四川省內(nèi)江市高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)

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注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號、班級用簽字筆填寫在答題卡相應(yīng)位置．
2．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．不能答在試題卷上．
3．非選擇題用簽字筆將答案直接答在答題卡相應(yīng)位置上．
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡收回．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的定義分析判斷.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
可得，
所以的共軛復(fù)數(shù)為.
故選：A.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合、，再利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，.
故選：D.
3. 已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直可得，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，即，
又因?yàn)椋?，則，解得.
故選：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義研究條件的充分性和必要性.
【詳解】若，假設(shè)，則由可知，矛盾，所以，這表明條件是必要的；
對，有，，這表明條件不是充分的.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5. 已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為次品的概率為，一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】記事件抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個(gè)產(chǎn)品被判為合格品，利用全概率公式可求得的值.
【詳解】記事件抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個(gè)產(chǎn)品被判為合格品，
則，，，
由全概率公式可得.
所以，任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為.
故選：B.
6. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若、，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可求出的值，代值計(jì)算可得出的值.
【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，
所以，，
因?yàn)椋液瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，
所以，，解得，
又因?yàn)?，所以，，則，
因?yàn)?，可得?br>所以，，
因?yàn)?、，則，，
因?yàn)?，則，所以，，
故.
故選：C.
7. 年月日是第個(gè)植樹節(jié)，為加快建設(shè)美麗內(nèi)江、筑牢長江上游生態(tài)屏障貢獻(xiàn)力量，我市積極組織全民義務(wù)植樹活動(dòng)．現(xiàn)有一學(xué)校申領(lǐng)到若干包樹苗（每包樹苗數(shù)相同），該校個(gè)志愿小組依次領(lǐng)取這批樹苗開展植樹活動(dòng)．已知第組領(lǐng)取所有樹苗的一半又加半包，第組領(lǐng)取所剩樹苗的一半又加半包，第組也領(lǐng)取所剩樹苗的一半又加半包．以此類推，第組也領(lǐng)取所剩樹苗的一半又加半包，此時(shí)剛好領(lǐng)完所有樹苗．請問該校共申領(lǐng)了樹苗多少包？（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)原有樹苗有包，求出第組到第組所領(lǐng)取樹苗的包數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【詳解】設(shè)原有樹苗有包，第組領(lǐng)取包，
第組領(lǐng)取包，
第組領(lǐng)取包，
，
以此類推可知，第組領(lǐng)取包，
由題意可得，
即，解得.
故選：B
8. 已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合得出，計(jì)算得出，，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的值域，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>，
由題意可知，、為方程的兩根，
由可得，令，其中，
由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為0,+∞，
故，
且當(dāng)時(shí)，gx0，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
且，由題意可得，
所以，，
，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則，即，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于確定、的取值范圍，再結(jié)合極值點(diǎn)所滿足的條件消去參數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求值域的問題.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為”，其中，則下列論述正確的是（ ）
A.
B. 若“點(diǎn)數(shù)大于”，則
C. 若連續(xù)拋擲骰子次，記“點(diǎn)數(shù)之和為”，則
D. 若重復(fù)拋擲骰子，則事件發(fā)生的頻率等于事件發(fā)生的概率
【答案】AC
【解析】
【分析】分析可知，，可判斷A選項(xiàng)；利用對立事件的概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用古典概型的概率公式可判斷C選項(xiàng)；利用頻率與概率的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，，則，A對；
對于B選項(xiàng)，若“點(diǎn)數(shù)大于”，則，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，若連續(xù)拋擲骰子次，記“點(diǎn)數(shù)之和為”，
基本事件總數(shù)為，若拋擲骰子，第一次向上的點(diǎn)數(shù)為，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為，
以作為一個(gè)基本事件，則事件包含的基本事件有：、、，共個(gè)基本事件，
由古典概型的概率公式可得，C對；
對于D選項(xiàng)，若重復(fù)拋擲骰子，則事件發(fā)生的頻率在事件發(fā)生的概率值附近波動(dòng)，D錯(cuò).
故選：AC.
10. 已知，則下列不等關(guān)系正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用正切函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，因，則，
所以，，故，A對；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，，即，B對；
對于C選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，
即，即，故，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，，D錯(cuò).
故選：ABC.
11. 給定函數(shù)，．分別用、表示、中的最小者、最大者，記為,．下列說法正確的是（ ）
A.
B. 當(dāng)直線與曲線有三個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)
D. 函數(shù)的值域?yàn)?br>【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函數(shù)、的解析式，可判斷A選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；求出切線方程，將切線方程與函數(shù)的解析式聯(lián)立，求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷C選項(xiàng)；化簡函數(shù)的解析式，并求其值域，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)、的定義域均為，且，
所以，，
，
對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，A對；
對于B選項(xiàng)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)?，則，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即，
當(dāng)時(shí)，由，
整理可得，可得（舍去），
當(dāng)時(shí)，由可得，
解得或（舍去），
綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，C對；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋珼對.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出通項(xiàng)，然后令的指數(shù)為零即可．
【詳解】解：由題意得：，
令得，
故常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：．
13. 在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)在邊上，，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為______．
【答案】
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，即可得解.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)在邊上，，
則、、、，則，，
所以，.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)（，且）的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，且在上單調(diào)遞增，請寫出一個(gè)滿足條件的的解析式______．
【答案】（答案不唯一，滿足且均可）
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析可知，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域可得，即可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
且在R上單調(diào)遞減，
可知在0,+∞上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
若在0,+∞上單調(diào)遞增，則，
可得，
若函數(shù)圖象無限接近直線但又不與該直線相交，可知，
綜上所述：且.
例如，可得.
故答案為：（答案不唯一，滿足且均可）.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，，，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足．
（1）求；
（2）若，求周長的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解即可；
（2）利用余弦定理可得，再結(jié)合不等式可得，即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
且，即，
又因?yàn)?，則，
可得，即，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理可得：，
即，可得，
又因?yàn)椋傻?，即?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以周長的最大值為.
16. 已知數(shù)列、滿足，，，，其中、、．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可得對任意，，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由題意得出，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法可求得.
【小問1詳解】
由題意可知，對任意的，，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
上述兩個(gè)等式作差可得，可得，
也滿足，故對任意的，.
【小問2詳解】
由題意可知，，所以，.
所以，，
所以，.
17. 已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．
【答案】（1）答案見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調(diào)性；
（2）由題意可得：，分和兩種情況，結(jié)合（1）中單調(diào)性分析求解即可.
【小問1詳解】
由題意可知：的定義域?yàn)?，且?br>若，則f′x