（滿分：150分,完卷時(shí)間：120分鐘）
（答題請(qǐng)寫在答題紙上）
一,填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1～6題每題4分,第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．
1．已知全集,集合,則_________．
2．已知向量,,若,則實(shí)數(shù)___________．
3．已知函數(shù)的表達(dá)式為則的值為_________．
4．已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的值為_________．
5．的二項(xiàng)展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為_________．
6．以為圓心且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________________．
7．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為,半徑為的扇形,則該圓錐的母線與底面所成角的大小為_________．
8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則的值為_________．
9．在內(nèi),使成立的的取值范圍是__________．
第10題圖
10．某海濱浴場平面圖是如圖所示的半圓,其中是圓心,直徑為400米,是弧的中點(diǎn)．一個(gè)急救中心在棧橋中點(diǎn)上,計(jì)劃在弧上設(shè)置一個(gè)瞭望臺(tái),并在間修建浮橋．已知越大,瞭望臺(tái)處的視線范圍越大,則處的視線范圍最大時(shí),的長度為 米．（結(jié)果精確到1米）
11．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)）,設(shè)事件：n次中既有正面朝上又有反面朝上,事件：n次中至多有一次正面朝上,若事件A與事件B是獨(dú)立的,則n的值為_________．
12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足,將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到向量．若,,則的最大值為_________．
二,選擇題（本題共有4題,滿分18分,13,14每題4分,15,16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng),考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置,將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．
13．函數(shù)是（ ）．
（A）最小正周期為的奇函數(shù)（B）最小正周期為的偶函數(shù)
（C）最小正周期為的奇函數(shù)（D）最小正周期為的偶函數(shù)
14．若“”是“”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐,得到了圓錐曲線,其中的一種如圖所示．用過點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分,已知高,底面圓的半徑為4,為母線的中點(diǎn),平面與底面的交線,則雙曲線的兩條漸近線所成角的余弦值為（ ）．
第15題圖
（A）（B）（C）（D）
16．已知三棱錐的側(cè)棱長相等,且側(cè)棱兩兩垂直．設(shè)為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點(diǎn),,,的點(diǎn),記．若集合中有且只有2個(gè)元素,則符合條件的點(diǎn)有（ ）個(gè)．
（A）3 （B）6 （C）7 （D）10
三,解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分．
已知常數(shù),函數(shù)的表達(dá)式為．
（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù).
（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為,求實(shí)數(shù)的值．
18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分．
如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,平面,是的中點(diǎn),,．
（1）證明：平面.
第18題圖
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
19．（本題滿分14分）本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分6分．
某高中舉行了一次知識(shí)競賽．為了了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．將成績進(jìn)行整理后,依次分為五組（,,,,）,其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項(xiàng)．請(qǐng)根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：
（1）求,的值.
（2）從樣本數(shù)據(jù)在,兩個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生,再從這7名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,求選出的兩人恰好來自不同小組的概率.
第19題圖
（3）某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：,已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù),方差,若剔除其中的95和81兩個(gè)分?jǐn)?shù),求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．
20．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分．
已知橢圓,拋物線與有一個(gè)相同的焦點(diǎn)．過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線與,直線與交于點(diǎn),,直線與交于點(diǎn),．
（1）求橢圓的離心率及拋物線的方程.
（2）若直線的傾斜角為,求中點(diǎn)的坐標(biāo).
（3）四邊形的面積是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由．
21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分．
對(duì)于函數(shù)圖像上不同的三點(diǎn),,（其中）,記點(diǎn)處的切線為,若,則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“點(diǎn)”．特別地,當(dāng),則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“和諧點(diǎn)”．
（1）設(shè),是函數(shù)在區(qū)間上的“點(diǎn)”,若,求實(shí)數(shù)的值.
（2）設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)“點(diǎn)”,求所有滿足條件的實(shí)數(shù)的值組成的集合.
（3）設(shè)(),試探究函數(shù)的定義域內(nèi)是否存在一個(gè)包含“和諧點(diǎn)”的區(qū)間,若存在,求出該區(qū)間,若不存在,請(qǐng)說明理由．
答案
一,填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1～6題每題4分,第7～12題每題5分）
1．{-1,2}2．6 3．2 4．
5．1356．7．45°8．52
9．10．17311．312．
二,選擇題（本題共有4題,滿分18分,13,14每題4分,15,16題每題5分）
13．14．15．16．
三,解答題（本大題滿分78分）
17． （1）證明：由,解得, 分
所以的.
