1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（4分）下列命題中，假命題是
A．一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B．三個角是直角的四邊形是矩形
C．四邊相等的四邊形是菱形
D．有一個角是直角的菱形是正方形
3．（4分）將一元二次方程配方成的形式，則的值為
A．B．C．4D．8
4．（4分）拒絕“餐桌浪費”，刻不容緩．節(jié)約一粒米的賬：一個人一日三餐少浪費一粒米，全國一年就可以節(jié)省32400000斤，這些糧食可供9萬人吃一年．“32400000”這個數據用科學記數法表示為
A．B．C．D．
5．（4分）若，則的值是
A．B．C．D．
6．（4分）如圖，在四邊形中，、、、分別是邊、、、、的中點．請你添加一個條件，使四邊形為菱形，應添加的條件是
A．B．C．D．
7．（4分）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是
A．B．C．D．
8．（4分）如圖，，．，，在同一條直線上，，則的長為
A．B．C．D．
9．（4分）如圖，中，，，，點從點開始出發(fā)向點以的速度移動，點從點出發(fā)向點以的速度移動，若、分別同時從，出發(fā)， 秒后四邊形是面積的．
A．2B．4.5C．8D．7
10．（4分）定義：對于確定順序的三個數，，，計算，將這三個計算結果的最大值稱為，，的“極數”，例如：1，，1，因為，，所以1，，1的“極數”為，則下列說法中，正確的個數為
①3，1，的“極數”是36；
②若，，0的“極數”為0，則和中至少有1個數是負數；
③存在2個數，使得，，2的極數為；
④調整，，1這三個數的位置，一共能得到5種不同的極數．
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（每小題5分，共20分）
11．（5分）在一幅比例尺為的地圖上，甲乙兩地的距離為，那么兩地的實際距離為 千米．
12．（5分）已知，，，求 ．
13．（5分）如圖，樂器上的一根弦，兩個端點，固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則支撐點，之間的距離為 ．（結果保留根號）
14．（5分）中，點是斜邊的中點．
（1）如圖1，若與，于，，，則 ；
（2）如圖2，若點是的中點，且，則 ．
三、解答題（每小題8分，共16分）
15．（8分）解方程：．
16．（8分）如圖，在方格圖中，的頂點與線段的端點都在小正方形的頂點上，且△與是關于點為位似中心的位似圖形，點，的對應點分別為點，．按下列要求完成畫圖，并保留畫圖痕跡．
（1）請在方格圖中畫出位似中心；
（2）請在方格圖中將△補畫完整．
四、（每小題8分，共16分）
17．（8分）已知關于的一元二次方程．
（1）求證：不論取何值，該方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個根分別為，，且，若，求的值．
18．（8分）如圖，菱形中，于，于．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
五、（每小題10分，共20分）
19．（10分）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察．
（1）第個圖有 個小圓；（用含的代數式表示）
（2）是否存在某個圖，其小圓的個數恰好為160個？如果存在，指出是第幾個圖；如果不存在，請說明理由．
20．（10分）如圖，在銳角三角形中，．以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連結．點是延長線上的一點，連結，若平分．
（1）求證：．
（2）當，求的值．
六、（本題12分）
21．（12分）《周髀算經》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的．小南利用“矩”可測量大樹的高度．如圖，通過不斷調整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為，，小南的眼睛到地面的距離為，測得，求樹高．
七、（本題12分）
22．（12分）我們國家青少年平均運動時間、身體素質水平都處于嚴重落后狀態(tài)，而且還在持續(xù)下降．為了引起社會、學校和家庭對青少年的重視，某地區(qū)抽查了部分九年級學生，進行了一次身體素質測試，將成績分成5組并繪制成如圖兩幅統(tǒng)計圖，成績高于90分的評為優(yōu)秀．
根據上述所給的統(tǒng)計表中的信息，解決下列問題：
（1）本次抽測了 名九年級學生， ；
（2）若該地區(qū)有2.4萬名九年級學生，則體育成績優(yōu)秀學生的約有多少人？
（3）在本次抽測的優(yōu)秀學生中按的比例抽取部分學生，其中恰好有2名女生．若從中隨機選取2名學生參加市級運動會，求恰好抽取一男一女的概率．
八、（本題14分）
23．（14分）【問題背景】
在平行四邊形中，是邊上一點，延長至點使得，連接，延長交于點．
【特例感知】
（1）如圖1，若四邊形是正方形時，
①求證：△；
②當時中點時， 度．
【深入研究】
（2）如圖2，若四邊形是菱形，，當為中點時，求的長；
【拓展提升】
（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，點在的延長線上且滿足，當△是直角三角形時，請直接寫出的長．
