（試卷分值150分，考試時(shí)間120分鐘）
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 二次函數(shù)的最大值是（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以直接判斷．
【詳解】∵二次函數(shù)，
∴拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，y有最大值是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，了解最值定義是解題關(guān)鍵．
2. 15名學(xué)生演講賽的成績(jī)各不相同，若某選手想知道自己能否進(jìn)入前8名，則他不僅要知道自己的成績(jī)，還應(yīng)知道這15名學(xué)生成績(jī)的（ ）
A. 平均數(shù)B. 眾數(shù)C. 方差D. 中位數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】15人成績(jī)的中位數(shù)是第8名的成績(jī)．參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前8名，只需要了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的中位數(shù)，比較即可．
【詳解】解：由于總共有15個(gè)人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，第8名的成績(jī)是中位數(shù)，要判斷是否進(jìn)入前8名，故應(yīng)知道中位數(shù)的多少．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是明確題意，選取合適的統(tǒng)計(jì)量．
3. 某種藥品原價(jià)為36元/盒，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為25元/盒．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（ ）
A 36（1﹣x）2＝36﹣25B. 36（1﹣2x）＝25
C. 36（1﹣x）2＝25D. 36（1﹣x2）＝25
【答案】C
【解析】
【分析】可先表示出第一次降價(jià)后的價(jià)格，那么第一次降價(jià)后的價(jià)格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為36×（1﹣x），
兩次連續(xù)降價(jià)后售價(jià)在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降低x，為36×（1﹣x）×（1﹣x），
則列出的方程是36（1﹣x）2＝25．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用增長(zhǎng)率問(wèn)題，讀懂題意列出方程是解答本題的關(guān)鍵．
4. 兩個(gè)相似三角形的面積比是9:16，則這兩個(gè)三角形的相似比是（ ）
A. 9︰16B. 3︰4C. 9︰4D. 3︰16
【答案】B
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)相似三角形中，面積比等于相似比的平方，即可得到結(jié)果．
因?yàn)槊娣e比是9:16，則相似比是3︰4，故選B.
考點(diǎn)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方
5. 如圖，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，若∠ACB＝60°，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可得出答案．
【詳解】解：∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
6. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓B. 三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C. 長(zhǎng)度相等的弧是等弧D. 三角形的外心到三角形三條邊的距離相等
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)確定圓的條件、三角形外接圓、圓的有關(guān)概念判斷即可．
【詳解】解：A、一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓，故本選項(xiàng)正確；
B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，長(zhǎng)度相等的弧不一定能夠重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理以及圓有關(guān)的知識(shí)，關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)性質(zhì)和定理，能對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷．
7. 已知一元二次方程x2-4x-2=0的兩根分別為x1，x2，則的值為（ ）
A. 2B. -1C. D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
x1+x2=4，x1·x2=-2
∴

=-2．
故選D ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為，則a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】
過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PO，PA．
∴AE=AB=，PA=2，PE==1．
∴PD=．
∵⊙P的圓心是（2，a），
∴DC=2，
∴a=PD+DC=2+．
故選B．
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將答案直接寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 若，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，把a(bǔ)，b換元成，再代入所求式子中求解是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴可設(shè)，
∴，
故答案為：．
10. 在中，，，則的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根據(jù)正弦的定義可得．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故答案為：．
11. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則函數(shù)中k的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的增減性以及圖象性質(zhì)：根據(jù)題干的的開(kāi)口向下，在時(shí)y隨x的增大而增大，在時(shí)y隨x的增大而減小，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：∵的開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴函數(shù)中k的取值范圍是
故答案為：
12. 如圖，圓弧形拱橋的跨徑米，拱高米，則拱橋的半徑為_(kāi)_________米.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓心為O，半徑長(zhǎng)為r米，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD=6，則OD=(r-4)，然后利用勾股定理在Rt△AOD中求解即可.
【詳解】解：設(shè)圓心為O，半徑長(zhǎng)為r米，
可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米
在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：，
解得r=6.5米，即半徑長(zhǎng)為6.5米.
故答案為6.5
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用,要熟練掌握勾股定理的性質(zhì),能夠運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中.
