考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊第一章~第三章第2節(jié)．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．下列關系中錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
2．設命題，使得，則為（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
3．的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
4．下列結論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
5．下列函數(shù)中與是同一個函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
7．若a，，且，則ab的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定義域為R的偶函數(shù)，且當時，單調(diào)遞減，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列能夠表示集合到集合的函數(shù)關系的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列四個命題中，其中為真命題的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．的定義域為B．的值域為
C．的圖象關于點對稱D．若在上單調(diào)遞減，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為__________，最小值為__________．
13．函數(shù)的定義域為__________．
14．若一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知，．
（1）求；
（2）求．
16．（本小題滿分15分）
（1）已知函數(shù)，求的解析式；
（2）已知為二次函數(shù)，且，，求的解析式．
17．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)．
（1）直接寫出的定義域、值域；
（2）討論的單調(diào)性、奇偶性，并根據(jù)定義證明；
（3）畫出的大致圖象．
18．（本小題滿分17分）
如圖所示，為宣傳某運動會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙上設計大小相等的左右兩個矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報上四周空白的寬度均為2dm，兩個宣傳欄之間的空隙的寬度為3dm，設海報紙的長和寬分別為，．
（1）求y關于x的函數(shù)表達式；
（2）為節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少？
19．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，．
（1）若是關于x的方程的一個實數(shù)根，求函數(shù)的值域；
（2）若對任意，存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．．
2024～2025學年高一年級第二次月考試卷·數(shù)學
參考答案、提示及評分細則
1．C 空集是任何非空集合的真子集，所以，A正確；
有理數(shù)集的補集為無理數(shù)集，所以，B正確；
正整數(shù)集不包括元素0，所以，C錯誤；
N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，所以，D正確．故選C．
2．A 為，都有．故選A．
3．C 對于A，B，可以推出“”是充分條件；
對于D，是既不充分也不必要條件．故選C．
4．B 當時，，選項A錯誤；
由于，所以，選項C錯誤；
當，時，，選項D錯誤．故選B．
5．D 函數(shù)，其定義域為，的定義域為R，
所以與不是同一個函數(shù)，A不符合；
，顯然與不是同一個函數(shù)，B不符合；
，其定義域為，
所以與不是同一個函數(shù)，C不符合；
，其定義域為，
所以與是同一個函數(shù)，D符合．故選D．
6．D 函數(shù)為一元二次函數(shù)，對稱軸為直線．
當，即時，在上單調(diào)遞增；
當，即時，在上單調(diào)遞減．
綜上可知，k的取值范圍為．故選D．
7．A 因為，a，，所以，即，
當且僅當時，等號成立；解得或（舍）．故選A．
8．B 因為為R上的偶函數(shù)，則，即，
又當時，單調(diào)遞減，所以當時，單調(diào)遞增，
又，所以，即解得或．故選B．
9．ABD 根據(jù)函數(shù)的概念判斷ABD正確，C錯誤．故選ABD．
10．AC 對于A，因為（當且僅當時等號成立），
（當且僅當時等號成立），所以，故A正確；
對于B，因為，所以當時，，故B錯誤；
對于C，當時，，故C正確；
對于D，不等式的解集為，此區(qū)間內(nèi)無自然數(shù)解，故D錯誤．故選AC．
11．ABC 由得，所以的定義域為，A正確；
由及可得的值域為，B正確；
的圖象可由奇函數(shù)的圖象向右平移4個單位，再向上平移個單位得到，
所以的圖象關于點對稱，C正確；
在上單調(diào)遞減，則或，D錯誤．故選ABC．
12．（3分） （2分） 顯然在上單調(diào)遞減，
，．
13． 由題意得解得且，所以定義域為．
14． 當時，要使一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，
則二次函數(shù)的圖象在x軸下方，即，得；
當時，二次函數(shù)的圖象開口向上，
一元二次不等式不可能對一切實數(shù)x都成立．綜上可知，．
15．解：（1），，或，，
又，，或，
，故
（2）．
16．解：（1）設，可得，
則，故．
（2）因為，可設，則，解得，
因此，．
17．解：（1）的定義域為，值域為R．
（2）是奇函數(shù)，在，上單調(diào)遞增，理由如下：
設，，且，則．
，，且，，，，
，即，在上單調(diào)遞增；
設，，且，則．
，，且，，，，
，即，在上單調(diào)遞增．
，，是奇函數(shù)．
（3）的大致圖象如圖：
18．解：（1）由題知，兩個矩形宣傳欄的長為，寬為，
，整理得．
（2）由（1）知，即，
，，由基本不等式可得，
令，則，解得（舍去）或．，
當且僅當即，時等號成立，
海報長42dm，寬24dm時，用紙量最少，最少用紙量為．
19．解：（1）是方程的一個實根，，解得，
，函數(shù)的值域為．
（2）對任意，存在，使得，，
的圖象開口向下，對稱軸為，
在上的最小值為．
的圖象開口向上，對稱軸為，
①當，即時，在上，，
，整理得，解得或，；
②當，即時，在上，，
，解得，；
③當，即時，在上，，
，解得，．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．

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