一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確答案的序號在答題卡上涂黑）
1. 計算的結果是（ ）
A. 10B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
故選：B．
2. 龍-中華文化代表性符號，寓意吉祥，而龍紋代表著人們對美好生活的祈盼，以下是甲辰龍年春節(jié)期間設計師劉輝將全國34個省、市、自治區(qū)的簡稱融合進“龍”的造型設計出的“龍紋”圖案，其中文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A. 京龍B. 蘇龍C. 滬龍D. 晉龍
【答案】D
【解析】A．該圖形找不到一條直線使直線左右兩部分互相重合，所以不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．該圖形找不到一條直線使直線左右兩部分互相重合，所以不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．該圖形找不到一條直線使直線左右兩部分互相重合，所以不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．該圖形找到一條豎直的直線使直線左右兩部分互相重合，所以是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
故選：D．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．，選項錯誤，不符合題意；
B．，選項錯誤，不符合題意；
C．，選項正確，符合題意；
D．，故選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
4. 在國家外匯管理局最新發(fā)布的2024年4月統計數據中，4月份銀行結匯金額達到12336億元人民幣，較上月增長，售匯金額為15036億元人民幣，同比增長．數據15036億用科學記數法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】15036億，
故選：A．
5. 不等式組的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式組的解集為
故選：D
6. 用配方法將二次函數化為的形式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故選：C．
7. 太原北齊壁畫博物館于2023年12月20日開館，它是全國首座原址建設的北齊壁畫博物館，以北齊壁畫展示為核心，解讀北朝時期晉陽在文化交流、民族融合等方面的重要地位．場館一層分三個展廳：第一展廳（別都華彩），第二展廳（一眼千年）和第三展廳（簡易標美）．某中學兩名學生計劃利用周末時間隨機選擇一個展廳進行志愿者活動，則他倆恰好選擇同一展廳的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用樹狀圖求出兩位學生選擇展廳的情況：
即共有9種情況，兩位學生恰好選擇同一展廳的情況有3種，
∴，
故選：D．
8. 我們知道有機物是生命產生的物質基礎，所有的生命體都含有有機物．有機物主要是由碳元素、氫元素組成．烷烴是一類最基本的有機物，從結構上可看作其他各類有機體的母體，而球棍模型能夠直觀地展示各個原子之間的化學鍵連接情況．如圖是幾種常見烷烴的球棍模型，依此規(guī)律，烷烴的通式中的x指的是（用含n的代數式表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由所給圖形可知，
第1個圖形中C的個數為1，H的個數為，
第2個圖形中C的個數為2，H的個數為，
第3個圖形中C的個數為3，H的個數為，
第4個圖形中C的個數為4，H的個數為，
……
∴第n個圖形中C的個數為n個，H的個數為個，
∴烷烴的通式中的x指的是，
故選：B.
9. 如圖，平行四邊形一邊在y軸上，一次函數與反比例函數的圖象在第一象限內交于點A，D，已知點A的橫坐標為4，D為的中點，則當時，x的取值范圍是（ ）

A. 或B.
C. D.
【答案】A
【解析】過點D作軸于點G，過點A作軸于點E，

∵四邊形是平行四邊形，∴軸，
∵軸，∴軸，∴；
∵點A的橫坐標為4，∴，∴，
∴點G的橫坐標為2，
∵反比例函數的圖象在第一象限過點A，D，
∴當時，，當時，，
∴點A的坐標為，點D的坐標為，
由函數圖象得到，當時，x的取值范圍是或，
故選：A
10. 如圖，已知AB是的直徑，弦，若，，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】連接，設與交于點E，如圖，