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（4，2），以原點(diǎn)O為位似中心，把△OAB按相似比1∶2縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是__________．
【答案】（2，1）或（－2，－1）
【解析】
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把△OAB按相似比1∶2縮小，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2），
∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是或，即（2，1）或（－2，－1），
故答案為：（2，1）或（－2，－1）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，熟知位似變換的性質(zhì)（在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或－k）是解題關(guān)鍵．
14. 已知扇形的面積為12π，半徑等于6，則它的圓心角等于___________度．
【答案】120
【解析】
【詳解】扇形面積=圓心角×π×半徑平方/360
即 12π=n×π×36÷360 12=n÷10
所以 n=120°．
故答案為120．
15. 已知拋物線y=x2+3x﹣4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（x1，0）、（x2，0），則x12﹣3x2+15=_____．
【答案】28
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，可判斷x1、x2為方程x2+3x﹣4=0的兩根，利用一
元二次方程解的定義得到x12=﹣3x1+4，則x12﹣3x2+15=﹣3（x1+x2）+19，再根據(jù)根與系數(shù)
的關(guān)系得到x1+x2=﹣3，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】∵拋物線y=x2+3x﹣4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（x1，0）、（x2，0），
∴x1、x2為方程x2+3x﹣4=0的兩根，
∴x12+3x1﹣4=0，
∴x12=﹣3x1+4，
∴x12﹣3x2+15=﹣3x1+4﹣3x2+15=﹣3（x1+x2）+19，
∵x1+x2=﹣3，
∴x12﹣3x2+15=﹣3×（﹣3）+19=28．
故答案為:28．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．
16. 如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，其中點(diǎn)Q為線段上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理求出，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出，，從而可得，利用勾股定理可得，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出的最小值．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在平行四邊形中，，，，
，
，
，
取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，
則，
，
，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，，
，
又，
，
，
，
又（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立），
的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共有11小題，共102分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟）
17. 解方程：
（1）
（2）（配方法）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程：
（1）運(yùn)用因式分解法進(jìn)行解一元二次方程，即令每個(gè)因式為0，即可作答．
（2）先二次項(xiàng)系數(shù)化1，再移項(xiàng)，配方，然后直接開(kāi)平方，即可作答．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵
∴
則
【小問(wèn)2詳解】
解：∵
∴
∴
則
即
即
18. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝40°，求∠ABD的度數(shù)．
【答案】50°
【解析】
【分析】根據(jù)圓周角定理可求∠ADB＝90°，即可求∠ABD的度數(shù)．
【詳解】解：∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°-40°=50°．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可求∠ADB＝90°是本題的關(guān)鍵．
19. 如圖，中，，點(diǎn)D在上，．若，，求的長(zhǎng)．

【答案】
【解析】
【分析】在中，由三角函數(shù)求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函數(shù)求得的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵在中，，
，
，
，
，
，
∴的長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵是解直角三角形求出，進(jìn)而求出．
20. 已知拋物線．
（1）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，拋物線與x軸總有交點(diǎn)．
（2）若該拋物線與x軸交于，求m的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）令，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可；
（2）令，，解一元二次方程即可求得的值
【小問(wèn)1詳解】
令，則有
即，對(duì)于任意實(shí)數(shù)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
