注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，函數(shù)與導數(shù)，不等式，三角函數(shù)與解三角形，平面向量，復數(shù)，數(shù)列．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合，若，則
A.1B.2C.3D.4
2.已知，則下列不等式一定成立的是
A.B.C.D.
3.在等比數(shù)列中，，則
A.B.81C.D.243
4.甲、乙、丙三人進入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，則“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的
A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
5.已知，則
A.B.C.D.
6.溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強弱程度的一個指標，在化學中，常用pH值來表示溶液的酸堿度．pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知A溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則A溶液的pH值約為（參考數(shù)據(jù)：
7.如圖，AB是圓的一條直徑，CD是圓的一條弦，點在線段CD上，若6，則的最小值是
A.41B.50C.82D.100
8.已知函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點，則的取值范圍是
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9.已知復數(shù)，則
A.B.
C.D.在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限
10.設的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，且，則下列結論正確的是
A.B.的外接圓的面積是
C.的面積的最大值是D.的取值范圍是
11.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則
A.B.的圖象關于直線對稱
C.的圖象關于點中心對稱D.當時，
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，若，則______．
13.正偶數(shù)排列如圖所示，表示第行第個數(shù)，如，若，則______.
14.已知函數(shù)，若對任意的成立，則正數(shù)的取值范圍是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
（1）求的大小；
（2）若，且的面積是，求的值.
16.（15分）已知函數(shù).
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍.
17.（15分）設數(shù)列的前項和為，且.
（1）求的通項公式；
（2）若求數(shù)列的前項和.
18.（17分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.
19.（17分）若存在有限個，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，稱為的偶點.
（1）證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點唯一．
（2）對任意，函數(shù)都滿足.
①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個極值點.
②若，證明：當時，.
參考數(shù)據(jù)：.
滄衡名校聯(lián)盟高三年級2024-2025學年上學期期中考試數(shù)學參考答案
1.B由題意可得，解得.
2.C對于A，當時，不滿足，則A錯誤.對于B，當時，，則B錯誤.對于C，因為，所以，所以，則，故C正確．對于D，當時，不滿足，則D錯誤.
3.D設數(shù)列的公比為，則，解得，故．
4.B若甲是冠軍，則乙不是冠軍；若乙不是冠軍，則甲是冠軍或丙是冠軍.故“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的充分不必要條件．
5.A由題意可得解得，則.
6.B由題意得.
7.C如圖，連接PO.由題意得是線段AB的中點，所以.因為，所以，所以.因為，所以圓心到直線CD的距離，所以，所以100，故的最小值是82.
8.D因為，所以.因為在內(nèi)恰有兩個零點，所以，解得.
9.ACD因為，所以，所以，則A正確，B錯誤.因為，所以，則C正確.因為，所以在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限，則D正確．
10.BCD因為，所以，所以，因為，所以，又，所以，則A錯誤.設的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，則B正確.由余弦定理可得，即.因為，當且僅當時，等號成立，所以3，所以的面積，則C正確.由正弦定理可得，則，所以.因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故D正確．
11.ACD因為，所以，因為，所以，則A正確．因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以．因為，所以的圖象不關于直線對稱，則B錯誤．因為，所以．因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以的圖象關于點中心對稱，則C正確．因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當時，．設，則，所以.因為，所以，則D正確.
12.因為，所以.因為，所以，解得.
13.23由題意可知第行有個數(shù)，則前行一共有個數(shù).當時，，當時，，則2024在第45行，即.因為，所以，則.
14.由，即，得.因為，所以.設，則.因為，所以，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以.因為，所以1，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.設，則.由，得，則在上單調(diào)遞減；由，得，則在上單調(diào)遞增.故，即.
15.解：（1）因為，所以…………………1分
因為，所以，所以，………………………………………2分
所以，即，………………………………………4分
所以，又，所以.……………………………………………………6分
（2）因為的面積是，所以，解得.……………………8分
由余弦定理可得，即，…………………………………9分
則，…………………………………………………………………………………11分
即，…………………………………………………………………………12分
故.…………………………………………………………………………………………13分
16.解：（1）因為，所以，……………………………1分
所以，………………………………………………………………………………3分
則所求切線方程為，即（或）.………………………5分
（2）設過點的切線的切點為.
由（1）可知，則所作切線斜率.…………………6分
由直線的斜率計算公式可得，……………………………………7分
則，所以.………………………8分
因為過點可作曲線的三條切線，所以關于的方程有三個不同的實數(shù)根．……………………………………………………………………………………9分
設函數(shù)，則.………………10分
由，得或，則在和上單調(diào)遞增；……………………11分
由，得，則在上單調(diào)遞減.…………………………………………12分
由題意可得………………………………………14分
解得，即的取值范圍為.………………………………………………15分
17.解：（1）因為，所以當時，，………………………………1分
所以，即.……………………………………………………3分
當時，，解得，………………………………………………………4分
則是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，……………………………………………………………5分
故．……………………………………………………………………………………7分
（2）由（1）可知當為奇數(shù)時，；
當為偶數(shù)時，.……………………………………………………………………8分
當為奇數(shù)時，
…………………………………………………11分
當為偶數(shù)時，
.………………………………………………………………14分
綜上，………………………………………………………15分
18.解：（1）由題意可得，則.
因為，且，所以.………………………………………………………………2分
由圖可知，則，
解得.
因為，所以.……………………………………………………………………3分
由圖可知，解得.……………………………………………4分
故.……………………………………………………………………………5分
（2）令，…………………………………………………………7分
解得，…………………………………………………………………9分
故的單調(diào)遞減區(qū)間是.………………………………………………10分
（3）因為，所以，…………………………………………………11分
所以當，即時，取得最小值-2.…………………………………………13分
因為存在，使得不等式成立，所以0，……15分
即，解得，故的取值范圍是．………………………………………17分
19.證明：（1）由，得，
則，…………………………………………………………………………1分
解得，所以只有1個偶點，且偶點為0，
所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點唯一．……………………………………………………3分
（2）由題意得對恒成立，………………………4分
所以存在常數(shù)，使得…………………………………5分
令，得解得.……………………………………6分
①，由，得，
即，則，即．…………………………………………………………7分
，
因為，所以必有兩根（設），………………………………8分
當或時，，當時，，
所以函數(shù)有2個極值點．…………………………………………………………9分
②若，則，…………………………………………………10分
當時，要證，只需證.
因為，所以，
所以只需證.……………………………………………………………………12分
設函數(shù)，
則.
當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，0，則在上單調(diào)遞增，………………………………………………………………14分
所以.因為，
所以，………………16分
所以，從而，
故當時，.……………………………………………………………………17分

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