1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因，
而，．
故選：C.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由復(fù)數(shù)，可得，所以，
則．
故選：B.
3. 已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
由可得，，整理得．
故選：D.
4. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則有函數(shù)在區(qū)間上恒正且單調(diào)遞增，
則滿足且，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A.
5. 某種化學(xué)物質(zhì)的衰變滿足指數(shù)函數(shù)模型，每周該化學(xué)物質(zhì)衰減，則經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量低于該化學(xué)物質(zhì)的，則的最小值為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)該化學(xué)物質(zhì)最初的質(zhì)量為，經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量為，
由題意可得，即，可得，
所以，，
故正整數(shù)的最小值為.
故選：C.
6. 的展開式中的系數(shù)為（ ）
A. 10B. C. 20D.
【答案】A
【解析】，
展開式的通項(xiàng)公式為，
時(shí)，，所以的系數(shù)為．
故選：A.
7. 已知過點(diǎn)與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，即，可得圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為M，N，
，則，
則，故，
故為鈍角，則.
故選：D.
8. 下列不等關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對于A項(xiàng)，因，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，設(shè)，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因，故，即，故，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，因，故構(gòu)造，則則在上單調(diào)遞增，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，，，構(gòu)造函數(shù)則單調(diào)遞增，，故D項(xiàng)正確．
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列判斷中正確的是（ ）
A. 一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則
B. 兩組數(shù)據(jù)與，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為
C. 已知離散型隨機(jī)變量，則
D. 線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，則這兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)
【答案】AB
【解析】對于A中，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10的80%分位數(shù)為，
數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位數(shù)為10，所以，選項(xiàng)A正確；
對于B中，由平均數(shù)公式，可得，，則將它們合并在一起，可得 ，所以B正確；
對于C中，離散型隨機(jī)變量，可得，
根據(jù)方差的性質(zhì)，可得，所以C錯(cuò)誤；
對于D中，相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以D錯(cuò)誤．
故選：AB.
10. 下列函數(shù)中均滿足下面三個(gè)條件的是（ ）
①為偶函數(shù)；②；③有最大值
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由題意，函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②；③有最大值，
對于A中，函數(shù)，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，不滿足②，所以A不符合題意；
對于B中，函數(shù)，由，滿足①；
又由，滿足②；由函數(shù)，滿足③，所以B符合題意；
對于C中，函數(shù)，由，滿足①；
又由，可得，滿足②；當(dāng)時(shí)，可得，滿足③，所以C符合題意；
對于D中,，函數(shù)為偶函數(shù)，由，可得，，所以D符合題意.
故選：BCD.
11. 如圖，棱長為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F在該正方體的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面．下列說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)F軌跡是長度為的線段
B. 三棱錐的體積為定值
C. 存在一點(diǎn)F，使得
D. 直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】設(shè)G為中點(diǎn)，則截面圖形是為等腰梯形，分別為的中點(diǎn)，可得且，因?yàn)槠矫妫矫?，且平面，平面，所以平面，平面?br>又因，且平面，所以平面平面，
因?yàn)槠矫?，且點(diǎn)在該正方體的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，所以A正確；
由，所以B錯(cuò)誤；
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)?，所以，所以C正確；
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，在正方體，可得，
則直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，設(shè)，
在等腰中，，可得，
在中，可得，
所以；
當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，此時(shí)直線與直線所成角的正弦值為，
所以直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為，所以D正確.
故選：ACD.
12. 已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 為遞增數(shù)列
C. D.
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，即?br>所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項(xiàng)A正確；
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，可得，兩邊平方整理得，選項(xiàng)C正確．
因?yàn)椋淼?，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．
故選：ACD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 某校思想品德課教師一天有3個(gè)不同班的課，每班一節(jié)，如果該校一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)，該教師的3節(jié)課任意兩節(jié)都不能連著上（第四節(jié)和第五節(jié)不算連著上），則該教師一天的課所有不同的排法有___________種．
【答案】78
【解析】上午2節(jié)不連堂，下午一節(jié)，共有種；
上午1節(jié)，下午2節(jié)不連堂，共有，
故不同的排課方案共有種．
故答案為：78.
14. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則___________．
【答案】
【解析】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，
，則，
，
，即，
由于，
，故
故答案為：
15. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線C上，點(diǎn)B在y軸上，，則雙曲線C的離心率為___________．
【答案】
【解析】因，，點(diǎn)B在y軸上，則.
又，則，，由勾股定理，，由雙曲線定義，
則．
故答案為：.
16. 現(xiàn)有一個(gè)底面邊長為，高為4的正三棱柱形密閉容器，在容器中有一個(gè)半徑為1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意運(yùn)動(dòng)，則小球未能達(dá)到的空間體積為___________．
【答案】
【解析】邊長為正三角形的內(nèi)切圓半徑為：，
故該小球恰好與該正三棱柱從側(cè)面相切，
球在上下移動(dòng)中所形成的空間幾何體為兩個(gè)半球圓柱，
其體積為：，
所以剩下體積：．
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知在中，角的對邊分別是，且．
（1）求角C的大?。?br>（2）若的面積，求的值．
解：（1）由題意知
因?yàn)?，可得，所以?br>即，
可得，
又因?yàn)?，可得，所以?br>因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)榈拿娣e，可得，
解得，
由余弦定理得，即，
解得或，
當(dāng)時(shí)，可得，所以；
當(dāng)時(shí)，可得，所以．
18. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）令，求數(shù)列的前9項(xiàng)之和．
解：（1）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，
可得，
兩式相減可得，
所以，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋獾茫?br>所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得.
（2）由（1）知，可得，
所以
．
19. 如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面．
（1）求該五面體的體積；
（2）請判斷在棱上是否存在一點(diǎn)G，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．
解：（1）因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又因?yàn)槠矫妫?br>平面，所以平面，
又因過的平面平面，所以，
分別取與的中點(diǎn)M，N，連接，
則平面將五面體分割成兩部分，幾何體和棱錐，
故，
取中點(diǎn)為O，
，
，
為中點(diǎn)，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又因?yàn)?，所以，則幾何體為棱柱，
取的中點(diǎn)，連接，可得，
則四邊形為平行四邊形，則，
由平面，可得平面，則為棱錐的高，
由可得，
則，
又，平面，平面平面，
平面平面，所以平面，
所以為棱柱的高，
，