任取,則.
因?yàn)?
所以是奇函數(shù)． 分
（2）法一：當(dāng),在上嚴(yán)格增.
所以在上嚴(yán)格增, 分
因此,, 分
即,,所以. 分
法二：,
因?yàn)?令.
又所以在上嚴(yán)格增, 分
因而, 分
所以,. 分
18． 解：（1）取的中點(diǎn),連接.
因?yàn)?所以,因?yàn)榉謩e是中點(diǎn),得出.
所以四邊形是平行四邊形, 分
所以平面,不在平面內(nèi).
所以平面． 分
（2）法一：過點(diǎn)D作DE垂直與AC.
因?yàn)槠矫?平面,所以.
又,平面,平面,.
所以平面,即線段DE為點(diǎn)D到平面的距離,分
在直角三角形ADC中.
AD=1,AC=1,DE=,所以點(diǎn)到平面的距離為．分
法二：因?yàn)槠矫?又PA為三棱錐P-ADC底面ADC上的高.
所以VP-ADC=, 分
設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為的d,VD-PAC=.
因?yàn)閂P-ADC=VD-PAC,所以,.
所以點(diǎn)到平面的距離為． 分
解：（1）由,解得, 分
又,解得, 分
所以,.
（2）按分層抽樣法,兩層應(yīng)分別抽取2人和5人, 分
事件A:“抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”,所以．分
（3）因?yàn)?,所以
.
所以, 分
剔除其中的95和81兩個(gè)數(shù),設(shè)剩余8個(gè)數(shù)為,,,…,.
平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為,.
則剩余8個(gè)數(shù)的平均數(shù)：, 分
方差：
. 分
20． 解：（1）,,所以離心率為, 分
因?yàn)橛医裹c(diǎn),所以拋物線. 分
（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為,所以直線的方程為：, 分
聯(lián)立得,,消去得, 分
設(shè).
因?yàn)?,所以． 分
（3）因?yàn)?與只有1個(gè)交點(diǎn),所以不合題意.
若,則,,,, 分
若設(shè).
聯(lián)立得,,消去得.
.
,.
, 分
,,.
分
,令.
, 分
綜上,四邊形的面積最小值為． 分
解：（1）由題意：, 分
解得：． 分
（2）法一：因?yàn)?,, 所以, 設(shè),, 分
.
化簡得：在 上有且只有3個(gè)解, 分
令,.
則,.
①當(dāng)時(shí),,得（舍）.
②當(dāng)時(shí),設(shè)關(guān)于的方程,有兩個(gè)不同的根,.
由韋達(dá)定理,得,,.
不妨設(shè).
若,則,在內(nèi)有兩解,無解.
若,則,,滿足題意,此時(shí), 分
若,則,在內(nèi)有兩解.
則在內(nèi)有且只有1解,故,此時(shí).
綜上,的值組成的集合為. 分
法二：（2）,,,直線斜率.
由題意方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的解.
= 1 \* GB3 ①在區(qū)間上有3個(gè)不同的解, 分
當(dāng)時(shí),方程*只有一個(gè)解,不滿足題意.
當(dāng)時(shí),設(shè),則 = 2 \* GB3 ②（）
函數(shù)的圖像如右圖.
當(dāng)時(shí),方程 = 2 \* GB3 ②有1個(gè)根,方程 = 1 \* GB3 ①有2個(gè)根.
當(dāng)時(shí),方程 = 2 \* GB3 ②有2個(gè)根,,方程 = 1 \* GB3 ①有3個(gè)根, 分
當(dāng)時(shí),方程 = 2 \* GB3 ②有2個(gè)根,,方程 = 1 \* GB3 ①有4個(gè)根.
當(dāng)時(shí),方程 = 2 \* GB3 ②有2個(gè)根,,方程 = 1 \* GB3 ①有3個(gè)根, 分
當(dāng)時(shí),方程 = 2 \* GB3 ②有1個(gè)根,方程 = 1 \* GB3 ①有2個(gè)根.
綜上,的值組成的集合為.
（3）不存在
,, 分
假設(shè)存在,,,符合題意.
則.
化簡得,, 分
令,.
令.
, 分
因?yàn)樵谏蠂?yán)格增,又,所以.
所以方程在上無解,即函數(shù)在區(qū)間上不存在“和諧點(diǎn)”．
分

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