專題解讀：垂直的定義建立期兩直線的位置關(guān)系與角度大小之間的聯(lián)系，當(dāng)題目要求的是角度的大小，而題目中的已知條件是兩直線垂直，我們一般是將垂直轉(zhuǎn)變成角度的大小．
典例1 如圖10-1-8，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，則∠BOD的度數(shù)是（ ）．
A．40°B．45°C．30°D．35°
A
B
C
D
O
E
思路引領(lǐng)：由“直線AB，CD相交于點(diǎn)O”可知∠AOC與∠BOD是對頂角，因此要求∠BOD可轉(zhuǎn)化為求∠AOC的度數(shù)，又因?yàn)椤癘E⊥AB于O”，由垂直的定義可知，∠AOE＝90°，由已知條件“∠COE＝55°”可求得∠AOC＝∠AOE－∠COE＝35°．
解：∵OE⊥AB于O
∴∠AOE＝90°（垂直的定義）
∵∠AOC＝∠AOE－∠COE，∠COE＝55°
∴∠AOC＝35°
∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°（對頂角相等）．
點(diǎn)睛：運(yùn)用垂直的定義進(jìn)行推理的格式為：∵AB⊥CD于點(diǎn)O（已知）∴∠BOC＝90°（垂直的定義）或∵∠BOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定義），其中前一個(gè)推理可以用來推出一個(gè)角為直角，后一個(gè)推理是可以用來判斷兩直線是否垂直．
典例2 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝40°，EO⊥CD，垂足為點(diǎn)O．求∠DOB，∠BOE的度數(shù)．
解：∵AB、CD相交于點(diǎn)O（已知），
∴∠BOD＝∠AOC＝40°（對頂角相等）．
∵EO⊥CD（已知），
∴∠EOD＝90°（垂直的定義）
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝50°
點(diǎn)睛：本題要求的是兩個(gè)角的度數(shù)，而已知條件中“直線AB、CD相交于點(diǎn)O”和“EO⊥CD”是兩直線的位置關(guān)系，這時(shí)我們可利用對頂角性質(zhì)和垂直的定義將兩直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為角度之間的關(guān)系．
典例3 如圖，直線BC與MN相交于點(diǎn)O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度數(shù)．
思路引領(lǐng)：由于∠AOC是直角，要求∠AOM的度數(shù)，可先求∠COM的度數(shù)，由于∠COM與∠BON是對頂角，所以我們可先求∠BON的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到：∠BON＝2∠EON＝42°．
解：∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，
∴∠BON＝2∠EON＝42°
∵BC與MN相交于點(diǎn)O，
∴∠COM＝∠BON＝42°
∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°
∴∠AOM＝90°－∠COM＝48°．
點(diǎn)睛：此題考查了垂線的性質(zhì)，結(jié)合圖形找出各角之間的關(guān)系，利用角平分線的概念，以及對頂角相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
針對訓(xùn)練1
1．如圖，AC⊥BC，直線EF經(jīng)過點(diǎn)C，若∠1＝37°，則∠2的度數(shù)是 ．
第1題圖
答案：53°
2． 如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)O，OC⊥AB，∠DOE＝2∠AOE，∠BOF＝33°，則∠AOD＝__________，∠DOC＝__________，∠COE＝__________，∠DOF＝__________．
答案：33°，57°，123°，114°．
3．如圖，已知直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF．
解：∵∠DOE＝127°，∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝53°，
∵AB⊥CD，
∴∠COB＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝37°，
∵∠BOE＝∠AOF，
∴∠AOF＝37°．
專題2 運(yùn)用方程思想進(jìn)行計(jì)算
專題解讀：求一個(gè)角的度數(shù)，我們總是設(shè)法將這個(gè)角轉(zhuǎn)化為其它幾個(gè)角的度數(shù)的和或差，然后分別求這幾個(gè)角的度數(shù)．當(dāng)題目中出現(xiàn)角度的倍分關(guān)系或幾個(gè)角度之比的時(shí)候，用方程思想解題比較方便。
典例4 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，求∠AOF的度數(shù)．
思路引領(lǐng)：要求∠AOF的度數(shù)，可先求∠AOC和∠COF的度數(shù)，由于∠AOC和∠BOD是對頂角，∠COF等于∠COE的一半，可通過求它的補(bǔ)角∠DOE求得，所以我們要首先考慮求∠DOE和∠BOD的度數(shù)．
解：設(shè)∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°．
∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°．
∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∴4x＝180，解得：x＝45°．
∴∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，∠BOE＝30°，∠COE＝150°．
∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝∠COE＝75°
∴∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝45°．
∴∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝135°．
點(diǎn)睛：本題主要考查角平分線定義、鄰補(bǔ)角及對頂角性質(zhì)，設(shè)出最小角根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求得最小角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．已知兩個(gè)角的度數(shù)之比，我們常?？紤]利用參與設(shè)出這兩個(gè)角度，然后列方程求出參數(shù)的值．
典例5 （2021秋?韶關(guān)期末）如圖1，點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，CO⊥DO，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度數(shù)．
（2）如圖2，若∠COE＝∠DOB，求∠AOC的度數(shù)．
思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠BOC的度數(shù)，由OE平分∠BOC可得∠BOC的度數(shù)，由垂線的性質(zhì)可得∠DOC＝90°，由DOE＝∠DOC﹣∠EOC代入計(jì)算即可得出答案；
