第I卷（選擇題）
一?單選題（每小題5分，共計(jì)40分）
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直線在軸上的截距是軸上截距的2倍，則的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東的處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，速度為.這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到的時(shí)長(zhǎng)為（ ）

A 1小時(shí)B. 0.75小時(shí)C. 0.5小時(shí)D. 0.25小時(shí)
4. 橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在此橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么的值為（ ）
A. B. C. 2D. 3
5. 棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則（ ）

A. B. C. D.
6. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.
8．已知，是直線上兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．12
二?多選題（每小題6分，共計(jì)18分）
9. 2020年11月28日，“嫦娥五號(hào)”順利進(jìn)入環(huán)月軌道，其軌道是以月球的球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓(如圖所示).已知它的近月點(diǎn)A(離月球表面最近的點(diǎn))距離月球表面m千米，遠(yuǎn)月點(diǎn)B(離月球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距離月球表面n千米，為橢圓的長(zhǎng)軸，月球的半徑為R千米.設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距分別為，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. C. D.
10. 瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論正確是（ ）
A. 點(diǎn)在雙紐線上 B. 點(diǎn)的軌跡方程為
C. 雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 D. 滿足的點(diǎn)有1個(gè)
11. 以下四個(gè)命題表述正確的是（ ）
A. 直線恒過(guò)定點(diǎn)
B. 圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1
C. 圓：與圓：恰有三條公切線，則
D. 已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓C引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
第II卷（非選擇題）
三?填空題（每小題5分，共計(jì)15分）
12. 兩平行直線，的距離為_(kāi)_________.
13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，若在線段的中垂線上，且，則雙曲線的方程為 .
14．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為 .
四?解答題（共計(jì)77分）
15. 已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.
16. 已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程：
（2）已知直線過(guò)點(diǎn)且直線截圓所得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.
17. 如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
18．如圖，且，，且，且，平面，.
(1)設(shè)面BCF與面EFG的交線為，求證：；
(2)證明:
(3)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出P點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.
19. 已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)（、與、不重合）．
（1）求橢圓的焦距和離心率；
（2）若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，求的值；
（3）若，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別交軸于點(diǎn)、，當(dāng)且時(shí)，求的取值范圍．
2026屆高二上半學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)答案
1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.
【詳解】由直線得其斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為（），則，
所以，所以直線的傾斜角為，故選：A
2【答案】C
【解析】 【分析】依題意可得，分和兩種情況討論即可．
【詳解】依題意可得，
當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)橫縱截距都等于0，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為，在軸上截距，
則，得或（舍去）
綜上所述，的值為或．
故選：C
3【答案】C 【解析】【分析】以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，求出直線與圓的方程，計(jì)算圓心到直線的距離和半徑比較，可知這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到；計(jì)算弦長(zhǎng)，可求得持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng)．
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系,

則，，圓方程，直線方程：，即，
設(shè)到距離為，則，所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測(cè)到，
設(shè)監(jiān)測(cè)時(shí)間為，則（小時(shí)），外籍輪船能被海監(jiān)船檢測(cè)到的時(shí)間是0.5小時(shí).
故選：C.
4【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，推出軸，由此可設(shè)P(3，b)，代入橢圓方程求出，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出和可得解.
【詳解】由＝1可知，，
所以，所以F1(,0)，F(xiàn)2(,0)，
∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，且原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
所以，所以軸，∴可設(shè)P(,m)，
把P(,m)代入橢圓＝1，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故選：D
5【答案】A
【解析】 【分析】由求解即可．
【詳解】，所以BA?CE=BA?(CA+AE)=BA?CA+BA?AE=1×1×cs60°+1×12×cs120°=14．
故選：A．
6【答案】A 【解析】【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.
【詳解】由，得，所以，.
由題意知，所以，.
因?yàn)?所以,所以.
所以，所以， 故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.
7【答案】D 【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解．
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，，所以，
由于平面平面，且兩平面交線為，，平面，
故平面，又四邊形為正方形，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，

則，故，
則，故直線，所成角的余弦值．
故選：D．
8【答案】A
【分析】依題意，設(shè)點(diǎn)，推得點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，利用距離公式表示的幾何意義將其轉(zhuǎn)化成兩定點(diǎn)與一條定直線上的點(diǎn)的距離之和最小問(wèn)題解決.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，因直線的傾斜角為，
且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
記，
則可將理解為點(diǎn)到的距離之和，
即點(diǎn)到直線的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.
如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),則，
連接，交直線于點(diǎn),則即的最小值，
且,
故的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.
9【答案】BC 【解析】 【分析】
根據(jù)圖形橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，利用橢圓幾何性質(zhì)及圖形再寫出即可求解.
【詳解】由題意可知，所以，
因?yàn)?，，所?br>故選：BC
10【答案】BCD 【解析】
【分析】先由雙紐線的定義求出其方程，逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)可判斷結(jié)果.
【詳解】由雙紐線的定義可得：，
即，化簡(jiǎn)得：，
則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，故B正確；
當(dāng)時(shí)代入方程得，顯然不滿足方程，
所以點(diǎn)不在雙紐線上故A錯(cuò)誤；
把x換成，y換成，方程不變，所以雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故C正確；
因?yàn)?，若滿足，則點(diǎn)P在y軸上，
在方程中令，解得，
所以滿足的點(diǎn)為，故D正確；
故選：BCD.
11【答案】BCD 【解析】 【分析】將直線的方程進(jìn)行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系比較即可判斷選項(xiàng)B；由題意知兩圓外切，由圓心距等于半徑即可求得值，即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】直線，
所以，所以，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
圓，圓心為到直線距離為，
所以直線與圓相交，平行于直線l且距離為的直線分別過(guò)圓心以及和圓相切，
所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；
由：可得，圓心，，
由：可得，
圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，
即，解得：，故C正確；
設(shè)，所以，
因?yàn)?、，分別為過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，
所以點(diǎn)，在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為
.
整理可得：，與已知圓C：，相減可得.
消去可得：，即，
由解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故D正確.
故選：BCD.
12【答案】 【解析】【分析】由兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】由于直線與平行，則，整理得，解得.
所以，直線的方程為，直線的方程為，即，
因此，兩直線間的距離為.故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查兩平行直線間距離的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線平行求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
13【答案】
【分析】根據(jù)已知可得，再結(jié)合雙曲線定義得出，計(jì)算求出，即得雙曲線方程.
【詳解】由過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，若在線段的中垂線上，
可知，則，即，
又因?yàn)?，得解得，故雙曲線方程為.
故答案為：.
14【答案】
【分析】連接，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義得到AF2=23a，，在中，由余弦定理可得，即可求得.
【詳解】解：設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，
由對(duì)稱性可知：，，則四邊形為平行四邊形，
則，即，且，
因?yàn)?，則AF2=23a，，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以橢圓的離心率為.

