內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市赤峰二中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.已知直線l的傾斜角滿足，則l的斜率k的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
2.甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
3.若橢圓的焦點與雙曲線的焦點重合，則m的值為( _)
A.4B.-4C.-2D.2
【答案】D
4．已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸長為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
5. 《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
6. 已知，從點射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點，則光線所經(jīng)過的路程為（）
A. B. 6C. D.
【答案】D
7.已知圓C：上存在兩個點到點的距離為，則m可能的值為（）
A． B．1C．5D．
【答案】A
8. 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，其中為左焦點，是與在第一象限的公共點.線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若的離心率為，則的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【詳解】令線段的垂直平分線與的交點為，顯然是的中點，而是的中點，
則，而，因此，，
則，令與的半焦距為，
由，得，于是，解得，則，
，所以的漸近線方程為.
故選：B
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（）
A. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B 若直線經(jīng)過第一象限、第二象限、第四象限，則
C. 已知雙曲線左焦點為，是雙曲線上的一點，則PF的最小值是
D. 已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的一點，則的最小值是-2
【答案】BC
10. 如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）
A 平面平面
B. 的最小值為
C. 若是的中點，則到平面的距離為
D. 若直線與所成角的余弦值為，則
【答案】ABC
11.已知橢圓分別為的左、右焦點，A，B分別為的左、右頂點，點是橢圓上的一個動點，且點到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）
A.橢圓的離心率為B.存在點，使得
C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為
【答案】ACD
三、填空題；：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知，兩組數(shù)據(jù)，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；組數(shù)據(jù)的方差為，若，兩組數(shù)據(jù)的方差相同，試寫出一個值．
【答案】2 10或15
13. 點為圓上一點，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是 .
【分析】根據(jù)題意，由條件可得過點的切線斜率，即可得到直線方程，再由兩平行直線間的距離公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得圓的圓心，半徑為，
則，所以過的切線斜率為，
所以直線的方程為，即，
又直線與直線平行，所以，
則與之間的距離是.
故答案為：.
14. 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，直線與交于另外一點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交于另外一點，且，則的離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)Px0,y0，Mx1,y1,則，，根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)公式，可分別求得直線的斜率，又，所以，從而，再根據(jù)點在橢圓上化簡即可.
【詳解】設(shè)Px0,y0，Mx1,y1,則，，
所以，，
因為，所以，所以，即.
又，
所以，即，解得，即橢圓的離心率為.
故答案：.
四、解答題：本題共5小題，其中15題13分，16、17題每題15分，18，19題每題17分，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15. 已知圓過兩點，且圓心在直線上.
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過圓心的直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出線段的中垂線方程，與已知直線方程聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)及半徑即可.
（2）按截距為0和不為0分類，并借助直線的截距式方程求解.
【小問1詳解】
由點，得線段的中點，直線的斜率，
則線段的中垂線方程為，即，
由，解得，即圓心，半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，點，
當(dāng)直線過原點時，直線在軸，軸上截距相等，此時直線的方程為，
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，
所以直線的方程為或.
16.（15分）已知雙曲線的離心率為，焦點F到漸近線的距離為1.
（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與雙曲線E的左支交于不同兩點，求實數(shù)k的取值范圍.
17. 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是等邊三角形，且平面平面，點為棱的中點.
（1）求證：；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
【解析】
【分析】（1）取中點，證明，證明平面，由此得，從而再證得平面，最后得證結(jié)論成立；
（2）以為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，確定各點坐標(biāo)，分別求出平面與平面的一個法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．
【小問1詳解】
如圖，取中點，連接，，
因為是中點，所以，
是菱形，則，所以，
又是等邊三角形，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因為平面，所以，
因為，平面，所以平面，
又因為平面，所以；
【小問2詳解】
，則和都是等邊三角形，
連接，則，，
以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，則，，
因此有，，，，，
是中點，則，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量是，則
，取得，
易知平面的一個法向量是，則
，取，則，
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
18. 為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式．現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．
（1）若乙回答了4個問題，求乙至少有1個回答正確的概率；
（2）若甲、乙兩人各回答了3個問題，求甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率；
（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由事件的相互獨立性的乘法公式和對立事件可求出答案。
（2）記“甲答對i個問題”為事件，“乙答對i個問題”為事件，則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件由事件的相互獨立性的乘法公式代入即可得答案。
（3）記“甲答對第i個問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，由事件的相互獨立性的乘法公式代入即可得答案。
【小問1詳解】
記“乙至少有1個回答正確”為事件，
所以，
即乙至少有1個回答正確的概率是．
【小問2詳解】
記“甲答對i個問題”為事件，“乙答對i個問題”為事件，則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件
所以
，
即甲回答正確個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率是．
【小問3詳解】
記“甲答對第i個問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，
所以
，
即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．
19. 已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點是上位于第一象限內(nèi)的一點，且的周長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與交于另外一點，直線與交于另外一點
①若，求直線的方程；
②記的面積分別為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率公式和焦點三角形周長以及關(guān)系得到方程，解出即可；
（2）①設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系得到，再代入橢圓方程，并結(jié)合Px0,y0在橢圓上，從而得到方程組，解出坐標(biāo)即可得到直線方程；
②設(shè)，求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立得到點坐標(biāo)，再求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立得到點坐標(biāo)，根據(jù)寫出面積表達(dá)式，最后利用基本不等式即可求出最值.
【小問1詳解】
由題意知.
解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
①由(1)知，設(shè)，
所以，又，
所以，
解得，
所以，又，解得，
又點是上位于第一象限內(nèi)的一點，所以，
所以，所以直線的方程為，
即；
②設(shè)，所以直線的方程為，
由，得，所以，
解得，
所以.
當(dāng)時，直線的方程為，
由，得，
所以，解得，所以，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
若軸時，令，解得（負(fù)舍），
則P1,22，此時，，
此時，
所以的最大值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問第二小問的關(guān)鍵是解出點坐標(biāo)，從而得到面積表達(dá)式，最后求出其最值即可.

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