中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題01 二次函數(shù)壓軸題-線段周長(zhǎng)面積最大值（知識(shí)解讀）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

從近幾年的各地中考試卷來看，求線段、周長(zhǎng)面積的最大問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數(shù)相結(jié)合。這個(gè)專題為同學(xué)們介紹解題方法，供同學(xué)們參考。
【方法點(diǎn)撥】
考點(diǎn)1：線段、周長(zhǎng)最大問題
考點(diǎn)2 ：面積最大問題
（1）鉛錘法
（1）求 A、B 兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；
（2）過點(diǎn) C 作 x 軸垂線與 AB 交于點(diǎn) D，可得點(diǎn) D 橫坐標(biāo)同點(diǎn) C；
（3）求直線 AB 解析式并代入點(diǎn) D 橫坐標(biāo)，得點(diǎn) D 縱坐標(biāo)；
（4）根據(jù) C、D 坐標(biāo)求得鉛垂高
（5）
（2）面積方法
如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．
如圖1 如圖2 如圖3
（3）利用相似性質(zhì)
利用相似圖形，面積比等于相似比的平方。
【典例分析】
【考點(diǎn)1 線段最大值問題】
【典例1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，A（﹣2，0），a+b＝，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在頂點(diǎn)和B點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不包括頂點(diǎn)和B點(diǎn)），ME∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段ME的最大值；
【變式1-1】（2022春?豐城市校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；
【變式1-2】（2021?柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在軸y上．
（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．
①求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②線段PE的長(zhǎng)h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)的x值；若不存在，請(qǐng)說明理由？
【典例2】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對(duì)稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．求線段PN的最大值；
【變式2】（2022?廣元）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．
【考點(diǎn)2 周長(zhǎng)最大值問題】
【典例3】（2022春?衡陽期中）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)E在線段AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)D，作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)M，求△DEM的周長(zhǎng)的最大值；
【變式3】（2022春?北碚區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)D（3，﹣4）．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）點(diǎn)G為拋物線上一點(diǎn)，且在線段BC上方，過點(diǎn)G作GH∥y軸交BC于H，交x軸于點(diǎn)N，作GM⊥BC于點(diǎn)M，求△GHM周長(zhǎng)的最大值；
【考點(diǎn)3 面積最大值問題】
【典例4】（2021秋?龍江縣校級(jí)期末）綜合與探究
如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；
（2）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使AP+PC的值最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）；
（3）點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．
【變式4-1】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【變式4-2】（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B（3，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CBE的面積的最大值；
【典例5】（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線l，沿x軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點(diǎn)P，D，E．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值．
【變式5】（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
專題01 線段周長(zhǎng)面積最大值（知識(shí)解讀）
【專題說明】
從近幾年的各地中考試卷來看，求線段、周長(zhǎng)面積的最大問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數(shù)相結(jié)合。這個(gè)專題為同學(xué)們介紹解題方法，供同學(xué)們參考。
【方法點(diǎn)撥】
考點(diǎn)1：線段、周長(zhǎng)最大問題
考點(diǎn)2 ：面積最大問題
（1）鉛錘法
（1）求 A、B 兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；
（2）過點(diǎn) C 作 x 軸垂線與 AB 交于點(diǎn) D，可得點(diǎn) D 橫坐標(biāo)同點(diǎn) C；
（3）求直線 AB 解析式并代入點(diǎn) D 橫坐標(biāo)，得點(diǎn) D 縱坐標(biāo)；
（4）根據(jù) C、D 坐標(biāo)求得鉛垂高
（5）
（2）面積方法
如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．
如圖1 如圖2 如圖3
（3）利用相似性質(zhì)
利用相似圖形，面積比等于相似比的平方。
【典例分析】
【考點(diǎn)1 線段最大值問題】
【典例1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，A（﹣2，0），a+b＝，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在頂點(diǎn)和B點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不包括頂點(diǎn)和B點(diǎn)），ME∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段ME的最大值；
【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝4a﹣2b+4，
則，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+4；
（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4或﹣2，
故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，
故直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+4，
設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+x+4），則點(diǎn)E（x，﹣x+4），
則ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，
∵，故ME有最大值，當(dāng)x＝2時(shí)，ME的最大值為2；
【變式1-1】（2022春?豐城市校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；
【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
當(dāng)n＝時(shí)，PM最大＝，
∴線段PM的最大值；
【變式1-2】（2021?柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在軸y上．
（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．
①求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②線段PE的長(zhǎng)h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)的x值；若不存在，請(qǐng)說明理由？
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（3，4）在直線y＝x+m上，
∴4＝3+m．
∴m＝1．
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a（x﹣1）2．
∵點(diǎn)A（3，4）在二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2的圖象上，
∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝（x﹣1）2．
即y＝x2﹣2x+1．
（2）①設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yP和yE．
∴PE＝h＝y(tǒng)P﹣yE
＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）
＝﹣x2+3x．
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．
②存在．∵h(yuǎn)＝﹣（x﹣）2+，
又∵a＝﹣1＜0，
∴x＝時(shí)，h的值最大，最大值為．
【典例2】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對(duì)稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．求線段PN的最大值；
【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x＝1，點(diǎn)B與A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴B（3，0），