故答案為：.
15【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程即可求解；
（2）寫出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，解得：；……………………………………(2分)
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，………………………………(4分)
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：………………………………………………………………(6分)
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，Qx2,y2
由題可得過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，即,……(8分)
聯(lián)立，消去可得：，………………………………………(10分)
所以，，……………………………………………………………………………(12分)
所以……………………………(13分)
16【答案】（1） （2）或
【解析】【分析】（1）先求線段垂直平分線的方程，與直線聯(lián)立，得圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）分所求直線的斜率存在和不存在，利用弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離公式求直線方程.
【小問(wèn)1詳解】
的中點(diǎn)為
的垂直平分線方程為，即，…………………………………………(2分)
將聯(lián)立可得，即圓的圓心坐標(biāo)為.…………………………………………(4分)
圓的半徑為，…………………………………………………………(6分)
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……………………………………………………………(7分)
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，故.
若直線的斜率不存在，則，此時(shí)圓心到直線的距離為3，符合題意.…………………(10分)
若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，即，
所以，解得，則直線的方程為.……………………(14分)
故直線的方程為或.………………………………………………………………(15分)
17【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)G，連接，先證明平面，然后以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明垂直平面的一個(gè)法向量即可；
（2）找出兩個(gè)面的法向量，利用夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）取中點(diǎn)G，連接.
，，∴四邊形為平行四邊形

∵平面平面，四邊形為矩形，平面平面
平面………………………………………………………………………………………(2分)
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
不妨設(shè)，，則，…………………………………………………………(6分)
又………………………………………………(7分)
又平面平面………………………………………………………………………(8分)
（2），
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.
不妨設(shè)，則，，.……………………………………………(12分)
設(shè)向量與的夾角為，則
∴平面與平面所成二面角的余弦值為…………………………………………………(15分)
18【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)線段BE上存在點(diǎn)P，且時(shí)使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為
【分析】（1）由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；
（2）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；
（3）則以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，直線DP的方向向量與平面ABE的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>又平面，平面，
所以面，又平面，平面平面，
所以.……………………………………………………………………………………………………(5分)
（2）因?yàn)榍?，所以四邊形ADGE為平行四邊形，
又，所以四邊形ADGE為菱形，所以AG⊥DE.
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又，平面，所以CD⊥面，
又面，所以，又，
平面，所以面，又面，
所以.………………………………………………………………………………………………(11分)
（3）由于，，，平面，，
則以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖，
于是，，設(shè)平面ABE的法向量為，
則，，令，得，
假設(shè)線段BE上存在點(diǎn)P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為.
設(shè)，，
，
解得：.
所以線段BE上存在點(diǎn)P，且時(shí),使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為.……（17分）
19【答案】（1）； （2） （3）
【解析】
【分析】（1）由題意，結(jié)合橢圓的方程和離心率的公式求解即可；
（2）設(shè)出直線的方程和的坐標(biāo)，聯(lián)立曲線方程，得到韋達(dá)定理再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；
（3）結(jié)合（2）中所求信息將和的表達(dá)式寫出，再根據(jù)求解范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
由橢圓方程可得，
所以橢圓的焦距，…………………………………………………………………………………(2分)
離心率；…………………………………………………………………………………………(4分)
【小問(wèn)2詳解】
不妨設(shè)直線的方程為，，易知，
聯(lián)立，消去并整理得，……………………………………(6分)
，
由韋達(dá)定理可得，………………………………………………………(8分)
若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，
此時(shí)，即，
整理可得，即，
代入韋達(dá)定理，
整理得，解得，……………………………………………………………(10分)
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，直線過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，不符合題意，舍去，
所以；……………………………………………………………………………………………………(11分)
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，由（2）得，，
因?yàn)?，，所以?br>解得，則，①
易知，
解得，
則，②
聯(lián)立①②，可得，
因?yàn)?，所以，所以的取值范?…………………………(17分)

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四川省眉山市東坡區(qū)眉山北外附屬東坡外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題（含答案）
四川省眉山北外附屬東坡外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

四川省眉山北外附屬東坡外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
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