1．（2分）在下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分）根式，，，中，與是同類二次根式的有 個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）下列關(guān)于的方程中一定有實(shí)數(shù)解的是
A．B．C．D．
4．（2分）下列說(shuō)法中，正確的是
A．每個(gè)命題不一定都有逆命題
B．每個(gè)定理都有逆定理
C．真命題的逆命題仍是真命題
D．假命題的逆命題未必是假命題
5．（2分）下列命題中是真命題的是
A．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直
C．三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和
D．等邊三角形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形
6．（2分）下列從左到右的變形不一定正確的是
A．B．C．D．
二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．（2分）的一個(gè)有理化因式是 ．
8．（2分）化簡(jiǎn)：（其中 ．
9．（2分）若，則 ．
10．（2分）將命題“同角的余角相等”，改寫(xiě)成“如果，那么”的形式 ．
11．（2分）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類根式，則 ．
12．（2分）計(jì)算： ．
13．（2分）不等式的解集是 ．
14．（2分）某木器廠今年二月份生產(chǎn)了課桌500張，從三月份起加強(qiáng)了管理，產(chǎn)量逐月上升，四月份產(chǎn)量達(dá)到605張．如果三、四月份的月增長(zhǎng)率相同，設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意可列方程為 ．
15．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： ．
16．（2分）將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)得 ．
17．（2分）若實(shí)數(shù)是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是 ．
18．（2分）小明在解方程時(shí)采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．
請(qǐng)你學(xué)習(xí)小明的方法，解決下列問(wèn)題：
解方程，得方程的解為 ．
三、簡(jiǎn)答題：（本大題共6題，每題5分，滿分30分）
19．（5分）計(jì)算：．
20．（5分）計(jì)算：．
21．（5分）解方程：．
22．（5分）解方程：．
23．（5分）解方程：．
24．（5分）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)代數(shù)式，并求代數(shù)式的值．
四．解答題（本大題共4題，第25～27題每題8分，第28題10，滿分34分）
25．（8分）一個(gè)物流公司因?yàn)闃I(yè)務(wù)拓展，計(jì)劃建造一個(gè)面積為150平方米的矩形倉(cāng)庫(kù)，為節(jié)約材料，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，墻長(zhǎng)18米，另三邊用鐵柵欄圍成，且在與墻平行的一邊要開(kāi)一扇2米寬的門，已知鐵柵欄材料的總長(zhǎng)為33米，求矩形倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)與寬應(yīng)分別為多少米？
26．（8分）已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若，且，，都是整數(shù)，求的最大值及這種情況下方程的解．
27．（8分）如圖，在△中，，．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
（1）如圖1，求證：△△；
（2）如圖2，的平分線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，證明：；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，當(dāng) 時(shí)△是等腰三角形．
28．（10分）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解．
（1）根據(jù)求根公式可求得 ， ．
（用含字母，，的代數(shù)式表示）
（2）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
①請(qǐng)用含的代數(shù)式表示 ； ．
②若實(shí)數(shù)為整數(shù)，且滿足的值也為整數(shù)，則 ．
（3）若，，，為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，則 ．
參考答案
一、選擇題：（本大題共6題，每題2分，滿分12分）
1．（2分）在下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意，
故選：．
2．（2分）根式，，，中，與是同類二次根式的有 個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
解：與不是同類二次根式；
與是同類二次根式；
與不是同類二次根式
只有與是同類二次根式，共1個(gè)，
故選：．
3．（2分）下列關(guān)于的方程中一定有實(shí)數(shù)解的是
A．B．C．D．
解：、，△，故此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、，△，故此方程有實(shí)數(shù)解，此選項(xiàng)正確；
、，△，故此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、，△（由于的值不確定，故可以，可以，故此方程不一定有實(shí)數(shù)解，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
4．（2分）下列說(shuō)法中，正確的是
A．每個(gè)命題不一定都有逆命題
B．每個(gè)定理都有逆定理
C．真命題的逆命題仍是真命題
D．假命題的逆命題未必是假命題
解：、每個(gè)命題一定都有逆命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，不符合題意；
、每個(gè)定理不一定都有逆定理，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，不符合題意；
、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，不符合題意；
、假命題的逆命題未必是假命題，說(shuō)法正確，符合題意；
故選：．
5．（2分）下列命題中是真命題的是
A．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直
C．三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和
D．等邊三角形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形
解：、有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，所以選項(xiàng)為假命題；
、兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直兩直線平行，所以選項(xiàng)為真命題；
、三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，所以選項(xiàng)為假命題；
、等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，所以選項(xiàng)為假命題．
故選：．
6．（2分）下列從左到右的變形不一定正確的是
A．B．C．D．
解：，則不符合題意；
中若，都小于0，那么原式，則符合題意；
，則不符合題意；
