1.在實數(shù)2，0，，，，…每兩個1之間依次多1個中，無理數(shù)的個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
2.下列運算正確的是( )
A. B. C. D.
3.下列命題是假命題的是( )
A. 對頂角相等B. 等角的補角相等
C. 有理數(shù)包含正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)D. 兩點之間，線段最短
4.下列整式的乘法計算中能運用平方差公式計算的是( )
A. B. C. D.
5.已知，求代數(shù)式的值為( )
A. 0B. 4C. 5D.
6.若分解因式的結(jié)果是，則的值為( )
A. 3B. C. 1D.
7.如圖，在中，，AE是經(jīng)過點A的一條線段，且B，C在AE的兩側(cè)，于點D，于點E，若，，則DE的長是( )
A. 5
B.
C. 6
D. 7
8.在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形如圖甲，把余下的部分拼成一個矩形如圖乙，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證等式( )
A. B.
C. D.
9.，，，則x、y、z的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
10.在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進了求和符號“”．如記…；
…，已知，則m的值是( )
A. 40B. C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11.的立方根是______.
12.計算______.
13.已知：a，b，c都是正整數(shù)，且，的最大值為M，最小值為N，則______.
14.若的展開式中不含x的二次項，則m的值是______.
15.若代數(shù)式是一個完全平方式，則______.
16.如圖，在等邊中，點D為線段BC上一點不含端點，AP平分交BC于點E，PC與AD的延長線交于點F，連接EF，且，以下結(jié)論：①；②≌；③連接PB，；④，其中正確的有______請寫序號
三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題8分
計算：
18.本小題8分
分解因式：
；
19.本小題8分
先化簡，再求值，，其中，
20.本小題8分
如圖，已知：點B、F、C、E在一條直線上，，；
求證：
21.本小題8分
已知代數(shù)式，，ab之間存在這樣的等量關(guān)系：
；
根據(jù)這個等量關(guān)系，解決下列問題；
已知，，求ab的值；
已知，求的值.
22.本小題10分
閱讀材料：我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時，有，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.請利用上述結(jié)論解決以下問題：
當(dāng)時，的最小值為______；當(dāng)時，的最大值為______.
當(dāng)時，求的最小值.
如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，、的面積分別為9和16，求四邊形ABCD面積的最小值.
23.本小題10分
小明在學(xué)習(xí)配方法時，將關(guān)于x的多項式配方成，發(fā)現(xiàn)當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式的值是相等的.例如：當(dāng)時，即或時，的值均為6；當(dāng)時，即或時，的值均為
于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于對偶，例如關(guān)于對偶.
請你結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：
多項關(guān)于______對偶；
當(dāng)或時，關(guān)于x的多項的值相等，求b的值；
若整式關(guān)于對偶，求n的值.
24.本小題12分
一般地，n個相同的因數(shù)a相乘…，記為，其中a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)；若已知，易知，若，則該如何表示x？一般地，如果且，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為；故中，
熟悉下列表示法，并填空：
，
，
，
，
，
，
，
______，計算：______；
觀察中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，我們可以發(fā)現(xiàn)______；用對數(shù)表示結(jié)果
于是我們猜想：______且，，請你請根據(jù)冪的運算法則及對數(shù)的含義證明你的結(jié)論；
根據(jù)之前的探究，直接寫出______.
