AUTONUM \* Arabic ．計算︱－ 5＋3︱的結(jié)果是()
A.－ 2B.2C.－ 8D.8
AUTONUM \* Arabic ．計算(－xy3)2的結(jié)果是()
A.x2y6B.－x2y6C.x2y9D. －x2y9
AUTONUM \* Arabic ．如圖，在△ABC中，DE ∥ BC， eq \f(AD,DB) = \F(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是()
A. eq \f(AE,EC) = \F(1,2)B. eq \f(DE,BC) = \F(1,2)
C. eq \f(△ADE的周長,△ABC的周長) = \F(1,3)D. eq \f(△ADE的面積,△ABC的面積) = \F(1,3)
AUTONUM \* Arabic ．某市2013年底機動車的數(shù)量是2×106輛，2014年新增3×105輛．用科學(xué)記數(shù)法表示該市2014年底機動車的數(shù)量是()
A.2.3×105輛B. 3.2×105輛C. 2.3×106輛D. 3.2×106輛
AUTONUM \* Arabic ．估計 eq \f(\r(5) -1,2)介于()
A.0.4與0.5之間B. 0.5與0.6之間
C. 0.6與0.7之間D. 0.7與0.8之間
AUTONUM \* Arabic ．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為()
A. eq \f(13,3)B. eq \f(9,2)C. eq \f(4,3)\r(13)D.2 eq \r(5)
填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
AUTONUM \* Arabic ．4的平方根是；4的算術(shù)平方根是．
AUTONUM \* Arabic ．若式子 eq \r(x+1)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
AUTONUM \* Arabic ．計算 eq \f(\r(5)×\r(15),\r(3)) 的結(jié)果是 ．
AUTONUM \* Arabic ．分解因式(a － b)(a － 4b)＋ab的結(jié)果是 ．
AUTONUM \* Arabic ．不等式組 eq \b\lc\{(\a\al(2x+1＞－1,2x+1 ＜ 3)) 的解集是 ．
AUTONUM \* Arabic ．已知方程x2＋mx＋3=0的一個根是1，則它的另一個根是 ，m的值是 ．
AUTONUM \* Arabic ．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(2，－ 3)，作點A關(guān)于x軸的對稱點，得到點A'，再作點A'關(guān)于y軸的對稱點，得到點A''，則點A''的坐標(biāo)是( ， )．
AUTONUM \* Arabic ．某工程隊有14名員工，他們的工種及相應(yīng)每人每月工資如下表所示．
現(xiàn)該工程隊進(jìn)行了人員調(diào)整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名．與調(diào)整前相比，該工程隊員工月工資的方差 (填“變小”，“不變”或“變大”)．
AUTONUM \* Arabic ．如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，則∠B＋∠E= °．
AUTONUM \* Arabic ．如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1、y2的圖像在第一象限內(nèi)分別交于點A、B，且A為OB的中點．若函數(shù)y1= eq \f(1,x)，則y2與x的函數(shù)表達(dá)式是 ．
解答題(本大題共11小題，共88分)
AUTONUM \* Arabic ．（6分）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
AUTONUM \* Arabic ．（7分）解方程 eq \f(2,x－3) = \f(3,x)
AUTONUM \* Arabic ．（7分）計算 eq \b\bc\((\a\ac(\f(2,a2－b2) － \f(1,a2 － ab))) ÷ \F(a,a+b)
AUTONUM \* Arabic ．（8分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且 eq \f(AD,CD) = \F(CD,BD)．
求證：△ACD ∽ △CBD；
求∠ACB的大?。?br> AUTONUM \* Arabic ．（8分）為了了解2014年某地區(qū)10萬名大、中、小學(xué)生50米跑成績情況，教育部門從這三類學(xué)生群體中各抽取了10%的學(xué)生進(jìn)行檢測，整理樣本數(shù)據(jù)，并結(jié)合2010年抽樣結(jié)果，得到下列統(tǒng)計圖．
本次檢測抽取了大、中、小學(xué)生共名，其中小學(xué)生名；
根據(jù)抽樣的結(jié)果，估計2014年該地區(qū)10萬名大、中、小學(xué)生中，50米跑成績合格的中學(xué)生人數(shù)為名；
比較2010年與2014年抽樣學(xué)生50米跑成績合格率情況，寫出一條正確的結(jié)論．
AUTONUM \* Arabic ．（8分）某人的錢包內(nèi)有10元、20元和50元的紙幣各1張．從中隨機取出2張紙幣．
求取出紙幣的總額是30元的概率；
求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率．
AUTONUM \* Arabic ．（8分）如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO=45°．輪船甲自西向東勻速行駛，同時輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h．經(jīng)過0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D位，測得∠DBO=58°，此時B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？
(參考數(shù)據(jù)：sin58° ≈ 0.85，cs58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60)
AUTONUM \* Arabic ．（8分）如圖，AB ∥ CD，點E、F分別在AB、CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H．
求證：四邊形EGFH是矩形．
