）原方程整理得：x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【點評】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
15．用10個相同的小立方塊搭成幾何體．從上面看到的幾何體的形狀圖如圖1所示．其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．
（1）請在圖2中畫出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖；
（2）如果現(xiàn)在你還有一些大小相同的小立方塊，要求保持從正面和左面看到的形狀圖都不變，最多可以再添加 3 個小立方塊．
【分析】（1）由已知條件可知，從正面看有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，2，2；從左面看有2列，每列小正方形數(shù)目分別為2，3．據(jù)此可畫出圖形；
（2）根據(jù)主視圖和左視圖的定義可得答案．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
如果現(xiàn)在你還有一些大小相同的小立方塊，要求保持從正面和上面看到的形狀圖都不變，最多可以再添加3個小立方塊．
故答案為：3．
【點評】本題考查幾何體的三視圖畫法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．
16．已知y與x成反比例，且其函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣6，﹣3）．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)y＝9時，求x的值．
【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，將（﹣6，﹣3）代入即可；
（2）將y＝9代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，
將（﹣6，﹣3）代入，得：?3=k?6，
解得k＝（﹣3）×（﹣6）＝18，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=18x；
（2）由（1）得y=18x，
將y＝9代入，得：9=18x，
解得x＝2．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點D，使得△DAC∽△ABC．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【分析】過點A作BC的垂線交BC于點D，即可求解．
【解答】解：如圖所示，點D即為所求．
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°．
∴∠ADC＝∠BAC，∠DAC＝90°﹣∠C＝∠B
∴△DAC∽△ABC．
【點評】本題考查了作垂線，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分線交于BC邊上一點E．點F為矩形外一點，四邊形AEDF為平行四邊形．求證：四邊形AEDF是正方形．
【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CDA＝90°，證出AE＝DE，由正方形的判定可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°，
∵AE，DE平分∠BAD 與∠CDA，
∴∠EAD=12∠BAD=45°，∠EDA=12∠CDA=45°，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，
∴?AEDF是正方形．
【點評】此題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
19．如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以B為位似中心，在B的下方畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似且相似比為2：1；
（3）直接寫出點A2和點C2的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；
（2）根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；
（3）根據(jù)作圖直接寫出坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）如圖1所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△A2BC2即為所求；
（3）依據(jù)圖2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）．
【點評】本題考查了軸對稱變換的性質(zhì)，位似變換的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱變換以及位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．某校組織學(xué)生到天樂湖實踐基地參加勞動實踐活動．該基地有以下四個項目：A．種玉米，B．除草，C．采茶葉，D．包餃子，學(xué)生隨機(jī)選擇（每個學(xué)生必須選擇一個，而且只能選擇一個）．
（1）甲同學(xué)從四個項目中隨機(jī)選取一個，選到A項目的概率為 14 ；
（2）用列表法或畫樹狀圖法求乙同學(xué)與丙同學(xué)都選到D項目的概率．
【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中選到A項目的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及乙同學(xué)與丙同學(xué)都選到D項目的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中選到A項目的結(jié)果有1種，
∴選到A項目的概率為14．
故答案為：14．
（2）列表如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中乙同學(xué)與丙同學(xué)都選到D項目的結(jié)果有1種，
∴乙同學(xué)與丙同學(xué)都選到D項目的概率為116．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
21．某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受氣溫影響，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件毛衣每降價1元，平均每天就可以多售出2件，如果該商場要使每天銷售該品牌毛衣的盈利為700元，且每件該品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件該品牌毛衣應(yīng)降價多少元？
【分析】設(shè)每件該品牌毛衣降價x元，則每件的銷售利潤為（40﹣x）元，平均每天可售出（10+2x）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結(jié)合每件該品牌毛衣的盈利不低于20元，即可確定結(jié)論．
【解答】解：設(shè)每件該品牌毛衣降價x元，則每件的銷售利潤為（40﹣x）元，平均每天可售出（10+2x）件，
根據(jù)題意得：（40﹣x）（10+2x）＝700，
整理得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30，
當(dāng)x＝5時，40﹣x＝40﹣5＝35＞20，符合題意；
當(dāng)x＝30時，40﹣x＝40﹣30＝10＜20，不符合題意，舍去．
答：每件該品牌毛衣應(yīng)降價5元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．如圖所示，王剛同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組欲測量校園里一棵大樹的高度，他們選王剛作為觀測者，并在王剛與大樹之間的地面上直立一根高為2m的標(biāo)桿CD，然后，王剛開始調(diào)整自己的位置，當(dāng)他看到標(biāo)桿的頂端C與樹的頂端E重合時，就在該位置停止不動，這時其他同學(xué)通過測量，發(fā)現(xiàn)王剛的腳離標(biāo)桿底部的距離為1m，離大樹底部的距離為9m，王剛的眼離地面的高度AB為1.5m，那么大樹EF的高為多少？
【分析】作AH⊥EF于H，AH交CD于G點，如圖，利用CG∥EH判斷△ACG∽△AEH，然后利用相似比計算出EH，從而得到EF的長．
【解答】解：作AH⊥EF于H，AH交CD于G點，如圖，
易得BD＝1，BF＝9，
∵DG＝HF＝AB＝1.5，AG＝BD＝1，
∴CG＝CD﹣DG＝2﹣1.5＝0.5，
∵CG∥EH，
∴△ACG∽△AEH，
∴CGEH=AGAH，即0.5EH=19，解得EH＝4.5，
∴EF＝EH+FH＝4.5+1.5＝6（m），
