1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，，所以；因為，
，解得，所以，所以
.
故選：C.
2. 已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內的共軛復數(shù)所對應的點在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由題意可知：，
則的共軛復數(shù)為，其所對應的點為，在第一象限.
故選A.
3. 一袋中裝有大小?質地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是.
故選：B
4. 設，，則，，的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設，令得，
所以函數(shù)在區(qū)間單調遞增，因為，
所以，即，，
不等式兩邊同乘得，即.
故選：B.
5. 數(shù)列是公差不為零的正項等差數(shù)列，為等比數(shù)列，若.則數(shù)列的公比為（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 11
【答案】A
【解析】設的公差為，且，的公比為，
因為，所以，則，
因為，
所以，
所以的公比.
故選：A.
6. 記拋物線的焦點為為拋物線上一點，，直線與拋物線另一交點為，則（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】，由拋物線定義可知到準線距離為，即，解得，
即拋物線方程為，不妨取，又，
所以，
聯(lián)立，消去整理得，
解得，即，
則.
故選：C.
7. 是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圓的圓心，半徑，
點到直線的距離，顯然，
由于切圓于點，則，
四邊形的面積，
當且僅當直線垂直于直線時取等號，
所以四邊形面積的最小值為.
故選：B
8. 已知函數(shù)關于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】當時，，
當時，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增.
當時，，
當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，，時，.
畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示，
可得函數(shù)最小值為有四個不同的實數(shù)根，
數(shù)形結合可知的取值范圍是，
故選：A.
二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 為豐富優(yōu)質旅游資源，釋放旅游消費潛力，推動旅游業(yè)高質量發(fā)展，某地政府從2023年國慶期間到該地旅游的游客中，隨機抽取部分游客進行調查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對景區(qū)服務是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖估計，得到的結論正確的是（ ）
A. 游客中，青年人是老年人的2倍多
B. 老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍
C. 到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%
D. 到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過一半
【答案】ACD
【解析】由扇形統(tǒng)計圖可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正確；
其中滿意的青年人占總人數(shù)的，
滿意的中年人占總人數(shù)的，
滿意的老年人占總人數(shù)的，故B錯誤，C正確；
總滿意率為，故D正確.
故選：.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 的單調遞增區(qū)間是
B. 的單調遞增區(qū)間是
C. 在上有3個零點
D. 將函數(shù)圖象向左平移3個單位長度得到的圖象所對應的函數(shù)為奇函數(shù)
【答案】AC
【解析】由圖象得，周期，得，
所以，．
令，解得，
故單調遞增區(qū)間為．A正確，B錯誤；
令，解得，
令得，解得，可知C選項正確；
函數(shù)圖象關于直線對稱，向左平移3個單位長度，圖象關于軸對稱，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯誤．
故選：AC．
11. 正方體中，為的中點，為正方體表面上一個動點，則（ ）
A. 當在線段上運動時，與所成角的最大值是
B. 當在棱上運動時，存在點使
C. 當在面上運動時，四面體的體積為定值
D. 若在上底面上運動，且正方體棱長為與所成角為，則點的軌跡長度是
【答案】BC
【解析】對于A，在正方體中，易知，
所以與所成角等價于與所成的角，
當為中點時，，此時所成角最大，為，故A錯誤.
對于B，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，
設正方體棱長為1，，
因為，，
所以，故B正確.
對于C，因為在面內，面到平面的距離等于，
而三角形面積不變，故體積為定值，故C正確.
對于D，因為棱垂直于上底面，且與所成角為，
所以在中，，
由圓錐的構成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長度是，故D錯誤.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)和是定義域為的函數(shù).若，，且，則下列結論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖象關于直線對稱
B.
C. 函數(shù)的圖像關于直線對稱
D.
【答案】BC
【解析】由可知的圖象關于直線對稱，C正確；
所以，則①，
令為，則②.
的圖象關于點對稱，，令，故B正確；
由①②可知，所以的圖象關于直線對稱.故錯誤；
所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024項，故，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，若點沿著單位圓順時針旋轉到點，且.則__________.
【答案】
【解析】由三角函數(shù)定義知
則.
故答案為：
14. 等邊三角形的邊長是，分別是與的中點，則__________.
【答案】
【解析】.
故答案是：.
15. 已知，則__________.（用數(shù)字作答）
【答案】405
【解析】對兩邊求導得：
，
令，可得.
故答案為：.
16. 若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】令，可知的定義域為，
且在上單調遞增，則在上單調遞增，
因為，則，
即，結合的單調性可知，
整理得在內恒成立，
令，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以的最大值為，則，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 設的內角的對邊分別為，且.
（1）求角;
（2）若，求面積的最大值.
解：（1）因為，由正弦定理得，
即，所以，
因為，可得，所以，
顯然，所以，
又因為，所以.
（2）因為，由余弦定理
可得，
所以，當且僅當時取到號，
故面積的最大值為.
18. 已知正項數(shù)列滿足.
（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
（2）若，數(shù)列的前項和為.證明:.
證明：（1）證明：因為，可得，即，
且，可得，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知，則，
可得，
則，
因為，則，所以.
19. 杭州第19屆亞運會，中國代表團共獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，金牌數(shù)超越2010年廣州亞運會的199枚，標志著我國體育運動又有了新的突破.某大學從全校學生中隨機抽取了130名學生，對其日常參加體育運動情況做了調查，其中是否經常參加體育運動的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
（1）利用頻率估計概率，現(xiàn)從全校女生中隨機抽取5人，求其中恰有2人不經常參加體育運動的概率；
（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否經常參加體育運動與性別有關聯(lián).
參考公式：.
解：（1）由表格知：經常參加與不經常參加體育運動的女生比例為，
所以，抽取到不經常參加體育運動的女生人數(shù)服從，
故恰有2人不經常參加體育運動的概率.
（2）由題設得列聯(lián)表如下：
故，
所以，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為經常參加體育運動與性別沒有關聯(lián).
20. 正方體中分別是的中點.
（1）證明：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
證明：（1）設正方體的棱長是2，
以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則，
設平面的法向量為，則，
令，則，
所以，則，
又平面，故平面.
解：（2）由（1）知，是平面的一個法向量，
設與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為.
21. 已知函數(shù).
（1）時，求函數(shù)值域;
（2）若在上有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）當時，函數(shù)，其定義域為，且，
令，可得，
當時，；當時，，
所以在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，
所以當時，取得極小值，同時也是最小值，最小值，
又因為時，，所以的值域為.
（2）由在有兩個實數(shù)根，則在有兩個零點，
又由，令，
當時，恒成立，，在上單調遞減，舍去；
當時，解得或，有兩個根，且，
當時，在上恒小于，，單調遞減，舍去；
當時，，不妨設，則，
時，，單調遞增，
時，，單調遞減，
且，則，
令，可得，
當時，，單調遞減，且，
所以，當時，，
則，且，
故使，故在上存在兩個零點，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
22. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，是橢圓上的點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設為的左頂點，過的直線交橢圓于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，是線段的中點，在軸上求出一定點，使得.
解：（1）由橢圓過可得，可得，
又因為，解得，，所以橢圓的標準方程為.
（2）設點、，易知點、，
若直線與軸重合，則、中必有一點與點重合，不合乎題意，
設直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，
由韋達定理可得，，
直線方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
同理可得點，則中點.
因為，則點是在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的方程為，
在圓的方程中，令，得，
.
所以，即，
又因為，
所以，即，解得，
所以點坐標為.經常參加
不經常參加
男生
60
20
女生
40
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
經常參加
不經常參加
男生
60
20
80
女生
40
10
50
100
30
130

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