小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索．過G作MN ∥ EF，分別交AB、CD于點M、N，過H作PQ ∥ EF，分別交AB、CD于點P、Q，得到四邊形MNQP．此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框圖中補全他的證明思路．
小明的證明思路
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形．要證?MNQP是菱形, 只要證NM=NQ．由已知條件， MN ∥ EF，可證NG = NF，故只要證 GM = FQ，即證△MGE ≌△QFH．易證 ， ， 故只要證 ∠MGE = ∠QFH，∠QFH = ∠GEF，∠QFH=∠EFH，，即可得證．
AUTONUM \* Arabic ．(10分)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）
AUTONUM \* Arabic ．（8分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．
求證：∠A=∠AEB．
連接OE，交CD于點F，OE ⊥ CD．求證：△ABE是等邊三角形．
27．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等．下圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)、銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系．
(1)請解釋圖中點D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實際意義．
(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式．
(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
工種
人數(shù)
每人每月工資（元）
電工
5
7000
木工
4
6000
瓦工
5
5000
江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分)
1．計算︱－ 5＋3︱的結(jié)果是()
A.－ 2B.2C.－ 8D.8
【考點】有理數(shù)的加法；絕對值．.
【分析】先計算﹣5+3，再求絕對值即可．
【解答】解：原式=|﹣2|
=2．
故選B．
【點評】本題考查了有理數(shù)的加法，以及絕對值的求法，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．
2．計算(－xy3)2的結(jié)果是()
A.x2y6B.－x2y6C.x2y9D. －x2y9
【考點】冪的乘方與積的乘方．.
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運算方法：①（am）n=amn（m，n是正整數(shù)）；②（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）；求出計算（﹣xy3）2的結(jié)果是多少即可．
【解答】解：（﹣xy3）2
=（﹣x）2?（y3）2
=x2y6，
即計算（﹣xy3）2的結(jié)果是x2y6．
故選：A．
【點評】此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①（am）n=amn（m，n是正整數(shù)）；②（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）．
3．如圖，在△ABC中，DE ∥ BC， eq \f(AD,DB) = \F(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是()
A. eq \f(AE,EC) = \F(1,2)B. eq \f(DE,BC) = \F(1,2)
C. eq \f(△ADE的周長,△ABC的周長) = \F(1,3)D. eq \f(△ADE的面積,△ABC的面積) = \F(1,3)
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．.
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得，然后由=，即可判斷A、B的正誤，然后根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方即可判斷C、D的正誤．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵=，
∵=，
故A、B選項均錯誤；
∵△ADE∽△ABC，
∴==，=（）2=，
故C選項正確，D選項錯誤．
故選C．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的對應(yīng)邊之比等于相似比；相似三角形的周長之比等于相似比；相似三角形的面積之比等于相似比的平方．
4．某市2013年底機動車的數(shù)量是2×106輛，2014年新增3×105輛．用科學(xué)記數(shù)法表示該市2014年底機動車的數(shù)量是()
A.2.3×105輛B. 3.2×105輛C. 2.3×106輛D. 3.2×106輛
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．.
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：2014年底機動車的數(shù)量為：3×105+2×106=2.3×106．
故選C．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
5．估計 eq \f(\r(5) -1,2)介于()
A.0.4與0.5之間B. 0.5與0.6之間
C. 0.6與0.7之間D. 0.7與0.8之間
【考點】估算無理數(shù)的大小．.
【分析】先估算的范圍，再進(jìn)一步估算，即可解答．
【解答】解：∵2.235，
∴﹣1≈1.235，
∴≈0.617，
∴介于0.6與0.7之間，
故選：C．
【點評】本題考查了估算有理數(shù)的大小，解決本題的關(guān)鍵是估算的大小．
6．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為()
A. eq \f(13,3)B. eq \f(9,2)C. eq \f(4,3)\r(13)D.2 eq \r(5)
【考點】切線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．.
