一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，可得，即，
故.
故選：B.
2. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，則有，
即，
故.
故選：C.
3. 已知點(diǎn)，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與共線，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】，，
由與共線，故有，
解得.
故選：B.
4. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?，得到?br>所以，
故選：D.
5. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又為偶函數(shù)，得到，
由，得到，所以，
即有，所以，故函數(shù)的周期為，
又，所以，
故選：C.
6. 已知是圓錐底面的直徑，為底面圓心，為半圓弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)闉榘雸A弧的中點(diǎn)，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，為半圓弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，
則,，
所以，
設(shè)異面直線與所成角的角為，
則，

故選：B.
7. 法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)橢圓兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸的平方和．如圖所示為稀圓及其蒙日?qǐng)A，點(diǎn)均為蒙日?qǐng)A與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，若與的面積比為，則的離心率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題知，蒙日?qǐng)A為，設(shè)，
則直線的方程為，
由，消得到，
顯然有，解得，
又與的面積比為，所以，
又，，所以，
得到，所以，

故選：C.
8. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得到，又，所以，
所以，，又，
所以，又，得到，
令，則，所以，
得到，
令，則在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時(shí)，，
得到在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，所以，得到，
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 黨的二十大作出“發(fā)展海洋經(jīng)濟(jì)，保護(hù)海洋生態(tài)環(huán)境，加快建設(shè)海洋強(qiáng)國(guó)”的戰(zhàn)略部署．如圖是2018—2023年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 從2018年開(kāi)始，中國(guó)海洋生產(chǎn)總值逐年增大
B. 從2019年開(kāi)始，中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率最大的是2021年
C. 這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的極差為15122
D. 這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，根據(jù)條形圖數(shù)據(jù)可以看到2020年較2019年海洋生產(chǎn)總值是下降的，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，2019年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，
2020年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，2021年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，
2022年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，2023年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，
故年增長(zhǎng)率最大的是2021年，故B正確；
對(duì)于C，這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的極差為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將這6年的海洋生產(chǎn)總值按照從小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，
所以這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628，故D正確.
故選：BD.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 上單調(diào)遞增
C. 圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
D. 為偶函數(shù)
【答案】AC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，，
因?yàn)椋瑒t，所以，，解得，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，
當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
所以，是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò).
故選：AC.
11. 已知直線與拋物線相切于點(diǎn)P，過(guò)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，這兩條直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則（ ）
A. B. 線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
C. 直線AB的斜率為D. 直線PM，PN的斜率之積為4
【答案】BCD
【解析】對(duì)A：聯(lián)立可得，即有，
，解得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由，故有，故，，故，
設(shè)，則，，
聯(lián)立與拋物線，即有，消去可得，
，即，則有，即
同理可得：，故，故B正確；
對(duì)C：，故C正確；
對(duì)D：由題意可得，
同理可得，則
聯(lián)立與拋物線，即有，消去可得，
故，，
即有，故D正確.
故選：BCD.

12. 如圖，在直三棱柱中，，，在線段上且，則（ ）
A.
B. 四棱錐的外接球的一條直徑為
C. 三棱錐的外接球表面積為
D. 三棱錐的外接球體積為
【答案】BC
【解析】由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?br>則，
設(shè)，得到，
所以，又，，
所以，得到，所以，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，?br>所以與不垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，易知，
因?yàn)椋?br>所以到距離均相等，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)三棱錐的外接球心為，半徑為，
則，
解得，所以，
得到三棱錐的外接球表面積為，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)三棱錐的外接球心為，半徑為，
則，
解得，所以，得到，
得到三棱錐的外接球體積為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 若圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則______．
【答案】
【解析】圓的圓心為，由題意可知，圓心在直線上，
則，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程表示圓，滿(mǎn)足題意.
故答案為：.
14. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】對(duì)，有，
則當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，有，
則的展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】當(dāng)時(shí)，有，解得，
當(dāng)時(shí)，，令，解得，
當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
即的解集為，
綜上所述，不等式的解集為或.
故答案為：或.
16. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由，則，
故，
由，可得，
即，
設(shè)，則恒成立，
故在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，故.
故答案為：.
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 在當(dāng)今信息泛濫的時(shí)代，很多因素容易分散孩子們的注意力．某兒童注意力訓(xùn)練機(jī)構(gòu)從2~14歲的學(xué)員中隨機(jī)抽取了50名學(xué)員，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示：

（1）若抽取的這50名學(xué)員的平均年齡為6.2歲（每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），求圖中a，b的值．
（2）從所抽取的年齡在，，內(nèi)的學(xué)員中，按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再?gòu)倪@7人中任選3人，記這3人中年齡在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（1）由圖可得，即有，
由抽取的這50名學(xué)員的平均年齡為6.2歲，
可得，
即可得，又，故，；
（2）由頻率分布直方圖可得：，，三組的頻率之比為：
，
故抽取的7人中，年齡在內(nèi)的有人，
年齡在內(nèi)的有人，年齡在內(nèi)的有人，
故X的可能取值為，，，，
有，，
，，
故其分布列為：
.
18. 如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.

（1）求的大小;
（2）若,求的面積.
解：（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,
在中,根據(jù)余弦定理得,
所以,
則,
因?yàn)?
所以.
（2）因?yàn)?所以,
在中,由正弦定理得,
在四邊形中,,
所以,
則.
19. 如圖，四棱錐的體積為1，平面平面，，，，，為鈍角．

（1）證明：；
（2）若點(diǎn)E在棱AB上，且，求直線PE與平面PBD所成角的正弦值．
證明：（1）過(guò)點(diǎn)作⊥，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，平面，
所以⊥平面，
因?yàn)?，，?br>所以四邊形的面積，
因?yàn)樗睦忮F的體積為1，
所以，解得，
因?yàn)槠矫?，所以⊥，⊥?br>因?yàn)?，為鈍角，
由勾股定理得，
所以，
又，，故四邊形為矩形，
所以，
由勾股定理得，
故；

解：（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，設(shè)，，
則，解得，
故，
設(shè)平面的法向量為，
，
令，得，故，
設(shè)直線PE與平面所成角為，
所以.

直線PE與平面PBD所成角的正弦值為.
20. 在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，即，
，即，又，故有，解得，
故，；
證明：（2），
則，
，
有，
即，
令，
則，
則有，
即有，
即，
故，
又，故.
21. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與的右支交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，與x軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，證明：為線段的中點(diǎn)．
解：（1）由雙曲線的右焦點(diǎn)為，故，
由C過(guò)點(diǎn)，故，
即有，化簡(jiǎn)得，
即，故或，
由，故不符合要求，即，
則，故C的方程為；
證明：（2）設(shè)直線，、，
由，則，
聯(lián)立直線與雙曲線方程，有，
消去可得，
有，且，
即有，，，
則，
又直線與的右支交于兩點(diǎn)，故，
即有，
由，故，
直線，
聯(lián)立兩直線，有，
則有，
整理得，故，
即，
又，有,
故G為線段QR的中點(diǎn).

22. 已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1），
則當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
證明：（2），
則，
當(dāng)時(shí)，有，令，有，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，解得，
又當(dāng)時(shí)，，且，
故此時(shí)在、上各有一零點(diǎn)，
即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，符合要求；
當(dāng)時(shí)，令，有，，
①當(dāng)時(shí)，有，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求；
②當(dāng)時(shí)，有，故恒成立，
故在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求；
③當(dāng)時(shí)，有，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求；
綜上所述，.

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