北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高三(上)期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高三(上)期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共19頁(yè)。試卷主要包含了解答題共6小題，共85分.等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.
1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合A，然后求出，進(jìn)而求得.
【詳解】由，得，所以,
因?yàn)?，所?
所以.
故選：D.
2. 不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，即可得到結(jié)果.
【詳解】，則，解得，故原不等式的解集為．
故選：C
3. 已知邊長(zhǎng)為2的正方形中，與交于點(diǎn)，則（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】找基底分別表示，然后計(jì)算即可.
【詳解】由題可知，,,
所以
故選：A
4. 已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）
A. 最大值B. 最小值
C. 最大值D. 最小值
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
故選：B.
5. 設(shè)，則“”是“”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【詳解】若，則，故不充分；若，則，而，故不必要，故選D.
考點(diǎn)：本小題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練不等式的性質(zhì)是解答好本類題目的關(guān)鍵.
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱得，再結(jié)合二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式即可.
【詳解】由題意，即，
而，
．
故選：A．
7. 近年來(lái)，人們?cè)絹?lái)越注意到家用冰箱使用的氟化物的釋放對(duì)大氣臭氧層的破壞作用.科學(xué)研究表明，臭氧含量與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，其中是臭氧的初始含量，為常數(shù).經(jīng)過(guò)測(cè)算，如果不對(duì)氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，經(jīng)過(guò)280年將有一半的臭氧消失.如果繼續(xù)不對(duì)氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，再經(jīng)過(guò)年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 280B. 300C. 360D. 640
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立等式，然后化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】由題可知， ，即，
兩式相比得
解得
故選：C
8. 已知函數(shù)若的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別畫出分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象，再對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)或時(shí)，兩圖象相交，
若的值域是，以實(shí)數(shù)為分界點(diǎn)，可進(jìn)行如下分類討論：
當(dāng)時(shí)，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；
同理當(dāng),值域也不是；
當(dāng)時(shí)，兩圖象相接或者有重合的部分，此時(shí)值域是；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
9. 已知，記在的最小值為，在的最小值為，則下列情況不可能的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先取特殊值，判斷可能得選項(xiàng)，然后綜合選項(xiàng)得到答案即可.
【詳解】由題可知，，區(qū)間與的區(qū)間長(zhǎng)度相同；

取，則，此時(shí)，，故A可能；
取，則，此時(shí)，，故B可能；
取，則，此時(shí)，，故C可能；
由三角函數(shù)性質(zhì)可知，假設(shè)，成立，必然有，
所以區(qū)間與的區(qū)間長(zhǎng)度大于，根據(jù)的函數(shù)圖象可知，
當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度大于，在區(qū)間與上的取值必然有正有負(fù)，
此時(shí)，，故與假設(shè)矛盾，故D不可能.
故選：D
10. 已知在數(shù)列中，，命題對(duì)任意的正整數(shù)，都有．若對(duì)于區(qū)間中的任一實(shí)數(shù)，命題為真命題，則區(qū)間可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系分析式子要有意義，數(shù)列中的項(xiàng)不能取那些值即可求解.
【詳解】p為真命題，則，
由從后往前推，
，, ,,,
而，排除，,排除，
由蛛網(wǎng)圖可知,而，之前的項(xiàng)會(huì)趨向于3，所以C項(xiàng)排除.
因?yàn)?，已?jīng)越過(guò)不能取值，故正確.
故選：D
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知復(fù)數(shù)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和模的公式即可.
【詳解】，
則.
故答案為：.
12. 已知函數(shù)若，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】首先求出，再對(duì)分類討論即可.
【詳解】，
則，，
當(dāng)時(shí)，由，得；
當(dāng)時(shí)，由，得.（舍去）
故答案為：3
13. 已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，，，中的三個(gè)點(diǎn)，寫出滿足條件的一個(gè)的值為______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】分類討論圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可.
【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
若該冪函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，該冪函數(shù)方程為，
過(guò)點(diǎn)， ，，不過(guò)，符合題意；
若該冪函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，該冪函數(shù)方程為，此時(shí)過(guò)點(diǎn)，，，不過(guò)，符合題意；
若該冪函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，則此時(shí)，點(diǎn)也在該圖象上；
綜上，或均符合題意
故答案為：（答案不唯一）
14. 在中，，.
（1）_____；
（2）若的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為，則最短邊的長(zhǎng)為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用三角形三內(nèi)角和為計(jì)算即可；
（2）先確定最長(zhǎng)邊和最短邊，然后利用正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題可知
所以；
（2）由題可知，最長(zhǎng)邊為邊，最短邊為邊；
易知
由正弦定理可知，
故答案為：；
15. 以表示值域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當(dāng)，時(shí)，，.
給出下列命題：
①“函數(shù)”的充要條件是“，關(guān)于的方程都有實(shí)數(shù)解”；
②“函數(shù)”的充要條件是“既有最大值，也有最小值”；
③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則；
④若函數(shù)，的定義域相同，且，，則.
