
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義,逐一判斷即可.
【詳解】∵一元二次方程:等式兩邊都是等式,只含一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是(二次)的方程,
∴A、屬于一元二次方程,符合題意;
B、不是等式方程,不符合題意;
C、含有個(gè)未知數(shù),不是一元二次方程,不符合題意;
D、,當(dāng)時(shí),不是一元二次方程,不符合題意;
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義,學(xué)會(huì)識(shí)別一元二次方程.
2. 一元二次方程x2-x-3=0的一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)分別是( )
A. 1,3B. -1,3C. -1,-3D. 1,-3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式:(a,b,c是常數(shù)且a≠0)中,叫二次項(xiàng),叫一次項(xiàng),c是常數(shù)項(xiàng).其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng),直接進(jìn)行求解即可.
【詳解】解:一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是-1,-3.
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式,解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程一般形式及相關(guān)概念.
3. 已知是一元二次方程的兩根,那么的值為( )
A. 5B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程,根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個(gè)根,,滿足,.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可.
【詳解】解:∵是一元二次方程的兩根,且,,,
∴.
故選:A.
4. 拋物線,,,的圖象開(kāi)口最大的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)中值越小,函數(shù)圖象的開(kāi)口越大進(jìn)行求解.
【詳解】解:∵二次函數(shù)中的值越小,函數(shù)圖象的開(kāi)口越大,且,
∴拋物線的圖象開(kāi)口最大,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象的特點(diǎn),知道的值越小,函數(shù)圖象開(kāi)口越大.
5. 將方程配方后,所得到的結(jié)果正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移項(xiàng),再在方程的兩邊都加上,進(jìn)行配方,從而可得答案.
【詳解】解:
移項(xiàng)得:
配方得:
故選:A
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用配方法解一元二次方程,掌握配方法的步驟與方法是解題的關(guān)鍵.
6. 已知拋物線與x軸的公共點(diǎn)是,則這條拋物線的對(duì)稱軸是直線( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得,即可求得拋物線的對(duì)稱軸.
【詳解】∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為,
∴把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,得,
兩式相減得,
則此拋物線的對(duì)稱軸是直線,即為直線.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了由拋物線上對(duì)稱的兩點(diǎn)求拋物線的對(duì)稱軸,把兩點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式中求得a與b的關(guān)系是關(guān)鍵.
7. 二次函數(shù)有( )
A. 最大值5B. 最小值5C. 最大值-3D. 最小值-3
【答案】A
【解析】
【分析】先把二次函數(shù)配方變?yōu)轫旤c(diǎn)式,由于,該拋物線的開(kāi)口方向向下,且頂點(diǎn)坐標(biāo)是即可.
【詳解】解:.由于,
所以該拋物線的開(kāi)口方向向下,且頂點(diǎn)坐標(biāo)是.
所以該拋物線有最大值,且最大值是5.
故選擇:A.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質(zhì).會(huì)用配方法把拋物線變?yōu)轫旤c(diǎn)式就出最大值是解題關(guān)鍵.
8. 如果關(guān)于的一元二次方程方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,那么的取值范圍是( )
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù).一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則;有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則;沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則.據(jù)此即可求解.
【詳解】解:由題意得:且,
解得:且
故選:C
9. 對(duì)于二次函數(shù)的圖象,下列說(shuō)法正確的是( )
A. 圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是B. 對(duì)稱軸是直線
C. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為D. 當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)由得到圖象開(kāi)口向下,當(dāng)時(shí),可求圖像與y軸的交點(diǎn),根據(jù)頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為直線,從而可判斷拋物線增減性.
【詳解】解:對(duì)于二次函數(shù)的圖象,
當(dāng)時(shí),,圖像與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為,A選項(xiàng)說(shuō)法不正確;
拋物線對(duì)稱軸直線,B選項(xiàng)說(shuō)法不正確;
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為,C選項(xiàng)說(shuō)法不正確;
∵,
∴圖像開(kāi)口向下,
當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大,D選項(xiàng)說(shuō)法正確.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合思想.
10. 如圖,是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形,設(shè)圖中,連接,若與的面積相等,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程,弦圖的計(jì)算;根據(jù)題意得出,即,解方程得出(負(fù)值舍去),再求出的值即可.
【詳解】解:∵圖中,,
∴
∵與的面積相等,
∴
∴
∴
∴
∴
解得:(負(fù)值舍去),
∴,
故選:B.
二、填空題(每小題3分,共15分)
11. 一元二次方程的解為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可.
【詳解】解:∵,
∴,
∴,
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程,熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵.
12. 將拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,所得拋物線為_(kāi)_____
【答案】y=3(x+2)2﹣1
【解析】
【詳解】解:拋物線y=3x2的圖象向左平移2個(gè)單位所得函數(shù)圖象的關(guān)系式是:y=3(x+2)2;拋物線y=3(x+2)2的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)圖象的關(guān)系式是:y=3(x+2)2﹣1,
故答案為y=3(x+2)2﹣1.