，則不符合題意；
故選：．
二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．（2分）的一個(gè)有理化因式是 ．
解：，
的一個(gè)有理化因式為．
故答案為：．
8．（2分）化簡(jiǎn)：（其中 ．
解：二次根式有意義，
，
，
，
，
，
故答案為：．
9．（2分）若，則 3 ．
解：由題意得：，，
解得，
把代入，
，
；
故答案為：3．
10．（2分）將命題“同角的余角相等”，改寫(xiě)成“如果，那么”的形式 如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等． ．
解：命題“同角的余角相等”，可以改寫(xiě)成：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等．
故答案為如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等．
11．（2分）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類根式，則 9 ．
解：由題可知，
，
解得，
又知，
解得，
故
故答案為：9．
12．（2分）計(jì)算： ．
解：，
，
故答案為：．
13．（2分）不等式的解集是 ．
解：移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
解得：，
；
故答案為：．
14．（2分）某木器廠今年二月份生產(chǎn)了課桌500張，從三月份起加強(qiáng)了管理，產(chǎn)量逐月上升，四月份產(chǎn)量達(dá)到605張．如果三、四月份的月增長(zhǎng)率相同，設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意可列方程為 ．
解：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為，
由題意得，；
故答案為．
15．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： ．
解：根據(jù)題意可知，使，
所以△，
所以，
即，
所以
．
故答案為：．
16．（2分）將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)得 ．
解：有意義，
，
，
，
，
原式，
故答案為：．
17．（2分）若實(shí)數(shù)是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是 2022 ．
解：由條件可知：，
，
，
故答案為：2022．
18．（2分）小明在解方程時(shí)采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．
請(qǐng)你學(xué)習(xí)小明的方法，解決下列問(wèn)題：
解方程，得方程的解為 或 ．
解：，
又由，
可得，
將這兩式相加可得，
，
，
或，
經(jīng)驗(yàn)或是原方程的解，
故答案為：或．
三、簡(jiǎn)答題：（本大題共6題，每題5分，滿分30分）
19．（5分）計(jì)算：．
解：
．
20．（5分）計(jì)算：．
解：原式
．
21．（5分）解方程：．
解：，
，
或，
解得：．
22．（5分）解方程：．
解：
整理得：，
，
解得：．
23．（5分）解方程：．
解：，
，
，
，
或，
，．
24．（5分）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)代數(shù)式，并求代數(shù)式的值．
解：，
，
，
原式
，
當(dāng)時(shí)，原式．
四．解答題（本大題共4題，第25～27題每題8分，第28題10，滿分34分）
25．（8分）一個(gè)物流公司因?yàn)闃I(yè)務(wù)拓展，計(jì)劃建造一個(gè)面積為150平方米的矩形倉(cāng)庫(kù)，為節(jié)約材料，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，墻長(zhǎng)18米，另三邊用鐵柵欄圍成，且在與墻平行的一邊要開(kāi)一扇2米寬的門，已知鐵柵欄材料的總長(zhǎng)為33米，求矩形倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)與寬應(yīng)分別為多少米？
解：設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為米，
根據(jù)矩形面積公式得，，
整理，得，
解得：，，
所以當(dāng)垂直于墻的邊長(zhǎng)為7.5米，則平行于墻的長(zhǎng)度為（米米，舍去；
當(dāng)垂直于墻的邊長(zhǎng)為10米，則平行于墻的長(zhǎng)度為（米；
答：倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)為15米，寬為10米．
26．（8分）已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若，且，，都是整數(shù)，求的最大值及這種情況下方程的解．
解：（1），是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得；
（2）由（1）得，，
，
，
由可得：，
，，都是整數(shù)，
為開(kāi)方數(shù)，
或41或46或53或62或73或86，
的最大值為86，
此時(shí)方程為，
解得：，．
27．（8分）如圖，在△中，，．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
（1）如圖1，求證：△△；
（2）如圖2，的平分線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，證明：；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，當(dāng) 或 時(shí)△是等腰三角形．
【解答】（1）證明：，
，
，
，
，
線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
，
，
△△；
（2）證明：是的平分線，
，
由（1）知，，△△，
，
，
△△，
，
，
；
（3）解：由題意可分：①當(dāng)△是以的等腰三角形時(shí)，則有：，
△是等邊三角形，
，
；
②當(dāng)△是以的等腰三角形時(shí)，如圖所示：
，，
垂直平分，
，
平分，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
解得：；
③當(dāng)時(shí)，則，
，
，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
此種情況是不成立的；
綜上所述：當(dāng)或時(shí)，△是等腰三角形；
故答案為：或．
28．（10分）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解．
（1）根據(jù)求根公式可求得 ， ．
（用含字母，，的代數(shù)式表示）
（2）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
①請(qǐng)用含的代數(shù)式表示 ； ．
②若實(shí)數(shù)為整數(shù)，且滿足的值也為整數(shù)，則 ．
（3）若，，，為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，則 ．
解：（1），是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
根據(jù)求根公式可得，
，
，
，
故答案為：，．
（2）①，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
①，
故答案為：1，．
②
，
的值為整數(shù)，
或或，
方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
△，解得：，
或或．
（3），，，為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，
由此可知，是方程的兩根，即的兩根，
，
，
故答案為：．

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