（滿(mǎn)分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）
（答題請(qǐng)寫(xiě)在答題紙上）
一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．
1．已知全集，集合，則_________．
2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________．
3．已知函數(shù)的表達(dá)式為則的值為_(kāi)________．
4．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的值為_(kāi)________．
5．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________．
6．以為圓心且過(guò)點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________________．
7．已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑為的扇形，則該圓錐的母線(xiàn)與底面所成角的大小為_(kāi)________．
8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)________．
9．在內(nèi)，使成立的的取值范圍是__________．
第10題圖
10．某海濱浴場(chǎng)平面圖是如圖所示的半圓，其中是圓心，直徑為400米，是弧的中點(diǎn)．一個(gè)急救中心在棧橋中點(diǎn)上，計(jì)劃在弧上設(shè)置一個(gè)瞭望臺(tái)，并在間修建浮橋．已知越大，瞭望臺(tái)處的視線(xiàn)范圍越大，則處的視線(xiàn)范圍最大時(shí)，的長(zhǎng)度為 米．（結(jié)果精確到1米）
11．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件：n次中至多有一次正面朝上，若事件A與事件B是獨(dú)立的，則n的值為_(kāi)________．
12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、滿(mǎn)足，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到向量．若，，則的最大值為_(kāi)________．
二、選擇題（本題共有4題，滿(mǎn)分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．
13．函數(shù)是（ ）．
（A）最小正周期為的奇函數(shù)（B）最小正周期為的偶函數(shù)
（C）最小正周期為的奇函數(shù)（D）最小正周期為的偶函數(shù)
14．若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線(xiàn)，其中的一種如圖所示．用過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線(xiàn)的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，為母線(xiàn)的中點(diǎn)，平面與底面的交線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)所成角的余弦值為（ ）．
第15題圖
（A）（B）（C）（D）
16．已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等，且側(cè)棱兩兩垂直．設(shè)為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點(diǎn)、、、的點(diǎn)，記．若集合中有且只有2個(gè)元素，則符合條件的點(diǎn)有（ ）個(gè)．
（A）3 （B）6 （C）7 （D）10
三、解答題（本大題滿(mǎn)分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．
17．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．
已知常數(shù)，函數(shù)的表達(dá)式為．
（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為，求實(shí)數(shù)的值．
18．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．
如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面，是的中點(diǎn)，，．
（1）證明：平面；
第18題圖
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
19．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分4分,第3小題滿(mǎn)分6分．
某高中舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽．為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．將成績(jī)進(jìn)行整理后，依次分為五組（，，，，），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項(xiàng)．請(qǐng)根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問(wèn)題：
（1）求、的值；
（2）從樣本數(shù)據(jù)在，兩個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再?gòu)倪@7名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來(lái)自不同小組的概率；
第19題圖
（3）某老師在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的95和81兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．
20．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分．
已知橢圓，拋物線(xiàn)與有一個(gè)相同的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線(xiàn)與，直線(xiàn)與交于點(diǎn)、，直線(xiàn)與交于點(diǎn)、．
（1）求橢圓的離心率及拋物線(xiàn)的方程；
（2）若直線(xiàn)的傾斜角為，求中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分．
對(duì)于函數(shù)圖像上不同的三點(diǎn)、、（其中），記點(diǎn)處的切線(xiàn)為，若，則稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的“點(diǎn)”．特別地，當(dāng)，則稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的“和諧點(diǎn)”．
（1）設(shè)，是函數(shù)在區(qū)間上的“點(diǎn)”，若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)“點(diǎn)”，求所有滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的值組成的集合；
（3）設(shè)()，試探究函數(shù)的定義域內(nèi)是否存在一個(gè)包含“和諧點(diǎn)”的區(qū)間，若存在，求出該區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案
一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）
1．{-1，2}2．63．24．
5．1356．7．45°8．52
9．10．17311．312．
二、選擇題（本題共有4題，滿(mǎn)分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）
13．14．15．16．
三、解答題（本大題滿(mǎn)分78分）
17． （1）證明：由，解得， 分
所以的，
任取，則，
因?yàn)椋?br>所以是奇函數(shù)． 分
（2）法一：當(dāng)，在上嚴(yán)格增，
所以在上嚴(yán)格增， 分
因此，， 分
即，，所以. 分
法二：，
因?yàn)?，令?br>又所以在上嚴(yán)格增， 分
因而， 分
所以，. 分
18． 解：（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，得出，
所以四邊形是平行四邊形， 分
所以平面，不在平面內(nèi)，
所以平面． 分
（2）法一：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直與AC，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，平面，，
所以平面，即線(xiàn)段DE為點(diǎn)D到平面的距離，分
在直角三角形ADC中，
AD=1，AC=1，DE=，所以點(diǎn)到平面的距離為．分
法二：因?yàn)槠矫妫諴A為三棱錐P-ADC底面ADC上的高，
所以VP-ADC=， 分
設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為的d，VD-PAC=，
因?yàn)閂P-ADC=VD-PAC，所以，，
所以點(diǎn)到平面的距離為． 分
解：（1）由，解得， 分
又，解得， 分
所以，.
