第二部分 高頻考點(diǎn)+針對(duì)訓(xùn)練
高頻考點(diǎn)1 相交線(xiàn)
典例1 如圖5-1，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1︰∠2＝1︰4，則∠1＝______，∠3＝______．
圖5-1
典例2 如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，∠EOC＝28°， 則∠AOD＝_______度．
C
28°
E
B
D
A
O
典例3 如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE， ∠AOD∶∠BOE=4∶1，求∠EOF的度數(shù)．
針對(duì)訓(xùn)練1
1.如圖(1)，直線(xiàn)AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，則∠2＝____.
2.如圖(2)，直線(xiàn)AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，則∠COE＝_____.
3.如圖，AB⊥CD于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF過(guò)O點(diǎn)，∠AOE＝65°，求∠DOF的度數(shù).
高頻考點(diǎn)2 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
典例4 如圖，AD為三角形ABC的高，能表示點(diǎn)到直線(xiàn)(線(xiàn)段)的距離的線(xiàn)段有( )
A．2條 B.3條 C.4條 D.5條
針對(duì)訓(xùn)練2
4.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝4.8cm，AC＝6cm，BC＝8cm，則點(diǎn)C到AB的距離是_____cm；點(diǎn)A到BC的距離是_____cm；點(diǎn)B到AC的距離是_____cm.
高頻考點(diǎn)3平行線(xiàn)的判定
典例5 如圖，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ADC的角平分線(xiàn)，∠1＝∠2，求證DC∥AB．
3
1
F
E
D
C
B
A
2
典例6 如圖，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，AB和CD是否平行？為什么？
針對(duì)訓(xùn)練3
5.如圖，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求證：EF∥BC.
高頻考點(diǎn)4平行線(xiàn)的性質(zhì)
典例7 如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A與∠C，∠B與∠D的大小關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
典例8 如圖，AB∥CD，BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，試問(wèn)∠M與∠N之間的數(shù)量關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．
針對(duì)訓(xùn)練4
6．（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝46°，那么∠2的度數(shù)是（ ）
A．46°B．76°C．94°D．104°
7．（2021秋?中原區(qū)校級(jí)期末）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠2＝37°，則∠1＝（ ）
A．52°B．53°C．54°D．63°
8．（2021秋?太倉(cāng)市期末）已知直線(xiàn)a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如圖所示方式放置，并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線(xiàn)a，b上，若∠1＝22°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．38°B．45°C．58°D．60°
高頻考點(diǎn)5平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定綜合運(yùn)用
典例9 如圖所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度數(shù).
針對(duì)訓(xùn)練5
9.如圖，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求證：∠E＝∠3.
高頻考點(diǎn)6 平移
典例10 如圖，平移△ABC，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′，畫(huà)出平移后的三角形A′B′C′.
A
B
C
A′
針對(duì)訓(xùn)練6
10.如圖所示，△DEF經(jīng)過(guò)平移得到△ABC，那么∠C的對(duì)應(yīng)角和ED的對(duì)應(yīng)邊分別是( )
A.∠F，AC B.∠BOD，BA
C.∠F，BA D.∠BOD，AC
11.如圖所示，把∠AOB沿著MN的方向平移一定距離后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，∠DPN＝45°，則∠AOB＝____.
12. 如圖所示，下列四組圖形中，有一組中的兩個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移其中一個(gè)能得到另一個(gè)，這組圖形是( )
高頻考點(diǎn)7 命題
典例11 命題“絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”.
(1)將這命題改寫(xiě)成“如果…那么…的形式；
(2)寫(xiě)出這命題的題設(shè)和結(jié)論；
(3)判斷該命題的真假.
針對(duì)訓(xùn)練7
13.A、B、C、D、E五名學(xué)生猜測(cè)自己的數(shù)學(xué)成績(jī).A說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒(méi)有說(shuō)錯(cuò)，但只有三個(gè)人得優(yōu)，請(qǐng)問(wèn)：得優(yōu)的三個(gè)人是_________.
第三部分 能力提升訓(xùn)練
1.如圖所示，已知射線(xiàn)CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.點(diǎn)E、F在射線(xiàn)CB上，且滿(mǎn)足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.
(1)求∠EOB的度數(shù)；
(2)若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化，找出變化規(guī)律，若不變，求出這個(gè)比值；
(3)在平行移動(dòng)AB的過(guò)程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2.如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.
(1)求證：∠B＝∠D；
(2)如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)G在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線(xiàn)；
(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠EDC的平分線(xiàn)DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù).