【分析】連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出結(jié)果．
【解答】解：連接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切線，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3=，
故選A．
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
7．4的平方根是；4的算術(shù)平方根是．
【考點】算術(shù)平方根；平方根．.
【分析】如果一個非負(fù)數(shù)x的平方等于a，那么x是a的算術(shù)平方根，由此即可求出結(jié)果．
【解答】解：4的平方根是±2；4的算術(shù)平方根是2．
故答案為：±2；2．
【點評】此題主要考查了平方根和算術(shù)平方根的概念，算術(shù)平方根易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯誤．
8．若式子 eq \r(x+1)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
【考點】二次根式有意義的條件．.
【分析】根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，列不等式求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案為：x≥﹣1．
【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
9．計算 eq \f(\r(5)×\r(15),\r(3)) 的結(jié)果是 ．
【考點】二次根式的乘除法．.
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．
【解答】解：=×=5．
故答案為：5．
【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．分解因式(a － b)(a － 4b)＋ab的結(jié)果是 ．
【考點】因式分解-運用公式法．.
【分析】首先去括號，進(jìn)而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab
=a2﹣5ab+4b2+ab
=a2﹣4ab+4b2
=（a﹣2b）2．
故答案為：（a﹣2b）2．
【點評】此題主要考查了多項式乘法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
11．不等式組 eq \b\lc\{(\a\al(2x+1＞－1,2x+1 ＜ 3)) 的解集是 ．
【考點】解一元一次不等式組．.
【分析】分別解每一個不等式，再求解集的公共部分．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜1，
所以不等式組的解集是﹣1＜x＜1．
故答案為：﹣1＜x＜1．
【點評】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來判斷．還可以觀察不等式的解，若x＞較小的數(shù)、＜較大的數(shù)，那么解集為x介于兩數(shù)之間．
12．已知方程x2＋mx＋3=0的一個根是1，則它的另一個根是 ，m的值是 ．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．.
【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，兩根的和是﹣m，兩個根的積是3，即可求解．
【解答】解：設(shè)方程的另一個解是a，則1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解根與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(2，－ 3)，作點A關(guān)于x軸的對稱點，得到點A'，再作點A'關(guān)于y軸的對稱點，得到點A''，則點A''的坐標(biāo)是( ， )．
【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)．.
【分析】分別利用x軸、y軸對稱點的性質(zhì)，得出A′，A″的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點A的坐標(biāo)是（2，﹣3），作點A關(guān)于x軸的對稱點，得到點A′，
∴A′的坐標(biāo)為：（2，3），
∵點A′關(guān)于y軸的對稱點，得到點A″，
∴點A″的坐標(biāo)是：（﹣2，3）．
故答案為：﹣2；3．
【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸、y軸對稱點的性質(zhì)．
（1）關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：
橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）．
（2）關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點：
橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．
即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）．
14．某工程隊有14名員工，他們的工種及相應(yīng)每人每月工資如下表所示．
現(xiàn)該工程隊進(jìn)行了人員調(diào)整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名．與調(diào)整前相比，該工程隊員工月工資的方差 (填“變小”，“不變”或“變大”)．
【考點】方差．.
【分析】利用已知方差的定義得出每個數(shù)據(jù)減去平均數(shù)后平方和增大，進(jìn)而得出方差變大．
【解答】解：∵減少木工2名，增加電工、瓦工各1名，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是每個數(shù)據(jù)減去平均數(shù)后平方和增大，則該工程隊員工月工資的方差變大．
故答案為：增大．
【點評】此題主要考查了方差的定義，正確把握方差中每個數(shù)據(jù)的意義是解題關(guān)鍵．
15．如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，則∠B＋∠E= °．
【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．.
【分析】連接CE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得∠B+∠AEC=180°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【解答】解：如圖，連接CE，
∵五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，
∴四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠E=180°+35°=215°．
故答案為：215．
【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1、y2的圖像在第一象限內(nèi)分別交于點A、B，且A為OB的中點．若函數(shù)y1= eq \f(1,x)，則y2與x的函數(shù)表達(dá)式是 ．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．.