25.本小題14分
如圖1，和都是等邊三角形，且B、C、D三點共線，連結(jié)AD、BE相交于點P，求證：
如圖2，在中，，分別以BC、CD和BD為邊在外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結(jié)AD、BE和CF交于點P，下列結(jié)論中：①；②；③正確的是______只填序號即可；
如圖2，把的條件和正確結(jié)論作為條件，求證：
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：是無理數(shù)；
是無理數(shù)，
2，0，是整數(shù)，屬于有理數(shù)，
…每2個1之間依次多一個是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，
無理數(shù)有，，…每2個1之間依次多一個，共3個．
故選：
根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．
本題主要考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．
2.【答案】B
【解析】解：A、，故選項不符合題意；
B、，故選項符合題意；
C、，故選項不符合題意；
D、，故選項不符合題意；
故選：
根據(jù)合并同類項、冪的乘方與積的乘法和同底數(shù)冪乘法法則求解判斷即可．
本題主要考查了合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘法，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】C
【解析】解：A、對頂角相等，正確，為真命題；
B、等角的補角相等，正確，為真命題；
C、有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0，故錯誤，是假命題；
D、兩點之間，線段最短，正確；
故選
利用對頂角的性質(zhì)、補角的定義、有理數(shù)的定義及基本數(shù)學(xué)事實分別判斷后即可確定正確的選項．
本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解對頂角的性質(zhì)、補角的定義、有理數(shù)的定義及基本數(shù)學(xué)事實，難度不大．
4.【答案】C
【解析】解：沒有相同項，不符合題意；
B.沒有相反項，不符合題意；
C.，符合題意；
D.沒有相同項，不符合題意．
故選：
平方差公式的特點是有一項完全相同，另一項互為相反項，根據(jù)公式的特點即可得到答案．
本題考查了平方差公式，熟記它的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】B
【解析】解：由得：，
則
故選：
由得：，代入所求的代數(shù)式，然后進行化簡即可求解．
本題考查了求代數(shù)式的值，正確記憶完全平方公式是關(guān)鍵．
6.【答案】B
【解析】解：
，
二次三項式可分解為，
，，
，
故選：
先根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算，再根據(jù)已知條件求出m、n的值，最后求出答案即可．
本題考查了多項式乘以多項式法則和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法等．
7.【答案】C
【解析】解：于D，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故選：
先證明≌，再結(jié)合三角形全等性質(zhì)可得
本題考查了直角三角形全等的判定方法；根據(jù)三角形全等，將DE轉(zhuǎn)化為BD和CE的差來解答．利用等角的余角相等是證明全等的關(guān)鍵．
8.【答案】C
【解析】解：圖甲中陰影部分的面積，圖乙中陰影部分的面積，
而兩個圖形中陰影部分的面積相等，
陰影部分的面積
故選：
第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于；第二個圖形陰影部分是一個長是，寬是的長方形，面積是；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．
此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式．
9.【答案】A
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：
提取公因數(shù)求出x，將寫成，再利用平方差公式進行計算，根據(jù)完全平方公式求出z，然后比較大小即可．
本題考查了平方差公式，完全平方公式和實數(shù)的大小比較，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方，本題難點在于對z的整理．
10.【答案】B
【解析】【分析】
此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
利用題中的新定義計算即可得到m的值．
【解答】
解：，
整理得：，
則
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了立方根的定義，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)立方根的定義進行選擇即可．
【解答】
解：，
的立方根是，
故答案為
12.【答案】
【解析】解：原式，
故答案為：
原式利用多項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果．
此題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
13.【答案】3702
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，b，c都是正整數(shù)，
或或或，
，，或，，或，，或，，，
或，
即abc的最大值為2022，最小值為1680，即，，
，
故答案為：
