一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由題意可得，解得．
故選：B.
2. 已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕?，則，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A B. 81C. D. 243
【答案】D
【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，
所以.
故選：D
4. 甲、乙、丙三人進(jìn)入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，則“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若甲是冠軍，則乙不是冠軍；若乙不是冠軍，則甲是冠軍或丙是冠軍，
所以“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的充分不必要條件.
故選：B
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，?br>所以
解得，
所以.
故選：A
6. 溶液的酸堿度是用來(lái)衡量溶液酸堿性強(qiáng)弱程度的一個(gè)指標(biāo)，在化學(xué)中，常用值來(lái)表示溶液的酸堿度．的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知A溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則A溶液的值約為（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 0.268B. 0.87C. 1.13D. 1.87
【答案】B
【解析】由題意得
.
.
故選：B
7. 如圖，AB是圓O的一條直徑，CD是圓O的一條弦，點(diǎn)P在線段CD上，若，，則的最小值是（ ）
A 41B. 50C. 82D. 100
【答案】C
【解析】如圖，連接.由題意得是線段的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)椋?br>所以，
所以.因?yàn)椋?br>所以圓心到直線的距離，所以，
所以，故的最小值是82.
故選：C.
8. 已知函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
由在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.
9. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A.
B.
C.
D. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
【答案】ACD
【解析】因?yàn)椋?br>所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，故C正確.
因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確．
故選：ACD.
10. 設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 的外接圓的面積是
C. 的面積的最大值是D. 的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，
則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．
對(duì)于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．
因?yàn)棰?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的面積，則C項(xiàng)正確．
對(duì)于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，
所以
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，即取值范圍是，故D項(xiàng)正確．
故選：BCD.
11. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于A，由，得，A正確；
對(duì)于B，，，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，
則，
因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，C正確；
對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，
于是，因此，
所以，D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，．，若，則___________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以，解?
13. 正偶數(shù)排列如圖所表示第行第個(gè)數(shù)，如，若，則___________．
【答案】
【解析】由圖形可知，是圖形中第個(gè)數(shù)，
由題意可知第行有個(gè)數(shù)，則前行一共有個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則2024在第45行，即.因?yàn)?，所以?br>則.
14. 已知函數(shù)，若對(duì)任意的成立，則正數(shù)的取值范圍是______
【答案】
【解析】由，即，得.
因?yàn)?，所?
設(shè)，則.
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以.
設(shè)，則.
由，得，則在上單調(diào)遞減；
由，得，則在上單調(diào)遞增.
故，即.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．
（1）求的大?。?br>（2）若，且的面積是，求的值．
解：（1）因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，所以?br>所以，即，
所以，又，所以.
（2）因?yàn)榈拿娣e是，所以，解得.
由余弦定理可得，又，即，
則，即，故.
16. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．
解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
則，而，
所以所求切線方程為，即.
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，
由（1）知，則切線斜率，
切線方程為，而切線過(guò)點(diǎn)，
則，即
令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
求導(dǎo)得，由，得或；
由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，在時(shí)，取得極小值，
當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
因此當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，
所以的取值范圍為.
17. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
所以，即.
當(dāng)時(shí)，，解得，
則是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
故．
（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
.
綜上，.
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍．
解：（1）由題意可得，則.
因?yàn)椋?，所?
由圖可知，則，
解得.
因?yàn)?，所?
由圖可知，解得.
故.
（2）令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.
（3）因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以?br>即，解得，
故的取值范圍是．
19. 若存在有限個(gè)，使得，且不是偶函數(shù)，則稱(chēng)為“缺陷偶函數(shù)”，稱(chēng)為的偶點(diǎn).
（1）證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一.
（2）對(duì)任意x，，函數(shù)，都滿(mǎn)足.
①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn).
②若，證明：當(dāng)時(shí)，.
參考數(shù)據(jù)：，.
解：（1）由可得，
由可得，解得，
所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一，且為0，
（2）由可得對(duì)任意x，，恒成立，
所以存常數(shù)，使得,
令，則，且，
解得，
①，則，
由于是“缺陷偶函數(shù)”，故，
即，即，
則，得，
，
由于，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以有兩個(gè)極值點(diǎn).
②若，即，則，故，
當(dāng)時(shí)，要證，只需要證. ，
因?yàn)?，故?br>只需證，
令，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，
故
，
所以，從而，故，
時(shí)，得證.

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