【分析】過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，由于點A在反比例函數(shù)y1=上，設(shè)A（a，），求得點B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出結(jié)果．
【解答】解：過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，
∵點A在反比例函數(shù)y1=上，
∴設(shè)A（a，），
∴OC=a，AC=，
∵AC⊥x軸，BD⊥x軸，
∴AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴，
∵A為OB的中點，
∴=，
∴BD=2AC=，OD=2OC=2a，
∴B（2a，），
設(shè)y2=，
∴k=2a?=4，
∴y2與x的函數(shù)表達(dá)式是：y=．
故答案為：y=．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)中k的幾何意義要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．
三、解答題(本大題共11小題，共88分)
17．（6分）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
【考點】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集．.
【分析】不等式去括號、移項合并、系數(shù)化為1即可求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可．
【解答】解：去括號，得2x+2﹣1≥3x+2，
移項，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同類項，得﹣x≥1，
系數(shù)化為1，得x≤﹣1，
這個不等式的解集在數(shù)軸上表示為：
【點評】本題考查了一元一次不等式的解法，在數(shù)軸上表示不等式的解集，＞，≥向右畫；＜，≤向左畫，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
18．（7分）解方程 eq \f(2,x－3) = \f(3,x)
【考點】解分式方程．.
【專題】計算題．
【分析】觀察可得最簡公分母是x（x﹣3），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
【解答】解：方程兩邊同乘以x（x﹣3），得2x=3（x﹣3）．
解這個方程，得x=9．
檢驗：將x=9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．
所以x=9是原方程的根．
【點評】本題考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程時需對得到的解進(jìn)行檢驗．
19．（7分）計算 eq \b\bc\((\a\ac(\f(2,a2－b2) － \f(1,a2 － ab))) ÷ \F(a,a+b)
【考點】分式的混合運算．.
【分析】首先將括號里面通分運算，進(jìn)而利用分式的性質(zhì)化簡求出即可．
【解答】解：（﹣）÷
=[﹣]×
=[﹣]×
=×
=．
【點評】此題主要考查了分式的混合運算，正確進(jìn)行通分運算是解題關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且 eq \f(AD,CD) = \F(CD,BD)．
求證：△ACD ∽ △CBD；
求∠ACB的大?。?br>【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．.
【分析】（1）由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理．
21．（8分）為了了解2014年某地區(qū)10萬名大、中、小學(xué)生50米跑成績情況，教育部門從這三類學(xué)生群體中各抽取了10%的學(xué)生進(jìn)行檢測，整理樣本數(shù)據(jù)，并結(jié)合2010年抽樣結(jié)果，得到下列統(tǒng)計圖．
本次檢測抽取了大、中、小學(xué)生共名，其中小學(xué)生名；
根據(jù)抽樣的結(jié)果，估計2014年該地區(qū)10萬名大、中、小學(xué)生中，50米跑成績合格的中學(xué)生人數(shù)為名；
比較2010年與2014年抽樣學(xué)生50米跑成績合格率情況，寫出一條正確的結(jié)論．
【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．.
【分析】（1）根據(jù)“教育部門從這三類學(xué)生群體中各抽取了10%的學(xué)生進(jìn)行檢測”，可得100000×10%，即可得到本次檢測抽取了大、中、小學(xué)生共多少名，再根據(jù)扇形圖可得小學(xué)生所占45%，即可解答；
（2）先計算出樣本中50米跑成績合格的中學(xué)生所占的百分比，再乘以10萬，即可解答；
（3）根據(jù)條形圖，寫出一條即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）100000×10%=10000（人），10000×45%═4500（人）．
故答案為：10000，4500；
（2）100000×40%×90%=3600（人）．
故答案為：3600；
（3）例如：與2010年相比，2014年該市大學(xué)生50米跑成績合格率下降了5%（答案不唯一）．
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
22．（8分）某人的錢包內(nèi)有10元、20元和50元的紙幣各1張．從中隨機取出2張紙幣．
求取出紙幣的總額是30元的概率；
求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法．.
【專題】計算題．
【分析】（1）先列表展示所有3種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出總額是30元所占結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算；
（2）找出總額超過51元的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
【解答】解：（1）列表：
共有3種等可能的結(jié)果數(shù)，其中總額是30元占1種，
所以取出紙幣的總額是30元的概率=；
（2）共有3種等可能的結(jié)果數(shù)，其中總額超過51元的有2種，
所以取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率為．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
23．（8分）如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO=45°．輪船甲自西向東勻速行駛，同時輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h．經(jīng)過0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D位，測得∠DBO=58°，此時B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？
(參考數(shù)據(jù)：sin58° ≈ 0.85，cs58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用．.