設(shè)y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
故拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵PQ⊥x軸，
∴PQ∥y軸，
∴∠PQN＝∠BCO＝45°，
∵PN⊥BC，
∴PN＝PQ?sin∠PQN＝（﹣t2+3t）?sin45°＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴當(dāng)t＝時(shí)，PN的最大值為；
【變式2】（2022?廣元）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．
【解答】解：（1）直線y＝﹣x﹣2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
將A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如圖2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，
設(shè)Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，QD有最大值是，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）時(shí)，QD有最大值是．
【考點(diǎn)2 周長(zhǎng)最大值問題】
【典例3】（2022春?衡陽期中）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)E在線段AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)D，作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)M，求△DEM的周長(zhǎng)的最大值；
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（4，0），B（0，3）．
∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴，
解得．
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+x+3．
（2）∵A（4，0），B（0，3）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5．
∵ED⊥AB，
∴∠EDM＝∠AOB＝90°，
∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，
∴∠DEM＝∠BAO，
∴△AOB∽△EDM，
∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，
設(shè)E的橫坐標(biāo)為t，則E（t，﹣t2+t+3），
∴M（t，﹣t+3），
∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．
∴△DEM的周長(zhǎng)為：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△DEM的周長(zhǎng)的最大值為．
【變式3】（2022春?北碚區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)D（3，﹣4）．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）點(diǎn)G為拋物線上一點(diǎn)，且在線段BC上方，過點(diǎn)G作GH∥y軸交BC于H，交x軸于點(diǎn)N，作GM⊥BC于點(diǎn)M，求△GHM周長(zhǎng)的最大值；
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，
∴A（﹣1，0）；
將A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入拋物線C1：y＝ax2+bx+2，
∴，解得，
∴拋物線C1：y＝﹣x2+x+2．
（2）由（1）知拋物線C1：y＝﹣x2+x+2．
令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0）；
令x＝0，則y＝2，
∴C（0，2）．
∴OB＝OC＝2，直線BC的解析式為：y＝﹣x+2；
∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；
∵GH∥y軸，
∴∠GNB＝90°，
∴∠BHN＝45°，
∵GM⊥BC，
∴∠GMH＝90°，
∵∠MGH＝∠GHM＝45°，
∴GM＝MH＝GH；
設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為t，則G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），
∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝1時(shí)，GH有最大值1；
∵△GHM的周長(zhǎng)為：GM+MH+GH＝（+1）GH，
∴△GHM周長(zhǎng)的最大值為+1．
【考點(diǎn)3 面積最大值問題】
【典例4】（2021秋?龍江縣校級(jí)期末）綜合與探究
如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；
（2）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使AP+PC的值最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）；
（3）點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4），
設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；
（2）如圖1中，
由題意A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝對(duì)稱，
連接BC交直線x＝于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)PA+PC的值最小，最小值為線段BC的長(zhǎng)＝＝4，
∵直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
∴x＝時(shí)，y＝﹣+4＝，
∴此時(shí)P（，）．
故答案為：（，）；
（3）設(shè)Q（m，﹣m2+3m+4）過Q作QD⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，則D（m，﹣m+4），
∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
，
當(dāng)m＝2時(shí)，S△BCQ取最大值，最大值為8，
∴△BCQ面積的最大值為8；
【變式4-1】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，﹣3），
將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，
∴當(dāng)S△PBC面積最大時(shí)，S四邊形PCAB的面積最大，
設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，
設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），
∴當(dāng)PQ最大時(shí)，S△PBC面積最大，
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
當(dāng)t＝時(shí)，PQ取最大值，
∴P（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝4，
∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；
【變式4-2】（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B（3，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CBE的面積的最大值；
【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）連接CE、BE，經(jīng)過點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線BC的解解析式為y＝x﹣3，
設(shè)點(diǎn)F（x，x﹣3），點(diǎn)E（x，x2﹣2x﹣3），
∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF?OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，
∴當(dāng)x＝時(shí)，S△CBE有最大值，最大值是，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；
【典例5】（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線l，沿x軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點(diǎn)P，D，E．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8 （2）
【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+8；
（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y軸，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽R(shí)t△BCO，
∴，
∴S△PDF＝?S△BOC，
而S△BOC＝OB?OC＝＝16，BC＝＝4，
∴S△PDF＝?S△BOC＝PD2，
即當(dāng)PD取得最大值時(shí)，S△PDF最大，
將B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣2x+8，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+8），則點(diǎn)D（m，﹣2m+8），
則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
當(dāng)m＝2時(shí)，PD的最大值為4，
故當(dāng)PD＝4時(shí)，
∴S△PDF＝PD2＝
【變式5】（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，
設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA?CF﹣PA?QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴當(dāng)m＝﹣1時(shí) S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面積的最大值為2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．

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