其中，正確命題的序號(hào)是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】①中，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域的定義，轉(zhuǎn)化成用簡(jiǎn)易邏輯語(yǔ)言表示出來(lái)；
②中舉反例保證函數(shù)的值域?yàn)榧系淖蛹涤蚴且粋€(gè)開區(qū)間，從而說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有最值；③根據(jù)反證法可判斷；④中根據(jù)函數(shù)的值域，可以發(fā)現(xiàn)，從而發(fā)現(xiàn)命題正確；
【詳解】對(duì)①，“”即函數(shù)值域?yàn)椋?br>“，關(guān)于的方程都有實(shí)數(shù)解”表示的是函數(shù)可以在中任意取值，
命題①是真命題；
對(duì)②，若函數(shù)，即存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．
．例如：函數(shù)滿足，則有，
此時(shí)，無(wú)最大值，無(wú)最小值．命題②是假命題；
對(duì)③，若函數(shù)，的定義域相同，且，，
則值域?yàn)?，即，?br>若，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，，
而，故存在，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，有，
這與矛盾，故,故命題③是真命題．
對(duì)④，若函數(shù)，的定義域相同，且，，
則值域?yàn)?，即，并且存在一個(gè)正數(shù)，使得，
，則．命題④是真命題．
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).
三、解答題共6小題，共85分.
16. 已知函數(shù)，其中，.記的最小正周期為，.
（1）求的值；
（2）若與軸相鄰交點(diǎn)間的距離為，求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）的最小值為,的最大值為
【解析】
【分析】（1）首先利用和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性以及即可求得的值；
（2）首先根據(jù)題意得出的最小正周期，進(jìn)而可得，再利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得最值.
【小問(wèn)1詳解】
由兩角和與差的正弦公式可得,
由于，則的最小正周期為，
,
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榕c軸相鄰的兩交點(diǎn)間的距離為，
所以的最小正周期為，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得：當(dāng)即x=0時(shí)，取最小值,
當(dāng)即時(shí)，取最大值.
17. 在中，.
（1）求的大??；
（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求邊上中線的長(zhǎng).
條件①：的面積為；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）
（2）選①時(shí)三角形不存在；選②時(shí)邊上的中線的長(zhǎng)為；選③時(shí)邊上的中線的長(zhǎng)為.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及得到，結(jié)合，得到；
（2）選①，由三角形面積和余弦定理得到，由推出矛盾；
選②，先求得，則可得，再利用余弦定理求解即可得中線長(zhǎng).
選③，根據(jù)三角恒等變換得到，是以為斜邊的直角三角形，由正弦定理得到，求出中線.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理及，
得.（i）
因?yàn)?，所?（ii）
由（i）（ii）得.因?yàn)?，所?
所以.因，所以.
【小問(wèn)2詳解】
選①，的面積為，即，即，解得，
因?yàn)?，由余弦定理得?br>即，解得，
由基本不等式得，但，
故此時(shí)三角形不存在，不能選①，
選條件②：，
兩邊平方得，（iii）
由余弦定理得，即，（iiii）
聯(lián)立（iii）（iiii）得，所以，
設(shè)邊上的中線長(zhǎng)為，由余弦定理得
.
所以邊上的中線的長(zhǎng)為1.
選條件③：.
由（1）知，.
所以
.
所以.
因?yàn)?，所?
所以，即.
所以是以為斜邊的直角三角形.
因?yàn)椋?br>所以.
所以邊上的中線的長(zhǎng)為.
18. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，，設(shè)，恒成立，由，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，使，解不等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)
恒成立
所以在上是減函數(shù)，且
則當(dāng)時(shí)，，即，
則當(dāng)時(shí)，，即，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，所以，
令，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上的最小值為，
所以若關(guān)于的不等式有解，則，
即
19. 已知橢圓：（）的左頂點(diǎn)為，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為.過(guò)定點(diǎn)（）作與軸不重合的直線交于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.
（1）求的方程；
（2）是否存在點(diǎn)，使得等于定值？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）由題可知，，然后利用的關(guān)系求解即可.
（2）先設(shè)直線的方程為，，然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算得到，然后求出，，再計(jì)算的值，化簡(jiǎn)最后求出即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題可知，
得
所以橢圓的方程為
【小問(wèn)2詳解】
由題可知，直線不能水平，A-2,0
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立
所以
直線方程為y=y1x1+2x+2
所以，同理
所以
若，得或
當(dāng)時(shí)，，得或，成立
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以存在點(diǎn)，使得等于定值，或.
20. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；
（2）若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，是否存在三個(gè)實(shí)數(shù)且？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）按照求具體函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程的方法求解即可；
（2）先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立，參變分離，求參數(shù)的范圍即可；
（3）先判斷函數(shù)的單調(diào)性的情況，然后再判斷不存在即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題得
所以
所以
所以在點(diǎn)1,f1處的切線方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由題得
要使函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，
則恒成立，
即恒成立，
令
得，
令，得
顯然，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；
故
所以
【小問(wèn)3詳解】
不存在，理由如下，
由題得
因?yàn)?，顯然當(dāng)時(shí)，，
由（2）可知，在單調(diào)遞增，
所以在上由唯一的零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，f'x