；
（2）取中點(diǎn)Q，連接，易得，
結(jié)合（1）可知兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；
則，
，，
設(shè)平面的法向量，
可得則，得，令得，
解得平面的一個(gè)法向量，
在上，設(shè)，，
，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
，
或（舍去），
，
故存在G點(diǎn)，當(dāng)，即G與F重合時(shí)，
與平面所成角的正弦值為．

20. 編號(hào)為1，2，3，4的四名同學(xué)一周內(nèi)課外閱讀的時(shí)間（單位：h）用表示，，將四名同學(xué)的課外閱讀時(shí)間看成總體，則總體的均值為．先后隨機(jī)抽取兩個(gè)值，用這兩個(gè)值的均值來估計(jì)總體均值．
（1）若采用有放回的方式抽樣（兩個(gè)值可以相同），則樣本均值的可能取值有多少個(gè)？寫出樣本均值的分布列并求其數(shù)學(xué)期望；
（2）若采用無放回的方式抽樣，則樣本均值超過總體均值的概率會(huì)不會(huì)大于0.5？
（3）若考慮樣本均值與總體均值的差的絕對值不超過0.5的概率，那么采用哪種抽樣方法概率更大？
解：（1）有放回抽樣會(huì)有16個(gè)等可能的樣本
可得，，
所以樣本均值的分布列為：
則均值．
（2）無放回抽樣會(huì)有12個(gè)等可能的樣本，
可得
所以樣本均值的分布列為：
所以樣本均值超過總體均值的概率為，
所以樣本均值超過總體均值的概率不會(huì)大于0.5．
（3）樣本均值與總體均值的誤差不超過0.5的概率，
有放回的抽樣，；無放回的抽樣，，
因?yàn)?，故采用無放回的抽樣方法概率更大．
21. 已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．若從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)，光線經(jīng)過的路程為8，橢圓C的離心率為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，動(dòng)直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，且始終滿足，作交于點(diǎn)M，求的最大值．
解：（1）由橢圓的性質(zhì)可知，左焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)，
可得光線經(jīng)過的路程為，解得，
又由橢圓的離心率為，可得，所以，
故，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）橢圓，可得，則， ，
設(shè)，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則且，
因?yàn)椋傻茫?br>所以
，
化簡為，
而到直線的距離為，
即有M的軌跡方程為；
法1、設(shè)，則
，
表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，減去的差；
由點(diǎn)與的即離為，可得M與點(diǎn)的距離的最大值為，
則的最大值為.
法2、令，設(shè)，
所以
（其中），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“等號(hào)”．
22. 已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若，構(gòu)造函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積；
（2）若（其中為的導(dǎo)函數(shù)），當(dāng)時(shí)，，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）
解：（1）由題，，則，
當(dāng)時(shí)，，
則， .
則切線方程為，
又切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，
則；
證明：（2）當(dāng)時(shí)，，由題意，
即
構(gòu)造函數(shù)，則，
，
得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
則式
因，則，①
因，則，又結(jié)合（*）式，
可得，因
則，②
由①②知，
構(gòu)造函數(shù)，則在單調(diào)遞增，
注意到，
由零點(diǎn)存在性定理可知：．5
5.5
6
6.5
5.5
6
6.5
7
6
6.5
7
7.5
6.5
7
7.5
8
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
P
5.5
6
6.5
5.5
6.5
7
6
6.5
7.5
6.5
7
7.5
5.5
6
6.5
7
7.5
P

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