即大樹EF的高為6m．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：測量不能直接到達(dá)的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形，然后利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例解決問題．
23．某工程隊接受一項開挖水渠的工程，所需天數(shù)y（單位：天）是每天完成的工程量x（單位：m/天）的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（24，50）（如圖）．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知該工程隊每臺挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠15m，若要求該工程隊恰好20天完成此項任務(wù)，那么需要幾臺這樣的挖掘機(jī)？
【分析】（1）設(shè)出反比例函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出當(dāng)y＝20時，x的值，再用x的值除以15即可得到答案．
【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，
∵點（24，50）在函數(shù)圖象上，
∴50=k24，
∴k＝1200，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=1200x(x＞0)．
（2）當(dāng)y＝20時，20=1200x，
∴x＝60，
60÷15＝4，
答：需要4臺這樣的挖掘機(jī)．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，正確利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點B作BE∥AC，過點C作CE∥DB，BE與CE相交于點E．
（1）求證：四邊形BECO是矩形；
（2）連接DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的長．
【分析】（1）先說明四邊形BECO是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠BOC＝90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)菱形得性質(zhì)得OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，再根據(jù)勾股定理得OB=AB2?OA2=4，進(jìn)而得出BD，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出答案．
【解答】（1）證明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四邊形BECO是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四邊形BECO是矩形；
（2）解：如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，
∴OA＝OC=12AC=12×6=3，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB=AB2?OA2=4，
∴BD＝2OB＝8．
∵四邊形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝3．
∴DE=BD2+BE2=64+9=73．
【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，理解特殊平行四邊形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，勾股定理是求線段長的常用方法．
25．如圖，點A在第一象限，且在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，點B是點A關(guān)于x軸的對稱點，△ABO的面積是4．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點A的橫坐標(biāo)為1，延長AO交反比例函數(shù)的圖象于點C，連接BC，點D（m，n）（m＞1）在反比例函數(shù)圖象上，滿足△ACD的面積等于△ABC的面積，求直線BD的解析式．
【分析】（1）設(shè)AB與x軸交于點E．B是點A關(guān)于x軸的對稱點，△ABO的面積是4，則S△AOE＝2．得到AE?EO＝4．又AE?EO＝k．則k＝4．即可得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）依次求出A（1，4）、B（1，﹣4）、C（﹣1，﹣4），過B點作BD∥AC，直線BD與反比例函數(shù)在第一象限的圖象的交點為所求點D，則S△ADC＝S△ABC．求出直線AC解析式為y＝4x．由AC∥BD可設(shè)直線BD的解析式為y＝4x+b，將B（1，﹣4）代入上式，得到﹣4＝4+b，解得b＝﹣8．即可求出直線BD的解析式．
【解答】解：（1）如圖，設(shè)AB與x軸交于點E．
∵B是點A關(guān)于x軸的對稱點，△ABO的面積是4，
∴S△AOE＝2．
∴12AE?EO=2，即AE?EO＝4．
又AE?EO＝k．
∴k＝4．
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=4x．
（2）∵點A的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)x＝1時，y＝4，
∴A（1，4）．
由點A與點B關(guān)于x軸對稱得B（1，﹣4）．
由題可得，點A與點C關(guān)于原點O對稱，
∴C（﹣1，﹣4），
過B點作BD∥AC，直線BD與反比例函數(shù)在第一象限的圖象的交點為所求點D，
∴S△ADC＝S△ABC．
設(shè)直線AC的解析式為y＝ax（a≠0）．
將A（1，4）代入上式，得a＝4，
∴直線AC解析式為y＝4x．
∵AC∥BD，
∴可設(shè)直線BD的解析式為y＝4x+b，
將B（1，﹣4）代入上式，得到﹣4＝4+b，
解得b＝﹣8．
∴直線BD的解析式為y＝4x﹣8．
【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．
26．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．
【分析】（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求得AF的長；
（2）①分情況討論可知，當(dāng)P點在BF上、Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；
②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．
【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足為O，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形，
②設(shè)菱形的邊長AF＝CF＝x cm，則BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AF＝5cm．
（2）①顯然當(dāng)P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形．
因此只有當(dāng)P點在BF上、Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC＝QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=43秒．
②由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上．
分三種情況：
i）如圖1，當(dāng)P點在AF上、Q點在CE上時，AP＝CQ，即a＝12﹣b，得a+b＝12；
ii）如圖2，當(dāng)P點在BF上、Q點在DE上時，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得a+b＝12；
iii）如圖3，當(dāng)P點在AB上、Q點在CD上時，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得a+b＝12．
綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b＝12（ab≠0）．
【點評】本題綜合性較強(qiáng)，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，注意分類思想的應(yīng)用．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
C
C
A
B
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）

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