13. 已知二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn),且,則和的大小關(guān)系是_______.
【答案】
【解析】
【分析】先判斷二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線 可得在對(duì)稱軸的左側(cè)即 隨x的增大而減小,從而可得答案.
【詳解】解:∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線
∴在對(duì)稱軸的左側(cè)即 隨x的增大而減小,
∵,
∴
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì),利用二次函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大小是解本題的關(guān)鍵.
14. 學(xué)校要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)),計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽,應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽?列方程為:____________
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確建立方程是解題關(guān)鍵.設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽,則總共需安排場(chǎng)比賽,根據(jù)計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽建立方程,解方程即可得.
【詳解】解:設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽,則總共需安排場(chǎng)比賽,
由題意得:,
故選:.
15. 如圖,在中,,,,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)C以的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿向點(diǎn)B以的速度運(yùn)到(點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,四邊形的面積最小值為 _______.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值,勾股定理.利用分割圖形求面積法找出是解題的關(guān)鍵.在中,利用勾股定理可得,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則,,利用分割圖形求面積法可得,利用配方法即可求出四邊形的面積最小值.
【詳解】解:在中,,,,
,
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間,則,,
當(dāng)時(shí),四邊形的面積取最小值,最小值為.
故答案為:15.
三、解答題(一)(每小題6分,共24分)
16. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?br>(1);
(2).
【答案】(1),
(2),
【解析】
【分析】(1)運(yùn)用公式法進(jìn)行求解即可;
(2)運(yùn)用因式分解法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
解:,
∵,
∴,
∴,
∴,;
【小問(wèn)2詳解】
,
移項(xiàng)得:,
因式分解得:,
∴或,
∴,.
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,熟練掌握一元二次方程的幾種解法是解本題的關(guān)鍵.
17. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?br>(1)
(2)
【答案】(1)
(2)無(wú)實(shí)數(shù)根
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程,熟練掌握解一元二次方程的方法,是解題的關(guān)鍵:
(1)因式分解法解方程即可;
(2)公式法解方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
解:
或
∴;
【小問(wèn)2詳解】
,
∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
18. 已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)若方程有一個(gè)根是,求的值;
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判別式,熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)一元二次方程的根的定義把代入中進(jìn)行求解即可;
(2)根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
解:把代入,
得:,
解得:;
【小問(wèn)2詳解】
解:∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴,
解得:.
19. 某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是91,每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支?
【答案】9.
【解析】
【分析】設(shè)每個(gè)支干分出x個(gè)小分支,根據(jù)“每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支”可知:支干的數(shù)量為x個(gè),小分支的數(shù)量為x?x=x2個(gè),然后根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91列出方程,解方程即可.
【詳解】解:設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x小分支,根據(jù)題意可得:1+x+x2=91,
解得:x1=9,x2=﹣10(不合題意舍去),
答:每個(gè)支干長(zhǎng)出9小分支.
四、解答題(二)(每小題9分,共27分)
20. 若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為和,且過(guò)點(diǎn),
(1)求拋物線的解析式;
(2)求出這條拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式,已知函數(shù)值求自變量的值,熟練掌握待定系數(shù)法,是解題的關(guān)鍵.
(1)設(shè)拋物線的解析式為,代入點(diǎn),求出a的值即可得出答案;
(2)把代入拋物線的解析式,求出x的值,即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).
【小問(wèn)1詳解】
解:∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為和,
∴設(shè)拋物線的解析式為,
∵拋物線過(guò)點(diǎn),
∴,
解得:,
∴拋物線的解析式為.
【小問(wèn)2詳解】
解:把代入拋物線的解析式得:
,
解得:,
∴這條拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
21. 已知拋物線與直線交于點(diǎn).
(1)求和的值;
(2)寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸;
(3)對(duì)于二次函數(shù),當(dāng)在什么范圍時(shí),隨的增大而減小
【答案】(1),
(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為軸
(3)時(shí),隨的增大而減小
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)綜合,拋物線函數(shù)圖像性質(zhì),函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)解析式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí).
(1)先將代入到可求得的值,再將點(diǎn)代入到即可求得的值;
(2)由(1)可得拋物線解析式,將其化為頂點(diǎn)式即可解題;
(3)根據(jù)拋物線函數(shù)圖像性質(zhì),即可解題.
【小問(wèn)1詳解】
解:拋物線與直線交于點(diǎn),
,解得:,
,
將代入得:,
解得:,
,;
【小問(wèn)2詳解】
解:由(1)可得:拋物線即,
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為軸;
【小問(wèn)3詳解】
解:由(1)可得:拋物線,
,
函數(shù)圖像開(kāi)口向上,
對(duì)稱軸為直線,
在時(shí),隨的增大而減小.
22. 如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底的長(zhǎng)為,下底長(zhǎng)為,上下底相距,在兩腰中點(diǎn)連線處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,甬道面積是梯形面積的,(提示:梯形的中位線是連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段,其長(zhǎng)度等于兩底和的一半)
(1)梯形的中位線長(zhǎng)是____________m;
(2)梯形花壇的面積是____________;
(3)甬道的寬應(yīng)是多少米?