參考答案
一、單選題（每小題4分，共40分）
1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
解：．方程是一元二次方程，選項符合題意；
．方程含有兩個未知數，
方程不是一元二次方程，選項不符合題意；
．方程不是整式方向，
方程不是一元二次方程，選項不符合題意；
．方程不是整式方向，
方程不是一元二次方程，選項不符合題意．
故選：．
2．（4分）下列命題中，假命題是
A．一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B．三個角是直角的四邊形是矩形
C．四邊相等的四邊形是菱形
D．有一個角是直角的菱形是正方形
解：、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是假命題；
、三個角是直角的四邊形是矩形，是真命題；
、四邊相等的四邊形是菱形，是真命題；
、有一個角是直角的菱形是正方形，是真命題；
故選：．
3．（4分）將一元二次方程配方成的形式，則的值為
A．B．C．4D．8
解：移項得，，
，
，
．
故選：．
4．（4分）拒絕“餐桌浪費”，刻不容緩．節(jié)約一粒米的賬：一個人一日三餐少浪費一粒米，全國一年就可以節(jié)省32400000斤，這些糧食可供9萬人吃一年．“32400000”這個數據用科學記數法表示為
A．B．C．D．
解：元．
故選：．
5．（4分）若，則的值是
A．B．C．D．
解：，
設，則，
，
故選：．
6．（4分）如圖，在四邊形中，、、、分別是邊、、、、的中點．請你添加一個條件，使四邊形為菱形，應添加的條件是
A．B．C．D．
解：應添加的條件是，理由為：
證明：、、、分別為、、、的中點，且，
，，，，
，
則四邊形為菱形，
故選：．
7．（4分）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是
A．B．C．D．
解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中一名男生和一名女生的結果數為8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
故選：．
8．（4分）如圖，，．，，在同一條直線上，，則的長為
A．B．C．D．
解：如圖，過點作于點，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故選：．
9．（4分）如圖，中，，，，點從點開始出發(fā)向點以的速度移動，點從點出發(fā)向點以的速度移動，若、分別同時從，出發(fā)， 秒后四邊形是面積的．
A．2B．4.5C．8D．7
解：中，，
是直角三角形，
由勾股定理，得．
設秒后四邊形是面積的，
則秒后，，．
根據題意，知，
，
即，
解得或（舍去）．
故選：．
10．（4分）定義：對于確定順序的三個數，，，計算，將這三個計算結果的最大值稱為，，的“極數”，例如：1，，1，因為，，所以1，，1的“極數”為，則下列說法中，正確的個數為
①3，1，的“極數”是36；
②若，，0的“極數”為0，則和中至少有1個數是負數；
③存在2個數，使得，，2的極數為；
④調整，，1這三個數的位置，一共能得到5種不同的極數．
A．1B．2C．3D．4
解：①，，，
，1，的“極數”是36，
故①正確；
②，，0的“極數“為0，
，
，
，
則和中至少有1個數是負數，
故②正確；
③在，，2中，
，，，
，，2的“極數“為，
當時，
，
此時，
不成立．
當時，
，
此時，
當時，，，2的“極數”為；
故③不正確；
④在，，1中，
，，，
“極數“為6．
在，1，中，
，，，
“極數“為4．
在，，1中，
，，，
“極數“為4．
在，1，中，
，，，
“極數“為4．
調整，，1這三個數的位置，
一共有6種情況，
而前面四種，已經出現三種情況的“極數“相同，
故得不到6種不同的“極數“，
故④說法錯誤．
故正確個數為2個，
故選：．
二、填空題（每小題5分，共20分）
11．（5分）在一幅比例尺為的地圖上，甲乙兩地的距離為，那么兩地的實際距離為 6 千米．
解：，
又，
實際距離為．
故答案為：6．
12．（5分）已知，，，求 2 ．
解：，，，
和是方程的兩個解，
由根與系數的關系得：，
故答案為：2．
13．（5分）如圖，樂器上的一根弦，兩個端點，固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則支撐點，之間的距離為 ．（結果保留根號）
解：點是靠近點的黃金分割點，，
，
點是靠近點的黃金分割點，，
，
，
支撐點，之間的距離為，
故答案為：．
14．（5分）中，點是斜邊的中點．
（1）如圖1，若與，于，，，則 10 ；
（2）如圖2，若點是的中點，且，則 ．
解：（1），，
，
四邊形為矩形，
，
在中，由勾股定理得，，
點是斜邊的中點，
，
故答案為：10；
（2）如圖，過點作，，垂足分別為點、，過點作，，垂足分別為點、，則四邊形為矩形，
，，
點為的斜邊的中點，
，
，
點為的中點，，，
點為的中點，即，
，
，
同理可得，
，
故答案為：62.5．
三、解答題（每小題8分，共16分）
15．（8分）解方程：．
解：,
，
故或，
解得：，．
16．（8分）如圖，在方格圖中，的頂點與線段的端點都在小正方形的頂點上，且△與是關于點為位似中心的位似圖形，點，的對應點分別為點，．按下列要求完成畫圖，并保留畫圖痕跡．