（2）設(shè)∠COE＝x，則可得∠DOB＝3x，根據(jù)OE平分∠BOC可得∠BOE＝∠COE＝x，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠DOC＝90°，則x+x+3x＝90°可計(jì)算出x的度數(shù)，由∠BOE＝∠COE，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOE﹣∠COE代入計(jì)算即可得出答案．
解：（1）∵∠AOB是一個(gè)平角
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
又∵OE平分∠BOC
∴
又∵CO⊥DO，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝90°﹣65°＝25°，
（2）設(shè)∠COE＝x，則∠DOB＝3x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝x，
又∵CO⊥DO，
∴∠DOC＝90°，
∴x+x+3x＝90°，
∴x＝18°，
∴∠BOE＝∠COE＝18°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOE﹣∠COE＝180°﹣18°﹣18°＝144°．
點(diǎn)睛：本題主要考查了垂線、角平分線的性質(zhì)、角的計(jì)算，熟練掌握垂線、角平分線的性質(zhì)、角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練2
4． 如圖，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC∶∠BOC＝1∶5，則∠BOD＝（ ）
A．105°B．112.5°C．135°D．157.5°
答案：D 點(diǎn)撥：先設(shè)∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，∠BOC－∠AOC＝90°．
5．如圖，AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，EF⊥AB，OG、OH分別為∠COF、∠DOG的平分線，若∠AOC：∠COG＝4：7，求∠DOF．
解：∵EF⊥AB，OG為∠COF的平分線，
∴∠COG＝∠FOG，
∵∠AOC：∠COG＝4：7，
∴設(shè)∠AOC＝4x，∠COG＝7x，則∠GOF＝7x，
∴4x+7x+7x＝18x＝90°，
解得：x＝5°，
故∠AOC＝∠DOB＝20°，∠COG＝∠GOF＝35°，
則∠DOF＝90°+20°＝110°．
6．（2021春?武昌區(qū)期中）如圖，直線MD、CN相交于點(diǎn)O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度數(shù)；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．
解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD∠COD，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
專題3 先計(jì)算再證明垂直
典例7 （2021春?海安市月考）如圖，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H．
（1）問AB與CD是否垂直？并說明理由．
（2）求∠ADE．
思路引領(lǐng)：（1）先證DE∥BC，證明HF∥CD，所以∠BDC＝∠BHF＝90°，即可證明；
（2）因?yàn)镃D平分∠ACB，所以∠DCB＝19°．繼而得∠B＝180°﹣90°﹣19°＝71°，由DE∥BC，可得∠ADE＝∠B＝71°．
解：（1）AB與CD垂直．
理由如下：
∵∠1＝142°，∠ACB＝38°，
∴∠1+∠ACB＝180°．
∴DE∥BC．
∴∠2＝∠DCB．
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠DCB．
∴HF∥CD．
∴∠BHF＝∠BDC，
又∵FH⊥AB，
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，
∴CD⊥AB．
（2）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝38°，
∴∠DCB＝19°．
∵∠BDC＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣19°＝71°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝71°．
點(diǎn)睛：本題考查了垂線的性質(zhì)、平行線的判斷與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)，熟悉以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
典例8（2021春?秦都區(qū)月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE與CD垂直嗎？為什么？
思路引領(lǐng)：根據(jù)對頂角的定義和角平分線的定義即可得到結(jié)論．
解：OE⊥CD，
理由如下：
∵∠AOC＝40°，
∴∠DOB＝∠AOC＝40°，
∵∠DOF＝25°，
∴∠BOF＝∠DOB+∠DOF＝65°，
又∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠BOF＝65°，
∴∠DOE＝∠EOF+∠DOF＝65°+25°＝90°，
∴OE⊥CD．
點(diǎn)睛：本題考查了垂線，角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，正確識別圖形是解題的關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練3
7．如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝40°，OD平分∠AOC，∠COE＝70°．
（1）請你說明DO⊥OE；
（2）OE平分∠BOC嗎？為什么？
解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC∠AOC＝20．
∵∠COE＝70°，
∴∠DOE＝90°，
∴DO⊥OE．
（2）OE平分∠BOC．
理由：∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，
又∵∠AOC＝40°，∠COE＝70°，
∴∠BOE＝70°，
∴∠BOE＝∠COE，
∴OE平分∠BOC．
8．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE與AB垂直嗎？為什么？
解：OE⊥AB，
理由如下：
∵∠AOC＝28°，
∴∠DOB＝∠AOC＝28°，
∴∠DOF＝∠BOF﹣∠DOB
＝59°﹣28°
＝31°，
又OF平分∠DOE，
∴∠EOD＝2∠DOF＝62°，
∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB
＝62°+28°
＝90°，
∴EO⊥AB．
第二部分 專題提優(yōu)訓(xùn)練
1．如圖，直線BC，DE相交于點(diǎn)O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度數(shù)是 ．
答案：20°