【分析】設(shè)B處距離碼頭Oxkm，分別在Rt△CAO和Rt△DBO中，根據(jù)三角函數(shù)求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．
【解答】解：設(shè)B處距離碼頭Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∵tan∠CAO=，
∴CO=AO?tan∠CAO=（45×0.1+x）?tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∵tan∠DBO=，
∴DO=BO?tan∠DBO=x?tan58°，
∵DC=DO﹣CO，
∴36×0.1=x?tan58°﹣（4.5+x），
∴x=≈=13.5．
因此，B處距離碼頭O大約13.5km．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24．（8分）如圖，AB ∥ CD，點E、F分別在AB、CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H．
求證：四邊形EGFH是矩形．
小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索．過G作MN ∥ EF，分別交AB、CD于點M、N，過H作PQ ∥ EF，分別交AB、CD于點P、Q，得到四邊形MNQP．此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框圖中補全他的證明思路．
小明的證明思路
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形．要證?MNQP是菱形, 只要證NM=NQ．由已知條件， MN ∥ EF，可證NG = NF，故只要證 GM = FQ，即證△MGE ≌△QFH．易證 ， ， 故只要證 ∠MGE = ∠QFH，∠QFH = ∠GEF，∠QFH=∠EFH，，即可得證．
【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．.
【分析】（1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠FEH+∠EFH=90°，進(jìn)而得出∠GEH=90°，進(jìn)而求出四邊形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可．
【解答】（1）證明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH=∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠EFG=∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=∠BEF，
∵點A、E、B在同一條直線上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，
即∠GEH=90°，
∴四邊形EGFH是矩形；
（2）解：答案不唯一：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，
要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FGH．
故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證．
【點評】此題主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出證明菱形的方法是解題關(guān)鍵．
25．(10分)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）
【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)．.
【分析】①以A為圓心，以3為半徑作弧，交AD、AB兩點，連接即可；②連接AC，在AC上，以A為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交AD、AB兩點，連接即可；③以A為端點在AB上截取3個單位，以截取的點為圓心，以3個單位為半徑畫弧，交BC一個點，連接即可；④連接AC，在AC上，以C為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交BC、DC兩點，然后連接A與這兩個點即可；⑤以A為端點在AB上截取3個單位，再作著個線段的垂直平分線交CD一點，連接即可．
【解答】解：滿足條件的所有圖形如圖所示：
【點評】此題主要考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法．
26．（8分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．
求證：∠A=∠AEB．
連接OE，交CD于點F，OE ⊥ CD．求證：△ABE是等邊三角形．
【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．.
【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，根據(jù)鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進(jìn)而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進(jìn)而可得∠A=∠AEB；
（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進(jìn)而可得∠AEB=60°，再根據(jù)∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進(jìn)而可得△ABE是等邊三角形．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分線，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形．
【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補．
27．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等．下圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)、銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系．
(1)請解釋圖中點D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實際意義．
(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式．
(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．.
【分析】（1）點D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實際意義：當(dāng)產(chǎn)量為130kg時，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為42元；
（2）根據(jù)線段AB經(jīng)過的兩點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式即可；
（3）利用總利潤=單位利潤×產(chǎn)量列出有關(guān)x的二次函數(shù)，求得最值即可．
【解答】解：（1）點D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實際意義：當(dāng)產(chǎn)量為130kg時，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為42元；
（2）設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x+b1，
∵y=k1x+b1的圖象過點（0，60）與（90，42），
∴
∴，
∴這個一次函數(shù)的表達(dá)式為；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）設(shè)y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b2，
∵經(jīng)過點（0，120）與（130，42），
∴，
解得：，
∴這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
設(shè)產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W元，
當(dāng)0≤x≤90時，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴當(dāng)x=75時，W的值最大，最大值為2250；
當(dāng)90≤x130時，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，
∴當(dāng)x90時，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
由﹣0.6＜0知，當(dāng)x＞65時，W隨x的增大而減小，∴90≤x≤130時，W≤2160，
因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為75kg時，獲得的利潤最大，最大值為2250．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，難度不大．
工種
人數(shù)
每人每月工資（元）
電工
5
7000
木工
4
6000
瓦工
5
5000

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