第四部分 2021中考真題鏈接
1．(3分)(2021年杭州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·杭州) 如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l 外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn) Q，點(diǎn)T是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PT，則（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
2．(3分)(2021年樂(lè)山中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?樂(lè)山）如圖，已知直線(xiàn)l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α＝50°，則β的度數(shù)為（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
3．(3分)(2021年杭州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·杭州) 如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l 外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn) Q，點(diǎn)T是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PT，則（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．(3分)(2020年湖南省岳陽(yáng)市市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2020·湖南省岳陽(yáng)市）將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線(xiàn)a∥b，則∠1的大小為（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
4．(3分)(2021年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021荊州）閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．(3分)(2021年聊城中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·聊城) 如圖，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，則∠CEF的度數(shù)為（ ）
A．95°B．105°C．110°D．115°
7．(4分)(2021年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?泰安）如圖，直線(xiàn)m∥n，三角尺的直角頂點(diǎn)在直線(xiàn)m上，且三角尺的直角被直線(xiàn)m平分，若∠1＝60°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
8．(4分)(2021年浙江臺(tái)州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·臺(tái)州)一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（ ）
A. 40°B. 43°C. 45°D. 47°
9．(3分)(2021年臨沂市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·臨沂) 如圖，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
10．(3分)(2021年濟(jì)寧中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·濟(jì)寧) 如圖，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度數(shù)是（ ）
A．72°28′B．101°28′C．107°32′D．127°32′
11．(3分)(2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·河南) 如圖，a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
12．(3分)(2021年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·十堰）如圖，直線(xiàn)AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝（ ）
A．87°B．23°C．67°D．90°
13．(3分)(2021年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?長(zhǎng)沙）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H，∠AGE＝100°，則∠DHF的度數(shù)為（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
14．(3分)(2021年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·宿遷)如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則∠BDE的度數(shù)是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
第5題圖
15．(3分)(2021年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·達(dá)州）如圖，一束光線(xiàn)AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線(xiàn)CD與AB平行，當(dāng)∠ABM＝40°時(shí)，∠DCN的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
16．(3分)(2021年內(nèi)蒙古烏蘭察布市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·烏蘭察布市)如圖，直線(xiàn)l1∥l2，直線(xiàn)l3交l1于點(diǎn)A，交l2于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l4交l1于點(diǎn)C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
17．(5分)(2021年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?新疆）如圖，直線(xiàn)DE過(guò)點(diǎn)A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
18．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021宜昌）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，則∠AFD的度數(shù)是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
19．(3分)(2021年?yáng)|營(yíng)中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·東營(yíng))如圖，，于點(diǎn)F，若，則（ ）
A. B. C. D.
20．(3分)(2021年荊門(mén)市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·荊門(mén))如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
D
A
C
B
1
2
21．(3分)(2021年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（ ）
A．兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行
C．兩直線(xiàn)平行，同位角相等 D．兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)
22．(3分)(2021年棗莊中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·棗莊) 將把直尺和一塊含和角的三角板按如圖所示的位置放置，如果，那么的大小為（ ）
A. B. C. D.
23．(3分)(2021年包頭中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·包頭) 如圖，直線(xiàn)l1∥l2，直線(xiàn)l3交l1于點(diǎn)A，交l2于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l4交l1于點(diǎn)C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
24．(4分)(2021年宜賓中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·宜賓)一塊含有45°的直角三角板和直尺如圖放置，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
25．(3分)(2021年湖北省襄陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·湖北襄陽(yáng)）如圖，a∥b，AC⊥b，垂足為C，∠A＝40°，則∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
第3題圖
26．(3分)(2021年湖北中考數(shù)學(xué)試卷；)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
27．(3分)(2021年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?菏澤）一副三角板按如圖方式放置，含45°角的三角板的斜邊與含30°角的三角板的長(zhǎng)直角邊平行，則∠α的度數(shù)是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
28．(3分)(2021年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?瀘州）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（﹣3，﹣2）向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）
二、填空題
29．(2分)(2021年常州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·常州) 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝ °
30．(2分)(2021年常州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·常州) 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝ °
31．(3分)(2021年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·湖南張家界）如圖，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分線(xiàn)，若∠2＝64°，則∠3＝ ．
32．(3分)(2021年長(zhǎng)春中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·長(zhǎng)春) 將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)D在邊AC上，BC∥EF，則∠ADE的大小為 度．
33．(3分)(2021年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·恩施)如圖，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，則∠C＝ ．
34．(3分)(2021年廣西柳州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·廣西柳州）如圖，直線(xiàn)a∥b，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是__________°．
三、解答題
35．(8分)(2021年武漢中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·武漢)如圖，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：∠DEF＝∠F．
如圖：已知直線(xiàn)b∥c，a⊥b，求證：a⊥c．
證明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1＝90°（垂直的定義）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）
④∴a⊥c（垂直的定義）
如圖，已知直線(xiàn)l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．
請(qǐng)完成下面的說(shuō)理過(guò)程．
解：已知∠1＝∠2，
根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行），得l1∥l2．
再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．

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