【答案】(1)70 (2)4200
(3)甬道的寬度為5米
【解析】
【分析】本題考查梯形的中位線,梯形的面積,一元二次方程的應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn),正確的列出方程是解題的關(guān)鍵:
(1)根據(jù)梯形的中位線的計(jì)算方法進(jìn)行求解即可;
(2)根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可;
(3)設(shè)甬道的寬度為,根據(jù)題意,列出方程進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
解:花壇上底的長(zhǎng)為,下底長(zhǎng)為,
∴梯形的中位線為:;
故答案為:70;
【小問(wèn)2詳解】
∵花壇上底的長(zhǎng)為,下底長(zhǎng)為,上下底相距,
∴梯形花壇的面積為:;
故答案為:4200.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)甬道的寬度為米,由題意,得:
,
解得:或(舍去);
答:甬道的寬度為5米.
五、解答題(三)(每小題12分,共24分)
23. 如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍,那么稱這樣的方程為“倍根方程”.例如,一元二次方程的兩個(gè)根是2和4,則方程是倍根方程.
(1)若一元二次方程是“倍根方程”,則______.
(2)判斷方程是不是倍根方程?并說(shuō)明理由.
(3)若是倍根方程,求代數(shù)式的值.
【答案】(1)2 (2)不是,理由見(jiàn)解析
(3)0
【解析】
【分析】(1)由一元二次方程是“倍根方程”,得到即可得到結(jié)論;
(2)求出方程的解即可判斷出結(jié)論;
(3)解方程得,由方程兩根是2倍關(guān)系,得到或4,代入解方程即可得到結(jié)論.
小問(wèn)1詳解】
∵一元二次方程是“倍根方程”,
又
∴
∴
故答案為:2;
【小問(wèn)2詳解】
方程不是“倍根方程”,理由如下:
,
解得,
∴
∴方程不是“倍根方程”;
【小問(wèn)3詳解】
解方程得,
∵方程兩根是2倍關(guān)系,
∴或4,
當(dāng)時(shí),即代入代數(shù)式得
當(dāng)時(shí),即代入代數(shù)式得
綜上,
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,若是一元二次方程的兩根時(shí),也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程.
24. 等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm,點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),均以1cm/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng),已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng),Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng),PQ與直線AC相交于點(diǎn)D.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△PCQ的面積為S.
(1)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí),S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度是否改變?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)S=(t10); (2);(3)不變,理由參見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】(1)由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng),Q沿BC向上運(yùn)動(dòng),且速度都為1cm/s,S=QC×PB,所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系,
(2)根據(jù)s△ABC=AB?BC=50,設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,分別分析當(dāng)t<10秒時(shí),以及當(dāng)t>10秒時(shí)得出t的值即可;
(3) 根據(jù)當(dāng)t<10秒時(shí),P在線段AB上,得出△APE≌△QCF,以及當(dāng)t>10秒時(shí),P在線段AB的延長(zhǎng)線上,得出DE的長(zhǎng).
【詳解】解:(1)當(dāng)t<10秒時(shí),P在線段AB上,如圖1,此時(shí)CQ=t,PB=10-t
S△PCQ=CQ?PB.
∴s=×t×(10?t)=(10t?t2)
當(dāng)t>10秒時(shí),P在線段AB得延長(zhǎng)線上如圖2,此時(shí)CQ=t,PB=t-10
S△PCQ=CQ?PB.
∴s=×t×(t?10)=(t2?10t)
(2)∵S△ABC=AB?BC=50
∴當(dāng)t<10秒時(shí),S△PCQ=(10t?t2)=50
整理得t2-10t+100=0無(wú)解
當(dāng)t>10秒時(shí),S△PCQ=(t2?10t)=50
整理得t2-10t-100=0解得x=5±5(舍去負(fù)值)
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5+5秒時(shí),S△PCQ=S△ABC.
(3)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE長(zhǎng)度不會(huì)改變
證明:過(guò)Q作QM⊥AC,交直線AC于點(diǎn)M
在Rt△APE和Rt△QCM中
∵∠A=45°,∠QCM=∠ACB=45°
∴∠A=∠QCM
∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90°
∴△APE≌△QCM
∴AE=PE=CM=QM=t,
∴四邊形PEQM是平行四邊形,且DE是對(duì)角線EM的一半
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變
同理,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),DE=5
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.
這是一份廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題(無(wú)答案),共4頁(yè)。試卷主要包含了下列各數(shù)中,是負(fù)數(shù)的是,如果零上記作,那么零下可記為,下列各對(duì)數(shù)中,互為相反數(shù)的是,下列化簡(jiǎn)正確的是等內(nèi)容,歡迎下載使用。
這是一份廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市鳳凰中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題,共4頁(yè)。
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廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題
廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題(無(wú)答案)
廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題
廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題
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