（2）按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取2人和5人， 分
事件A:“抽到的兩位同學(xué)來(lái)自不同小組”，所以．分
（3）因?yàn)?，，所?br>，
所以， 分
剔除其中的95和81兩個(gè)數(shù)，設(shè)剩余8個(gè)數(shù)為，，，…，，
平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，
則剩余8個(gè)數(shù)的平均數(shù)：， 分
方差：
. 分
20． 解：（1），，所以離心率為； 分
因?yàn)橛医裹c(diǎn)，所以?huà)佄锞€(xiàn). 分
（2）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以直線(xiàn)的方程為：， 分
聯(lián)立得，，消去得， 分
設(shè)，
因?yàn)?，，所以? 分
（3）因?yàn)?，與只有1個(gè)交點(diǎn)，所以不合題意；
若，則，，，； 分
若設(shè)，
聯(lián)立得，，消去得，
，
，，
， 分
，，，
分
，令，
， 分
綜上，四邊形的面積最小值為． 分
解：（1）由題意：， 分
解得：． 分
（2）法一：因?yàn)?，，?所以， 設(shè)，， 分
，
化簡(jiǎn)得：在 上有且只有3個(gè)解， 分
令，，
則，，
①當(dāng)時(shí)，，得（舍），
②當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的方程，有兩個(gè)不同的根、，
由韋達(dá)定理，得,,,
不妨設(shè)，
若，則，在內(nèi)有兩解，無(wú)解；
若，則，，滿(mǎn)足題意，此時(shí)； 分
若，則，在內(nèi)有兩解，
則在內(nèi)有且只有1解，故，此時(shí)，
綜上，的值組成的集合為. 分
法二：（2），，，直線(xiàn)斜率，
由題意方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的解，
= 1 \* GB3 ①在區(qū)間上有3個(gè)不同的解， 分
當(dāng)時(shí)，方程*只有一個(gè)解，不滿(mǎn)足題意，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 = 2 \* GB3 ②（）
函數(shù)的圖像如右圖，
當(dāng)時(shí)，方程 = 2 \* GB3 ②有1個(gè)根，方程 = 1 \* GB3 ①有2個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，方程 = 2 \* GB3 ②有2個(gè)根，，方程 = 1 \* GB3 ①有3個(gè)根； 分
當(dāng)時(shí)，方程 = 2 \* GB3 ②有2個(gè)根，，方程 = 1 \* GB3 ①有4個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，方程 = 2 \* GB3 ②有2個(gè)根，，方程 = 1 \* GB3 ①有3個(gè)根； 分
當(dāng)時(shí)，方程 = 2 \* GB3 ②有1個(gè)根，方程 = 1 \* GB3 ①有2個(gè)根；
綜上，的值組成的集合為.
（3）不存在
，， 分
假設(shè)存在，，，符合題意，
則，
化簡(jiǎn)得，， 分
令，，
令，
，分
因?yàn)樵谏蠂?yán)格增，又，所以，
所以方程在上無(wú)解，即函數(shù)在區(qū)間上不存在“和諧點(diǎn)”．
分

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