1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，，所以.
故選：D.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命題“，”的否定是“，”.
故選：B.
3. 已知集合，，若，，則下列對應(yīng)關(guān)系為上的一個函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函數(shù)的定義可知，要使應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成從A到B的函數(shù)，
須滿足：對集合A中的任意一個數(shù)，通過對應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，
對于A選項，當時，，故不能構(gòu)成函數(shù)；
對于B選項，當時，，故不能構(gòu)成函數(shù)；
對于C選項，當時，，故不能構(gòu)成函數(shù)；
對于D選項，集合A中的任意一個數(shù)，通過對應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，故能構(gòu)成函數(shù).
故選：D．
4. 已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，設(shè)：，：在區(qū)間中至少有一個零點，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由“函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，且”，
根據(jù)零點存在定理，可得在區(qū)間上至少存在一個零點，所以能推出，
反之，當在區(qū)間中至少有一個零點時，比如，
在上有一個零點，但是，所以不能推出，
故是的充分不必要條件.
故選：A.
5. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為的定義域為，所以，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故AB錯誤；
又因為時，所以D錯誤.
故選：C.
6. 某放射性物質(zhì)在衰變過程中，其質(zhì)量（單位：克）與年數(shù)滿足關(guān)系式（為初始質(zhì)量，為常數(shù)，）.已知經(jīng)過3年，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话?，再?jīng)過6年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】經(jīng)過3年，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话耄?即時，，
則再經(jīng)過6年，，.
故選：D.
7. 已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】A
【解析】正實數(shù)，滿足，
則，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值是.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，記，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，所以，，
因為，所以，
因為，所以，
因為當時，在上單調(diào)遞減，，
所以.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知實數(shù)，，，則（ ）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BC
【解析】對于A，時，滿足，此時，A選項錯誤；
對于B，時，有，又，所以，B選項正確；
對于C，且，則，即，C選項正確；
對于D，，則，所以，D選項錯誤.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對，成立，則稱為上的“類近穩(wěn)函數(shù)”，則（ ）
A. 可為上的2類近穩(wěn)函數(shù)
B. 可為上的3類近穩(wěn)函數(shù)
C. 若為上的類近穩(wěn)函數(shù)，則
D. 若為上的2類近穩(wěn)函數(shù)，則，，有
【答案】ACD
【解析】對于A，因為的定義域為，
，
所以可為上的2類近穩(wěn)函數(shù)，故正確；
對于B，因為的定義域為，，
又因為只有才成立，
不滿足3類近穩(wěn)函數(shù)的定義，故錯誤；
對于C，因為，
又因為，，所以，所以，
所以，所以，故正確；
對于D，因為為上的2類近穩(wěn)函數(shù)，
則，，有，
又因為，所以，故正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)若方程有四個實數(shù)根，，，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由方程可得：或，
作出函數(shù)的圖象，
可知：解得：，
由于當，，此時最高點的坐標為，
根據(jù)題意，則有另外三個實數(shù)根，，，且，如圖，
此時，故B正確；
而當，時，，所以由圖可得：，故A正確；
根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知，
所以，故C錯誤；
當時，由可得，
當時，由可得，，所以有，
令，求導得：
因為當時，，所以在上單調(diào)遞增，即，
根據(jù)以上結(jié)論可知：，故D正確.
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則______.
【答案】7
【解析】因為，則.
13. 寫出同時滿足下面兩個條件的一個函數(shù)解析式______.
①；②在上單調(diào)遞減.
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨取，則，
條件①滿足；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，條件②滿足.
14. 已知，且，，為三個連續(xù)的正整數(shù)，則的最小值為______.
【答案】
【解析】令，
所以，
所以，
所以，
當且僅當時，.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，或.
（1）求，；
（2）若集合，且是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）由，解得，所以，
所以或，
因為，所以.
（2）若是的充分條件，則，
所以，即所以，
所以的取值范圍為.
16. 已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，且.
（1）當時，求的解析式；
（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明.
解：（1）由是定義在上的奇函數(shù)，且，可得，
當時，，所以，解得，
所以當時，，
當時，，，
因為是定義在上奇函數(shù)，所以，
所以當時，.
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
證明如下：任取，且，
則
，
因為，且，
所以，，，
故，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.
17. 某地結(jié)合實際情況，因地制宜發(fā)展生態(tài)產(chǎn)業(yè)，計劃未來五年內(nèi)在當?shù)亟ㄔ煲慌鷳B(tài)農(nóng)場.經(jīng)過調(diào)研得知，初期需投入固定成本300萬元，除此之外，建造個生態(tài)農(nóng)場需另投入成本萬元，且初步估計未來五年內(nèi)每個生態(tài)農(nóng)場能帶來30萬元的利潤.
（1）求該期間生態(tài)農(nóng)場帶來的利潤（萬元）關(guān)于農(nóng)場數(shù)目的函數(shù)關(guān)系式；
（2）建造多少個生態(tài)農(nóng)場能給當?shù)貛碜畲罄麧櫍坎⑶笞畲罄麧?
解：（1）根據(jù)題意得：
當時，，
當時，，
所以
（2）當時，，
在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當時，的最大值為450，
當時，，
因為，當且僅當，
即時，等號成立，
所以，
因為，所以當時，的最大值為640，
所以建造70個生態(tài)農(nóng)場獲得的利潤最大，最大利潤為640萬元.
18. 已知函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求實數(shù)，的值；
（2）若，解關(guān)于的不等式；
（3）若，對于，成立，求的最大值.
解：（1）因為不等式的解集為x1≤x≤2，
所以1和2是方程的兩個根，
所以，所以，.
（2）若，不等式可化為，
即，
當時，解得，
當時，解得或，
當時，解得或，
綜上，當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
（3）因為，，成立，
即，對成立，
所以對成立，
即對成立，
所以即
所以，即，
所以的最大值為.
19. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，經(jīng)研究可將其推廣為：函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).
（1）已知函數(shù)的定義域為，且圖象關(guān)于點中心對稱，求的值；
（2）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.
（ⅰ）求實數(shù)、的值；
（ⅱ）設(shè)函數(shù)，其中，若正數(shù)、滿足，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，
所以為奇函數(shù)，所以，
令，則有，故；令，則有，
所以.
（2）（?。┯深}意可得為奇函數(shù)，
所以，
則，
所以，有，
所以恒成立，
所以，解得或，
因為，所以，.
（ⅱ）因為，
所以，
所以，
因為，
，
兩式相加得，即，
又由，
故，
又，
當且僅當，即，時等號成立，
所以的取值范圍為.

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