∵
∴，，，
∴，
∴陰影部分面積等于扇形的面積，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
故選：C．
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11. 計算：________．
【答案】
【解析】，
故答案為：.
12. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】原式．
故答案為：．
13. 太原市某區(qū)2月連續(xù)六天的氣溫變化情況如下圖所示，則這六天中最高氣溫的眾數是________．
【答案】
【解析】由圖可知，這六天中最高氣溫出現次數最多的數據是，
故答案為：．
14. 如圖，A是外一點，連接交于點B，D是的中點，C是上一點且滿足，分別連接，若，則________．
【答案】
【解析】連接，
∵D是的中點，∴，
∵，∴，
∴，
∴
，
∴，
∴.
15. 如圖，在四邊形中，，對角線，相交于點E，且，若，，則的長為________．
【答案】
【解析】在上取一點K，使得，延長交于點H，連接，如圖
∵
∴四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
由勾股定理可得，．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16. （1）計算：．
（2）化簡：．
解：（1），
原式.
（2），
原式.
17. 太原“老鼠窟”元宵有“味壓群芳、譽冠并州”的美稱，現已被列入山西省非物質文化遺產名錄．元宵節(jié)前夕，王某計劃購買“老鼠窟”元宵送給親朋好友，已知袋裝元宵每袋450克，禮盒裝元宵每盒900克，禮盒裝元宵的單價比袋裝元宵的單價高19元，若用260元單獨購買袋裝元宵與用640元單獨購買禮盒裝元宵的數量相同．
（1）求袋裝元宵和禮盒裝元宵的單價．
（2）若王某計劃用不超過850元購進袋裝元宵、禮盒裝元宵共40件，則最多可以購進禮盒裝元宵多少盒？
解：（1）設袋裝元宵的單價是元，則禮盒裝元宵的單價是元，
根據題意得：，解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
．
（2）設購進盒禮盒裝元宵，則購進袋袋裝元宵，
根據題意得：，解得：，
又為正整數，的最大值為17．
答：最多可以購進禮盒裝元宵17盒．
18. 在進行“圖形的性質與判定”單元主題復習時，數學老師引導同學們得到如下結構圖：
（1）通過不同類型的三角形繞某一固定點旋轉得到特殊的四邊形，這一圖形變化體現了上述特殊四邊形共有的性質是________．
A．軸對稱性 B．中心對稱性 C．旋轉對稱性
（2）上述結構圖中的②所指的定理是________．
A．對角線相等的矩形是正方形 B．對角線互相垂直的矩形是正方形
C．對角線相等的菱形是正方形 D．有一組鄰邊相等的矩形是正方形
（3）如下圖，A是直線l外一點，以A為圓心畫弧，交直線l于M，N兩點；分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；連接交直線l于點O，再以O為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點C；最后以A為圓心，長為半徑畫弧，交直線l于點B，D，連接．求證：四邊形是菱形．
（1）解：過不同類型的三角形繞某一固定點旋轉得到特殊的四邊形，這一圖形變化體現了上述特殊四邊形共有的性質是中心對稱性，
故選：B
（2）解：上述結構圖中②所指定理是對角線互相垂直的矩形是正方形，對角線相等的菱形是正方形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，
故選：BCD
（3）證明：由題意可得，，，
∴垂直平分，
∴，
由題意可知，，
∴，垂直平分，
∴
∴
∴四邊形是菱形．
19. 我國有登高祈福的傳統．春節(jié)期間，在山西省永濟市鸛雀樓景區(qū)，游客紛紛登上鸛雀樓，極目遠眺黃河，感受唐代詩人王之渙《登鸛雀樓》“欲窮千里目，更上一層樓”的意境．某“綜合與實踐”小組來到鸛雀樓景區(qū)，開展了測量鸛雀樓高度的實踐活動，他們制訂了測量方案，并利用寒假完成了實地測量．他們在鸛雀樓底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了鸛雀樓頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了三次并取它們的平均值作為測量結果，測量數據如下表（不完整）：

（1）任務一：三次測量A，B之間的距離的平均值是________m．
（2）任務二：根據以上測量結果，請你幫助“綜合與實踐”小組求出鸛雀樓的高度．（結果精確到．參考數據：，，，，，）
解：（1）任務一：三次測量A，B之間的距離的平均值是，
故答案為：；
（2）由題意可得四邊形和四邊形是矩形，
∴，
在中，，∴，
同理：，
∵，
∴，
又∵，，，，，
∴，
∴，
∴（m），
答：鸛雀樓的高度約為．
20. 在甲辰龍年到來之際，某中學組織學生利用寒假時間走進山西博物院，共赴一場跨越時空的文化之旅，體驗華夏文明的深厚底蘊與獨特魅力！山西博物院現有藏品50余萬件，主要來源于20世紀20年代以來的考古出土和百年來的征集積累，尤以青銅、書畫、瓷器、壁畫、石刻等頗具特色．

（1）某?！熬C合與實踐”小組為了了解全校1800名學生最感興趣的山西博物院藏品情況，計劃開展調查，下列調查方式中最為合理的是________．
A．對全校1800名學生進行全面調查 B．選擇部分年級的學生進行調查
C．選擇該校文物愛好小組的學生進行調查 D．在全校每個年級中隨機抽取部分學生進行調查
（2）通過選擇最為合理的調查方式開展調查，形成了如下調查報告（不完整）：
××中學學生最感興趣的山西博物院藏品情況調查報告
結合調查信息，解決下列問題：
①本次共調查了多少名學生？
②被調查的學生中對石刻最感興趣的人數有多少？
③補全扇形統計圖．
④估計該校1800名學生中對壁畫最感興趣人數．
解：（1）調查方式中最為合理的是：在全校每個年級中隨機抽取部分學生進行調查，
故選：D．
（2）①（名）
答：本次共調查了100名學生．
②（人）
答：被調查的學生中對石刻最感興趣的人數有5人．
③C類別人數所占百分比為：，
D類別人數所占百分比為：，
A類別人數所占百分比為：，
補全扇形圖如下：