對(duì)任意實(shí)數(shù)m，拋物線與x軸總有交點(diǎn)．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，掌握一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21. 小明有紅色、白色、黃色三件襯衫，又有藍(lán)色、黃色兩條長(zhǎng)褲．黑暗中他隨機(jī)地拿出一件襯衫和一條長(zhǎng)褲構(gòu)成一套衣褲．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖方法求小明拿出一套衣褲正好是白色襯衫和藍(lán)色長(zhǎng)褲的概率．
【答案】
【解析】
【分析】利用樹(shù)狀圖或列表把所有情況羅列出來(lái)，再找出題目要求的情況，用要求的情況次數(shù)除以總次數(shù)即得所求概率．
【詳解】
如圖，一共有6中可能，其中白色襯衫和藍(lán)色長(zhǎng)褲的情況只占到一種，故拿出一套衣褲正好是白色襯衫和藍(lán)色長(zhǎng)褲的概率為
【點(diǎn)睛】本題考查樹(shù)狀圖和列表法求概率，掌握方法是本題關(guān)鍵．
22. 為了從小華和小亮兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩人在相同條件下各射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下（單位：環(huán)）：
小華：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）下面表格中，________；________；________；
（2）根據(jù)以上信息，你認(rèn)為教練會(huì)選擇誰(shuí)參加比賽，理由是什么？
（3）若小亮再射擊2次，都命中8環(huán)，則小亮這8次射擊成績(jī)的方差________．（填“變大”、“變小”、“不變”）
【答案】（1）8，8，．
（2）選擇小華參賽，理由見(jiàn)解析．
（3）變?。?br>【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計(jì)算方法分別計(jì)算即可；
（2）通過(guò)平均數(shù)、方差的大小，得出結(jié)論；
（3）計(jì)算出小亮再射擊2次后8次的平均數(shù)、方差，通過(guò)方差的比較得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：小華的平均成績(jī)（環(huán)），
小華方差（環(huán)），
把小亮的成績(jī)從小到大排列為5，7，8，8，10，10，
則中位數(shù)（環(huán)），
故答案為：8，8，．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵小亮的方差是3，小華的方差是，即，
又∵小亮的平均數(shù)和小華的平均數(shù)相等，
∴選擇小華參賽．
【小問(wèn)3詳解】
解：小亮再射擊后的平均成績(jī)是（環(huán)），
射擊后的方差是：，
∴小亮這8次射擊成績(jī)的方差變小，
故答案為：變?。?br>【點(diǎn)睛】此題考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義和計(jì)算方法，明確各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義及反應(yīng)數(shù)據(jù)的特征是正確解答的關(guān)鍵．
23. 如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：△ABE∽△DFA；
（2）若，，求EF長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，矩形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而即可證明△ABE∽△DFA；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論以及勾股定理可求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
四邊形是矩形，
，
DF⊥AE，
，
△ABE∽△DFA；
【小問(wèn)2詳解】
△ABE∽△DFA；
E是BC的中點(diǎn)，，，
在中，
四邊形是矩形，
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24. 已知，如圖，在Rt△ABC中，．
（1）按要求尺規(guī)作圖：
①作的角平分線交BC與點(diǎn)D；
②求作圓O，使得圓O經(jīng)過(guò)AD兩點(diǎn)且圓心在線段AB上．
（2）求證：BC是的切線；
（3）若，．求的半徑．
【答案】（1）①作圖見(jiàn)解析；②作圖見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）的半徑為
【解析】
【分析】（1）①按照作已知角的角平分線的尺規(guī)作圖步驟畫(huà)圖即可；②先作線段的垂直平分線與相交于 再以為圓心，為半徑畫(huà)圓即可；
（2）如圖，連接 證明 而 可得 而在上，從而可得答案；
（3）如圖，記的交點(diǎn)為 先求解 再求解 最后利用勾股定理求解圓的半徑即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：①如圖，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交角的兩邊于
分別以為圓心，大于的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于
作射線，交于
則線段即為所求作的的角平分線，
②如圖，分別以為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，兩弧交于
作直線 交于
以為圓心，為半徑作圓，
則即為所求作的圓，
【小問(wèn)2詳解】
證明：如圖，連接
平分




而
而在上，
是的切線.
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖，記的交點(diǎn)為
，

，




所以的半徑為
【點(diǎn)睛】本題考查的作已知角的角平分線，作線段的垂直平分線，作圓，垂徑定理的應(yīng)用，切線的判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練以上兩個(gè)基本作圖，圓的基本性質(zhì)與銳角的正切的含義是解本題的關(guān)鍵.