（1）請在方格圖中畫出位似中心；
（2）請在方格圖中將△補畫完整．
解：（1）如圖，點即為所求；
（2）如圖，△即為所求．
四、（每小題8分，共16分）
17．（8分）已知關于的一元二次方程．
（1）求證：不論取何值，該方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個根分別為，，且，若，求的值．
【解答】（1）證明：
．
不論取何值，該方程都有兩個不相等的實數根．
（2）解：的兩個根分別為，，且，
，，
，
，
即，
，
解得：或．
18．（8分）如圖，菱形中，于，于．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
【解答】（1）證明：在和，
四邊形是菱形，，，
又，
；
（2）解：由，，
，
．
五、（每小題10分，共20分）
19．（10分）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察．
（1）第個圖有 個小圓；（用含的代數式表示）
（2）是否存在某個圖，其小圓的個數恰好為160個？如果存在，指出是第幾個圖；如果不存在，請說明理由．
解：（1）由題意可知第1個圖形有小圓個；
第2個圖形有小圓個；
第3個圖形有小圓個；
第4個圖形有小圓個；
第個圖形有小圓個，
故答案為：．
（2）設第個圖中小圓的個數恰好為160個，根據題意得
，（不符題意，舍去）
答：第12個圖中小圓的個數恰好為160個．
20．（10分）如圖，在銳角三角形中，．以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連結．點是延長線上的一點，連結，若平分．
（1）求證：．
（2）當，求的值．
【解答】（1）證明：以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
而，
，
．
六、（本題12分）
21．（12分）《周髀算經》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的．小南利用“矩”可測量大樹的高度．如圖，通過不斷調整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為，，小南的眼睛到地面的距離為，測得，求樹高．
解：根據題意可得：，，
△△，
，
，，，
，
，
，
答：樹高為．
七、（本題12分）
22．（12分）我們國家青少年平均運動時間、身體素質水平都處于嚴重落后狀態(tài)，而且還在持續(xù)下降．為了引起社會、學校和家庭對青少年的重視，某地區(qū)抽查了部分九年級學生，進行了一次身體素質測試，將成績分成5組并繪制成如圖兩幅統(tǒng)計圖，成績高于90分的評為優(yōu)秀．
根據上述所給的統(tǒng)計表中的信息，解決下列問題：
（1）本次抽測了 300 名九年級學生， ；
（2）若該地區(qū)有2.4萬名九年級學生，則體育成績優(yōu)秀學生的約有多少人？
（3）在本次抽測的優(yōu)秀學生中按的比例抽取部分學生，其中恰好有2名女生．若從中隨機選取2名學生參加市級運動會，求恰好抽取一男一女的概率．
解：（1）本次抽測了（名九年級學生，
，
故答案為：300；108；
（2）組人數所占的比例為：，
（人，
故該地區(qū)有2.4萬名九年級學生，則體育成績優(yōu)秀學生的約有3600人；
（3）組人數為（人，
由題意可知：抽取的優(yōu)秀學生人數為（人，
其中恰好有2名女生，
組的男生人數為：（人，
如下：
由樹狀圖可得，共有20種等可能出現的結果，其中恰好抽取一男一女的結果有12種，
故恰好抽取一男一女的概率為．
八、（本題14分）
23．（14分）【問題背景】
在平行四邊形中，是邊上一點，延長至點使得，連接，延長交于點．
【特例感知】
（1）如圖1，若四邊形是正方形時，
①求證：△；
②當時中點時， 67.5 度．
【深入研究】
（2）如圖2，若四邊形是菱形，，當為中點時，求的長；
【拓展提升】
（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，點在的延長線上且滿足，當△是直角三角形時，請直接寫出的長．
【解答】（1）四邊形是正方形，
，，
①證明：，
，且，，
△△，
，
，
△△；
②解：如圖，連接，
四邊形是正方形，是對角線，
，
，，，
，
則，
即，
點是的中點，
，
是的垂直平分線，
，
即△是等腰三角形，
平分，
即，
在△中，，
故答案為：67.5；
（2）解：四邊形菱形，
，
如圖，過點作，交于點，且當為中點，
，
△△，
，
點是中點，
則，
是△的中位線，
，
設，則，，
，
△△，
，
即，
整理得，
解得（不符合題意，舍去），，
的長為；
（3）解：四邊形是矩形，，，
，，
，
，
，
第一種情況，如圖，當，△是直角三角形，
設，則，
在△中，，
，
，
則，
，
，且，
△△，
，
即，
整理得，
解得，，
檢驗，當時，原分式方程的分母有意義，
或；
第二種情況，如圖，，△是直角三角形，過點作延長線于點，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，，
，
，
△等腰三角形，則，
，
△△，
，
，
，
，，，
，
，
，
綜上所述，或或．

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