由已知條件整理出，再利用因式分解法轉(zhuǎn)化為求的正整數(shù)解，據(jù)此得到或或或，據(jù)此解得a的值，最后代入計算即可．
本題考查因式分解法、二元一次方程組的整數(shù)解等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
14.【答案】
【解析】解：原式
，
結(jié)果中不含x的二次項，
，
解得：，
故答案為：
根據(jù)多項式乘多項式的運算法則進行計算，然后再根據(jù)其展開式中不含x的二次項，及x的二次項系數(shù)之和為0，列方程求解．
本題考查多項式乘多項式，理解多項式乘多項式的運算法則以及結(jié)果中不含x的二次項即二次項系數(shù)和為0是解題關(guān)鍵．
15.【答案】或10
【解析】【分析】
此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出k的值．
【解答】
解：代數(shù)式是一個完全平方式，
或
故答案為或
16.【答案】①③④
【解析】解：，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，；
故①正確；
是等邊三角形，
，
，
，
與不全等，
故②不正確；
是等邊三角形，
，，
，
，
是等腰三角形，
設(shè)，則，
在中，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故③正確；
延長CP至點M，使，連接BM、BP，如圖：
≌，
，，
，，
是等邊三角形，
，，
在和中，
，
≌，
故④正確．
故答案為：①③④．
由已知證出，，證明≌，即可得出，可判斷①；
證出，則可判斷②；
由等邊三角形的性質(zhì)得出，，證出，是等腰三角形，設(shè)，則，求出，由三角形的外角性質(zhì)得出，求出，證明≌，得出，可判斷③；
延長CP至點M，使，連接BM、BP，證出是等邊三角形，得出，，再證明≌，即可得出結(jié)論④．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：

【解析】根據(jù)乘方、算術(shù)平方根以及立方根的定義進行計算即可．
本題考查了實數(shù)的運算，掌握實數(shù)的運算法則是關(guān)鍵．
18.【答案】解：
；

【解析】先分解因式，再提取公因式即可；
先根據(jù)平方差公式分解因式，再求出答案即可．
本題考查了用公式法分解因式，能熟記因式分解的方法是解此題的關(guān)鍵，注意：
19.【答案】解：原式
，
當(dāng)，時，
原式
【解析】將原式中的第一項利用完全平方公式進行化簡，第二項利用平方差公式進行化簡，第三項利用多項式除以單項式的法則計算，最后去括號后合并同類項即可得到最簡結(jié)果，再將a和b的代入計算即可求值．
本題考查了整式的混合運算-化簡求值，涉及到的知識點有：完全平方公式，平方差公式，多項式除以單項式，零指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)公式及對應(yīng)法則是解本題的關(guān)鍵．
20.【答案】證明：，
，即
又，
，
在與中，
，
≌，
，

【解析】欲證明，只需證得由≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知該結(jié)論即可．
本題主要考查全等三角形判斷與性質(zhì)、兩直線平行的判斷與性質(zhì)．
21.【答案】解：，，，
，
；
設(shè)，則，，
，
，
，
，
即的值為
【解析】將已知代入完全平方公式，即可解得答案；
設(shè)，代入已知可得，即得的值為
本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，能熟練運用換元法解決問題．
22.【答案】2
【解析】解：當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
，
，即
故答案為：2；；
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，y的最小值15；
設(shè)，
，，
由等高三角形可得：：：，
：：，
，
四邊形ABCD的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即四邊形ABCD面積的最小值為
當(dāng)時，直接根據(jù)公式計算即可；當(dāng)時，先將變形為，再根據(jù)公式計算即可；
將原式的分子分別除以分母，變形為可利用公式計算的形式，計算即可；
根據(jù)等高三角形的性質(zhì)計算即可．
本題屬于四邊形綜合題，主要考查了配方法在二次根式、分式及四邊形面積計算中的應(yīng)用與拓展，讀懂閱讀材料中的方法并正確運用是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】
【解析】解：，
則多項式關(guān)于對偶．
故答案為：；
，
依題意，得互為相反數(shù)，即，
；
該整式關(guān)于對偶．
對多項式進行配方，根據(jù)新定義判斷即可；
求出的對偶，令對偶即可；
對多項式進行配方，根據(jù)新定義判定即可．
本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗検竭M行配方，根據(jù)新定義判斷出對稱軸是解題的關(guān)鍵．
24.【答案】4 5
【解析】解：，
，
，
，
故答案為：4，5；
由可得，，
故答案為：；
，
證明：設(shè)，，則，，
，
即，
，
；
，
證明：設(shè)，，則，，
，
即，
，
根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的定義進行解答即可；
由中結(jié)果可得答案；
利用“指數(shù)”和“對數(shù)”的定義，以及同底數(shù)冪的乘法進行計算即可；
利用中的方法以及同底數(shù)冪的除法進行計算即可．
本題考查同底數(shù)冪的乘除法，掌握同底數(shù)冪的乘除法的計算法則以及指數(shù)與對數(shù)的定義是正確解答的前提．
25.【答案】①②③

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