25. 某藥店銷(xiāo)售一種消毒液，每瓶的進(jìn)價(jià)是元，日均銷(xiāo)售量（瓶）與每瓶售價(jià)（元）成一次函數(shù)關(guān)系，且．當(dāng)每瓶售價(jià)為元時(shí)，日均銷(xiāo)售量是瓶，當(dāng)每瓶售價(jià)為元時(shí)，日均銷(xiāo)售量是瓶．
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）要使日均利潤(rùn)達(dá)到元，每瓶售價(jià)應(yīng)定為多少元？
【答案】（1）
（2）每瓶售價(jià)應(yīng)定為元
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意找出點(diǎn)代入即可得到答案；
（2）根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）數(shù)量列方程求解即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)，由題意得一次函數(shù)過(guò)，，代入可得，
，
解得，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意可得，
，
解得：，
，
，
答：每瓶售價(jià)應(yīng)定為元．
【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式及一元二次方程求解銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是從題意中找出相應(yīng)點(diǎn)及等量關(guān)系式．
26. （1）[問(wèn)題提出]如圖1，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，連接，若，則面積的最大值為 ．
（2）[問(wèn)題探究]如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上．且，若，求的長(zhǎng)；
（3）[問(wèn)題解決]為進(jìn)一步落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校計(jì)劃為同學(xué)們開(kāi)設(shè)實(shí)踐探究課.按規(guī)劃要求，需設(shè)計(jì)一個(gè)正方形的研學(xué)基地，如圖3．點(diǎn)分別在正方形的邊上，將區(qū)域修建為種植采摘區(qū)，基地內(nèi)其余部分為研學(xué)探究區(qū)，的長(zhǎng)為40m，．為了讓更多的學(xué)生能夠同時(shí)進(jìn)行種植，要求種植采摘區(qū)（）的面積盡可能大，則種植采摘區(qū)的面積的最大值為_(kāi)______m2，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______m．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】
【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，由題意可得：，即可求解；
（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，即可求解；
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，由（1）可得，當(dāng)垂直平分時(shí)，面積最大，即可求解．
【詳解】（1）如圖1中，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值為3，此時(shí)垂直平分，
∴的面積的最大值為．
（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
則，
∵，
∴，
∴共線，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：
則，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，當(dāng)垂直平分時(shí)，最大，此時(shí)面積也最大，
則，
設(shè)，則，
由勾股定理可得：，
即，解得，（負(fù)值舍去），
，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形．
27. 如圖，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線相交于點(diǎn)P，與直線相交于點(diǎn)M，連接．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)N，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)G，使以O(shè)、N、G為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使與的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）點(diǎn)E是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）或或或；
（3）或或；
（4）
【解析】
分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為，得到，再求出，然后分時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）先求出，再求出直線的解析式為，過(guò)P點(diǎn)作交y軸于點(diǎn)H，交拋物線于，則直線的解析式為，求出，由得到，則當(dāng)Q與重合時(shí)滿足題意；求出，則H點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，求出過(guò)點(diǎn)與直線BC平行的直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則 或；
（4）如圖所示，在上截取F使得，過(guò)點(diǎn)E作于T，過(guò)點(diǎn)M作軸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，證明，得到，進(jìn)而推出當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，最小，即最小，最小值為，
設(shè)，則，利用勾股定理求出，，則，設(shè)中邊上的高為h，利用面積法求出；求出，得到，即可利用面積法求出．
【小問(wèn)1詳解】
解：將點(diǎn)代入中，得到，
解得，
∴拋物線解析式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∴，
由已知可得，
∵軸，軸，
∴
①時(shí)，
∴，即，
∴
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)時(shí)，
∴，即，
∴
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為或；
綜上所述：以O(shè)、N、G為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，滿足條件的G點(diǎn)坐標(biāo)為或或或；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵拋物線解析式為
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
過(guò)P點(diǎn)作交y軸于點(diǎn)H，交拋物線于，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)Q與重合時(shí)滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵H點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
∴過(guò)點(diǎn)與直線BC平行的直線解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
∴ 或；
綜上所述：與的面積相等時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為或或；
【小問(wèn)4詳解】
解：如圖所示，在上截取F使得，過(guò)點(diǎn)E作于T，過(guò)點(diǎn)M作軸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，最小，即最小，最小值為，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
解得，
∴，，
∴，
設(shè)中邊上的高為h，
∵，，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
平均數(shù)（環(huán)）
中位數(shù)（環(huán)）
方差（環(huán)2）
小華
a
8
c
小亮
8
b
3

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