④（人）
答：估計該校1800名學生中對壁畫最感興趣的人數約為270人．
21. 閱讀與思考：請閱讀下列材料，完成相應任務．
從勾股定理的“無字證明”談起
在勾股定理的學習過程中，我們已經學會運用一些幾何圖形驗證勾股定理．如圖1是古印度的一種證明方法：過正方形的中心O，作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一個大正方形．這種方法，不用運算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．

意大利著名畫家達·芬奇用如圖2所示的方法證明了勾股定理，其中圖甲的空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，圖丙的空白部分由兩個直角三角形和一個正方形組成．設圖甲中空白部分的面積為，圖丙中空白部分的面積為．
任務：
（1）下面是小亮利用圖2驗證勾股定理的過程，請你幫他補充完整．
解：根據題意，得________
．
∵，
∴________，即________．
（2）我國是最早了解勾股定理的國家之一．東漢末年數學家劉徽在為《九章算術》作注中依據割補術而創(chuàng)造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”．如圖3，若，，則的長度為________．
（3）在初中的數學學習中，我們已經接觸了很多代數恒等式．一些代數恒等式也可以通過“無字證明”來解釋．可以借助圖4直觀地解釋的代數恒等式為________．借助此方法可將抽象的數學知識變得直觀且具有可操作性，從而幫助我們解決問題，在此過程中體現的數學思想是________．
A．分類討論思想 B．公理化思想 C．數形結合思想 D．從特殊到一般的思想
（4）借助圖5可以直觀解釋的式子為________．（填序號）
①； ②；
③； ④．
（5）實際上，初中數學還有一些代數恒等式（除上述涉及的）也可以借助“無字證明”來直觀解釋，請你舉出一例，畫出圖形并直接寫出所解釋的代數恒等式．
解：（1）根據題意，得，
．
∵，
∴，即．
故答案為：；；．
（2）∵，，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由圖可知，，體現了數形結合的思想，
故答案為：；
故選：C．
（4）由圖可知，，
故選：②．
（5），圖形如圖所示：

22. 綜合與探究
如圖，已知拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的函數表達式．
（2）若，求m的值．
解：（1）∵拋物線與x軸交于點，，
∴，解得，
∴拋物線的函數表達式為．
（2）當點P在軸下方時，如圖，過點P作軸于點D，則點D的坐標為，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
即，
解得
其中不合題意，故
當點P在軸上方時，如圖，過點P作軸于點E，則點E的坐標為，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
即，
解得
其中不合題意，故
綜上可知，或.
23. 綜合與實踐
問題情境：
在正方形中，，O是對角線的中點，連接，將繞點C順時針旋轉一定角度得到，G是的中點，連接交于點F，連接交于點H．
猜想證明：
（1）如圖1，P是的中點，連接，在旋轉過程中，當點E在的延長線上時，試猜想與的數量關系，并說明理由．
問題解決：
（2）如圖2，當經過點G時，連接，此時恰好，求線段的長度．
（3）在旋轉過程中，當A，，E三點共線時，請直接寫出的面積．
解：（1）∵四邊形是正方形，繞點C順時針旋轉一定角度得到，
∴，
∵點E在的延長線上，
∴，
又∵P是的中點，
∴．
（2）∵四邊形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∵O是對角線的中點，
∴，
又∵經過點G， ，
∴四邊形為正方形，
∴，
由勾股定理得，，
設，則，
由勾股定理得，，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
即．
（3）①當時，過點D作交于點N，設與交于點M，如圖，
由（2）可知，，，∴，
∵，，
∴，∴，即，
∴，解得，
∴；
②當時，過點E作交于點P，交于點Q，
設與交于點K，如圖，
同理可得，，，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
故的面積為或．課題
測量山西省永濟市鸛雀樓的高度
成員
組長：××× 組員：×××，×××，×××
測量工具
測角儀，皮尺等
測量示意圖

說明：線段表示鸛雀樓，測角儀的高度，測點A，B與H在同一條水平直線上，A，B之間的距離可以直接測得，且點G，H，A，B，C，D都在同一豎直平面內，點C，D，E在同一條直線上，點E在上
測量數據
測量項目
第一次
第二次
第三次
平均值
的度數
的度數
A，B之間的距離
調查目的
了解本校學生最感興趣的山西博物院藏品情況
調查方式
隨機抽樣調查
調查對象
××中學部分學生
調查內容
你最感興趣的山西博物院藏品是（必選且只能選一項）
A．青銅 B．書畫 C．瓷器 D．壁畫 E．石刻
調查結果


調查結論
……

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