一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1. 下列函數(shù)中，y是關(guān)于x的反比例函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；
B、正比例函數(shù)，不符合題意；
C、不是反比例函數(shù)，不符合題意；
D、是反比例函數(shù)，符合題意；
故選D．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，方程不是一元二次方程，不符合題意；
B、是一元二次方程，符合題意；
C、方程化簡(jiǎn)后不含未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
D、方程化簡(jiǎn)后不含有2次項(xiàng)，不是一元二次方程，不符合題意；
故選B．
3. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：若，則，
A．由，可得，故本選項(xiàng)符合題意；
B．由，可得，故本選項(xiàng)不合題意；
C．由，可得，故本選項(xiàng)不合題意；
D．由，可得，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
4. 如圖，點(diǎn)時(shí)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線段，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積是4，那么反比例函數(shù)的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，函數(shù)的圖象在第二象限，
，
∵矩形面積是4可知，
∴反比例函數(shù)的解析式為：．
故選：D．
5. 關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m滿足（ ）
A. B. C. D. m任意實(shí)數(shù)
【答案】A
【解析】解：是關(guān)于x的一元二次方程，
，
，
，
故選：A．
6. 用配方法解方程:，下列配方正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到，
方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到，
配方得．
故選：A．
7. 如圖，在中，點(diǎn)，，分別在，，邊上，，，則下列式子一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案為：B．
8. 如圖，在中，，若，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴．
故選：D．
9. 已知，點(diǎn)D、E、F分別為的三邊、、的中點(diǎn)，連接、、，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵點(diǎn)D、E、F分別為的三邊、、的中點(diǎn)，
∴，，，，，，故A不符合題意；
∴，故B不符合題意；
∵，，，
∴四邊形，四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∴，故D不符合題意；
若，則，
∵點(diǎn)D、E分別為的三邊、的中點(diǎn)，
∴，與題干條件矛盾，故C符合題意；
故選：C
10. 不論a，b為何實(shí)數(shù)，的值（ ）
A. 總是正數(shù)B. 總是負(fù)數(shù)
C. 可以是零D. 可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)
【答案】A
【解析】解：
；
∵，
∴a2+b2-2a-4b+7=a-12+b-22+2>0，
即：的值總是正數(shù)；
故選A．
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）
11. 已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為______．
【答案】
【解析】解：設(shè)函數(shù)解析式為，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴；
∴；
故答案為：．
12. 一元二次方程的解是__．
【答案】x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案為x1＝3，x2＝﹣3．
13. 已知一元二次方程x2+px+3=0的一個(gè)根為-3，則p=________．
【答案】4
【解析】方程的解：x=-3是該方程的解，所以，當(dāng)x=-3代入方程可以得到，9-3p+3=0
故p=4.
14. 如圖，，，，，則DE＝______．
【答案】
【解析】解：，，
，
，即，
解得，，
故答案為：．
15. 校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)（），如果AB的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度為_________．
【答案】
【解析】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)，，
∴，
∵AB的長(zhǎng)度為，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 若點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，則______（填、或）．
【答案】
【解析】解：反比例函數(shù)中，
該函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，且在二、四象限中均有隨著的增大而增大，
，，
．
故答案為：．
17. 我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形的邊表示井的直徑，在的延長(zhǎng)線上，尺，尺，交于尺，根據(jù)以上條件，可求得井深為______尺．
【答案】
【解析】解：依題意有，
∴，
即，
解得，
∴（尺）．
故答案為：．
18. 對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（，，，為常數(shù)），下列說法：
①方程的解為；
②若，則方程必有一根為x=-1；
③若，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根為；
④若，則方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
⑤若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
正確的結(jié)論是________．
【答案】②③④
【解析】①對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)），
當(dāng)△=b2-4ac＜0時(shí)，方程無解；
當(dāng)△=b2-4ac≥0時(shí)，方程的解為，故原說法錯(cuò)誤；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，ax2+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1為方程ax2+bx+c=0的一根，故原說法正確；
③∵b=2a+ c，
∴4a-2b+c=0，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，ax2+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根為x=-2，故原說法正確；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b2-4ac＞0，
∴方程cx2+bx+a=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故原說法正確；
⑤當(dāng)c≠0時(shí)，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，則方程cx2+bx+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)c=0時(shí)，b=0，方程cx2+bx+a=0不可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故原說法錯(cuò)誤．
故答案是：②③④．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每小題10分，共66分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）
或；
∴，；
（2）
或；
∴，．
20. 如圖，已知，求證：．
解：證明：∵，
∴，
即，
∵，
∴．
21. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接回答：在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？
解：（1）∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．
22. 已知某蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過3A，那么用電器可變電阻應(yīng)控制在什么范圍？
解：（1）電流I是電阻R的反比例函數(shù)，設(shè)I=，
∵圖象經(jīng)過（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
（2）∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用電器可變電阻應(yīng)控制在12Ω以上的范圍內(nèi)．
23. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）根據(jù)題意得，
解得，；
（2）根據(jù)題意得，，
∵，
∴，即，
∴，整理得，
∴，且
解得，，（不符合題意，舍去），
∴．
24. 某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價(jià)不得低于成本．
（1）當(dāng)銷售單價(jià)為90元時(shí)，每月的銷售量為 件．
（2）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量取值范圍）
（3）若使該商品每月的銷售利潤(rùn)為4000元，并使顧客獲得更多的實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
解：（1）當(dāng)銷售單價(jià)為90元時(shí)，每月的銷售量為：50+10×=100（件），
故答案為：100；
（2）依題意得：，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=－5x+550；
（3）依題意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70＜90，
∴當(dāng)該商品每月銷售利潤(rùn)為4000，為使顧客獲得更多實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元．
25. 如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)時(shí)間為t（單位：）．
（1）求的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）若的面積是面積的，求t的值；
（3）的面積能否為面積的一半？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
解：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，，
∴，
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，
∴，
∴；
（2）根據(jù)題意得：，
即，
整理得：，
解得：．
答：的值為2；
（3）的面積不可能是面積的一半，理由如下：
根據(jù)題意得：，
即，
整理得：，
，
該方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴的面積不可能是面積的一半．
26. 猜想歸納：為了建設(shè)經(jīng)濟(jì)型節(jié)約型社會(huì)，“先鋒”材料廠把一批三角形廢料重新利用，因此工人師傅需要把它們截成不同大小的正方形鐵片．(已知：，，)
(1)如圖①，若截取的內(nèi)接正方形，請(qǐng)你求出此正方形的邊長(zhǎng)；
(2)如圖②，若在內(nèi)并排截取兩個(gè)相同的正方形(它們組成的矩形內(nèi)接于)，請(qǐng)你求此正方形的邊長(zhǎng)；
(3)如圖③，若在內(nèi)并排截取三個(gè)相同的正方形(它們組成的矩形內(nèi)接于)，請(qǐng)你求此正方形的邊長(zhǎng)；
(4)猜想：如圖④，假設(shè)在內(nèi)并排截取n個(gè)相同的正方形，使它們組成的矩形內(nèi)接于，則此正方形的邊長(zhǎng)是多少？
解：（1）在圖1中作的高交于M．在中，
∵
∴．
由，得：，
∴．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，解得：．
即正方形的邊長(zhǎng)為．
（2）方法同（1），如圖2．，則．
設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則，解得：．
即小正方形的邊長(zhǎng)為．
（3）在圖3中，作，交于點(diǎn)，交AB于點(diǎn)．
由，得：，
∴．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，解得：．
即正方形的邊長(zhǎng)為．
（4）設(shè)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x，同理得到：
則=，則，
∴每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為．

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