2．（2021秋?盱眙縣期末）如圖，直線AB與直線MN相交，交點(diǎn)為O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度數(shù)．
解：∵∠BON＝25°，
∴∠AOM＝25°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝25°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣25°＝65°．
3．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥OD．
（1）若∠AOC＝60°，求∠EOF的度數(shù)．
（2）畫OE的反向延長線OG，OG是∠AOC的平分線嗎？請說明理由．
解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝30°，
∵OF⊥CD，
∴∠EOF＝90°﹣30°＝60°；
（2）如圖，OG是∠AOC的平分線．
理由：
∵∠DOE＝∠COG，∠AOC＝∠BOD，∠DOE＝∠BOD，
∴∠COG＝∠AOC，
∴OG是∠AOC的平分線．
4．（2021秋?寧波期末）如圖，OA⊥OB，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度數(shù)．
（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度數(shù)．
解：（1）∵OC平分∠AOD，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝2∠COD＝120°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣30°＝30°，
故∠BOC的度數(shù)是30°；
（2）∵∠COD＝60°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣∠BOD，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣90°，
∴∠BOC＝60°﹣∠BOD＝60°﹣（∠AOD﹣90°）＝150°﹣∠AOD，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴150°﹣∠AOD＝∠AOD，
解得：∠AOD＝105°，
故∠AOD的度數(shù)是105°．
5．（2021秋?濱江區(qū)期末）如圖，OC⊥AB于點(diǎn)O，∠COD＝∠BOD，OE平分∠BOD．
（1）求∠COE和∠AOE的度數(shù)．
（2）過點(diǎn)O作射線OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度數(shù)．
解：（1）∵OC⊥AB，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∵∠COD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝120°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°；
（2）如圖，當(dāng)OF在直線AB 上方時(shí)，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOE＝60°，
∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝60°+90°＝150°；
當(dāng)OF在直線AB下方時(shí)，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOE＝60°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
故∠BOF的度數(shù)為150°或30°．
6．如圖，直線AB交CD于點(diǎn)O，由點(diǎn)O引射線OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，求∠FOC．
．
解：∵OC平分∠EOG，∴∠1＝∠2，
∵∠FOE＝∠AOG，∴∠FOE＋∠1＝∠AOG＋∠2，
即∠FOC＝∠AOC，又∵AB、CD相交于點(diǎn)O，
∴∠AOC與∠BOD是對頂角，由對頂角相等，
可得∠AOC＝∠BOD，∴∠FOC＝∠BOD，
∵∠BOD＝56°，∴∠FOC＝56°
7．（2021秋?西山區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)O為直線AB上的一點(diǎn)，OM平分∠AOC，∠AOC＝80°，CO⊥OD．
（1）求∠MOD的度數(shù)；
（2）若∠BOP與∠AOM互余，求∠DOP的度數(shù)．
解：（1）∵OM平分∠AOC，且∠AOC＝80°，
∴∠COM＝∠AOM＝∠AOC＝40°，
∵CO⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠COD＝∠COM+∠MOD＝90°，
∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°；
（2）由（1）得∠AOM＝40°，∠COD＝90°，
∵∠BOP和∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣40°＝50°，
∵O為直線AB上一點(diǎn)，
∴∠BOA＝∠AOC+∠COP+∠BOP＝180°，
∴∠COP＝180°﹣∠AOC﹣∠BOP＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠DOP＝∠COD+∠COP＝90°+50°＝140°．
8．（2021秋?香坊區(qū)期末）已知，直線AB、CD交于點(diǎn)O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．
（1）如圖1，求∠DOE的度數(shù)；
（2）如圖2，過點(diǎn)O畫出直線CD的垂線MN，請直接寫出圖中所有度數(shù)為125°的角．
解：（1）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD，∠EOC：∠BOD＝7：11，
∴∠EOC：∠AOC＝7：11，
∴∠EOC＝90°×＝35°，∠AOC＝90°×＝55°，
∴∠DOE＝∠180°﹣∠COE＝180°﹣35°＝145°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°；
∴∠AOD＝∠BOC＝125°；
∵M(jìn)N⊥CD，
∴∠CON＝90°，
∴∠COE+∠EON＝90°，
∵∠COE＝35°，
∴∠EON＝90°﹣35°＝55°，
∴∠MOE＝180°﹣∠EON＝125°，
故圖中所有度數(shù)為125°的角為：∠BOC，∠AOD，∠MOE．
9．（2021秋?淮陰區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB，射線OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
求：（1）∠BOD的度數(shù)；
（2）∠COE的度數(shù)．
解：（1）∵射線OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
（2）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠COE＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°．
10．（2020秋?盱眙縣期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC．OD是兩條射線，OC⊥OD，射線OE平分∠BOC．
（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度數(shù)．
（2）若∠DOE＝α，則∠AOC＝ （ 請用含α的代數(shù)式表示）．
解：（1）∵OC⊥OD，∠DOE＝140°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝140°﹣90°＝50°，
∵射線OE平分∠BOC．
∴∠COE＝∠BOE＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
（2））∵OC⊥OD，∠DOE＝α，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝α﹣90°，
∵射線OE平分∠BOC．
∴∠COE＝∠BOE＝α﹣90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）＝360°﹣2α，
故答案為：360°﹣2α．
11．（2021秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，AB、CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB，且OC平分∠AOE，過O點(diǎn)作射線OF，且∠DOF＝4∠AOF，求∠FOC的度數(shù)．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC＝45°；
∵∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠DOF＝4∠AOF，
∴∠AOD＝∠DOF+∠AOF＝4∠AOF+∠AOF＝5∠AOF＝135°，
∴∠AOF＝27°，
∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝72°．
12．（2021春?舞鋼市期末）已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，結(jié)合圖形，試探索這兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是： ．
（2）如圖2，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是： ．說明理由．
（3）由（1）（2）你得出的結(jié)論是：如果 ，那么 ．
（4）若兩個(gè)角的兩邊互相垂直，且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少40°，則求這兩個(gè)角度數(shù)．
解：（1）如圖1，
∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠EGB＝90°，∠EHB＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2．
故答案為：相等．
（2）如圖2，
∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠EGB＝90°，∠EHB＝90°，
∴∠1+∠2+∠EGB+∠EHB＝360°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案為：互補(bǔ)．
（3）由（1）（2）的分析可得結(jié)論：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；
故答案為：一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；
（4）設(shè)另一個(gè)角的度數(shù)為α，則一個(gè)角的度數(shù)為3α﹣40°，
根據(jù)題意可得，α＝3α﹣40°或α+3α﹣40°＝180°，
解得α＝20°或55°，
當(dāng)α＝20°時(shí)，3α﹣40°＝20°，
當(dāng)α＝55°時(shí)，3α﹣40°＝125°，
∴這兩個(gè)角的度數(shù)為20°，20°或55°，125°．
13．如圖，射線OC、OD把∠AOB分成三個(gè)角，且度數(shù)之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD．
（1）若∠AOB＝144°，求∠COM的度數(shù)；
（2）若OM⊥ON，求∠COD的度數(shù)．
解：（1）設(shè)∠AOC＝2x，
則∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵∠AOB＝144°，
∴2x+3x+4x＝144°，
∴x＝16°，
∴∠AOC＝2x＝32°，∠COD＝3x＝48°，∠DOB＝4x＝64°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM∠AOC＝16°．
（2）設(shè)∠AOC＝2x，
則∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠COD＝45°．
14．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝40°，求∠BOD的度數(shù)；
（2）如果∠1＝∠2，那么ON與CD互相垂直嗎？為什么？
解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
（2）ON⊥CD，
理由：∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝∠1+∠AOC＝90°，
即ON⊥CD．
15．（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．
【基礎(chǔ)嘗試】
（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；
【畫圖探究】
（2）作射線OF⊥OC，設(shè)∠AOC＝x°，請你利用圖2畫出圖形，探究∠AOC與∠EOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示∠EOF．
【拓展運(yùn)用】
（3）在第（2）題中，∠EOF可能和∠DOE互補(bǔ)嗎？請你作出判斷并說明理由．
解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF＝x或∠EOF＝180°﹣x．
當(dāng)OF在∠BOC內(nèi)部時(shí)，如圖，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝（90﹣x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90﹣x）°＝x°，
即∠EOF＝x；
當(dāng)OF在∠AOD內(nèi)部時(shí)，如圖，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝（90﹣x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90﹣x）°＝（180﹣x）°，
即∠EOF＝180°﹣x．
綜上所述：∠EOF＝x或∠EOF＝180°﹣x；
（3）∠EOF可能和∠DOE互補(bǔ)．
當(dāng)AB⊥CD，且OF與OB重合時(shí)，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互補(bǔ)．

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