一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把正確答案的代號填在下表中）
1. 計算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
故選D．
2. 學(xué)校安全教育平臺秉承生命至上的理念，逐步實現(xiàn)安全教育常態(tài)化、科學(xué)化和系統(tǒng)化，提高師生安全防范意識和能力，最大限度地預(yù)防安全事故發(fā)生和減少安全事故對中小學(xué)生造成的傷害，保障中小學(xué)生健康成長．在下列安全圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A. 注意安全B. 水深危險
C. 急救中心D. 當(dāng)心火災(zāi)
【答案】C
【解析】四個選項中圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后的圖形分別為：
∴C中圖案是中心對稱圖形
故選：C
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A中，正確，故符合要求；
B中，錯誤，故不符合要求；
C中，錯誤，故不符合要求；
D ，錯誤，故不符合要求；
故選：A．
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為，
點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為，
故選：B．
5. 如圖，將一個長方形紙條折成如圖所示形狀，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)如下圖所示，
∵紙條的兩條對邊互相平行，∴，∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，∴，
故選：C．
6. 如圖的幾何體是圓柱的正中央挖去一個小圓柱形成的一個空心幾何體，其主視圖為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】從正面看外邊是一個大長方形，大長方形的里面是一個小一些的長方形，內(nèi)長方形的寬是虛線．
故選：C．
7. 元代數(shù)學(xué)家朱世杰于1303年編著的《四元玉鑒》中有這樣一道題目：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文，只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文．問綾、羅尺價各幾何？”其大意為現(xiàn)在有綾布和羅布，布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布分別全部出售后均能收入896文，綾布和羅布各出售一尺共收入120文．問兩種布每尺各多少錢？若設(shè)綾布有尺，則下列方程正確的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意得，
故選：B．
8. “五一”假期，前來參觀山西博物院的游客絡(luò)繹不絕，在文創(chuàng)體驗區(qū)，不少人手拿刻有特色文物的印章，將其印在自己精挑細(xì)選的明信片上．現(xiàn)有“晉候鳥尊”“鸮自”“獸形觥”“雁魚銅燈”四枚特色文物的印章（除圖案外，其他都相同），小樂從中隨機抽取一枚印章（不放回），再從中隨機抽取一枚印章，則小樂抽到的兩枚印章的圖案恰好是“晉候鳥尊”和“獸形觥”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)“晉候鳥尊”“鸮自”“獸形觥”“雁魚銅燈”四枚特色文物的印章依次記為，，，，
根據(jù)題意畫樹狀圖，如圖所示，

從上圖可以看出，共有12種等可能的情況，其中小樂抽到的兩枚印章的圖案恰好是“晉候鳥尊”和“獸形觥”的情況有2種．
∴小樂抽到的兩枚印章的圖案恰好是“晉候鳥尊”和“獸形觥”的概率為：．
故選：A．
9. 如圖，一個小球由靜止開始沿一個斜坡滾下，其速度每秒增加的值相同，若用表示小球滾動的時間，表示小球的速度，則下列圖象中，能表示小球在斜坡上時與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵一個小球由靜止開始沿一個斜坡滾下，其速度每秒增加的值相同，
∴定值，∴v與t是正比例函數(shù)的關(guān)系．故選：C．
10. 如圖，在中，，以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，且這條弧恰好也經(jīng)過點，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如圖，連接，
∵以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，∴，
∵以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，且這條弧恰好也經(jīng)過點，
∴，∴，
∴是等邊三角形，∴，
∵，，∴，，
∴，，∴為中點，
∴，
∴，
故選：D．
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11. 計算：_______．
【答案】
【解析】．
12. 近年來，中國航天取得舉世矚目的成就，“嫦娥”攬月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路……一個個首次，不斷刷新中國人在太空的印記；一次次騰飛，見證了我國從航天大國邁向航天強國的奮進(jìn)足跡．5月3日長征五號遙八運載火箭飛行約37分鐘后，器箭分離，將嫦娥六號探測器成功送人近地點高度200公里，遠(yuǎn)地點高度約38萬公里的預(yù)定地月轉(zhuǎn)移軌道．?dāng)?shù)據(jù)38萬用科學(xué)記數(shù)法表示為___________．
【答案】
【解析】38萬．
故答案為：
13. 2024年是長征出發(fā)90周年暨新中國成立75周年．如圖，這是一個五角星圖案，將此圖案繞中心旋轉(zhuǎn)一定角度后要與原圖重合，則至少旋轉(zhuǎn)___________．
【答案】72
【解析】由題意得：至少旋轉(zhuǎn)．
14. 七巧板起源于中國，又稱七巧圖、智慧板．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，它將正方形分割成七塊板（圖1），而這七塊板可以拼成許多圖形．實驗小組將七塊板拼成火箭的形狀（圖2），若圖1的大正方形的邊長為，則火箭的高度為___________．

【答案】
【解析】如圖，連接，
由題意知，，，，
∴圖2中的豎直高度為，4的豎直高度為，3的豎直高度為，7的豎直高度為，
∴火箭高度為，
故答案為：．
15. 如圖，的頂點在矩形的對角線上運動，連接．若，，則的最小值為___________．

【答案】
【解析】如圖，過點作于點，連接．

∵，
∴四點共圓，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，且是定值，
點在射線上運動，
∴當(dāng)時，的值最?。?br>四邊形是矩形，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
∵，
∴，
由勾股定理得，，
的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16. （1）計算：．
（2）先化簡，再求值：，其中．
解：（1）原式．
（2）原式
．
當(dāng)時，原式．
17. 隨著科技的發(fā)展，人工智能已經(jīng)席卷多個行業(yè)．某商場銷售甲、乙兩種不同型號的智能掃地機器人，甲型號智能掃地機器人每臺的實際售價比進(jìn)價高，乙型號智能掃地機器人每臺的實際售價比進(jìn)價高，甲型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價比乙型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價高100元，甲型號智能掃地機器人每臺的實際售價比乙型號智能掃地機器人每臺的實際售價高70元．分別求甲型號智能掃地機器人和乙型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價．
解：設(shè)乙型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價為元，則甲型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價為元．
由題意可得，
解得，．
答：甲型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價為600元，乙型號智能掃地機器人每臺的進(jìn)價為500元．
18. 某校為了有效提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，同時減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，決定在全校開展豐富多彩的課外活動，經(jīng)研究，確定體育、社會實踐、文化藝術(shù)、科技創(chuàng)新和讀書五類項目，并在組織活動前進(jìn)行了初步調(diào)查，調(diào)查要求只能從五類項目中選擇最感興趣的一項．現(xiàn)隨機抽查了名學(xué)生，并將其調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．請解答下列問題：
（1）求的值及“科技創(chuàng)新”所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)．
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）已知該校共有1000名學(xué)生，請你估計該校選擇“文化藝術(shù)”的學(xué)生人數(shù)．
（4）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，請你針對課外活動提出一條合理化建議．
解：（1）∵選擇“體育”的有21人，占，
，
，
∴“科技創(chuàng)新”所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為．
（2）選擇“社會實踐”的學(xué)生人數(shù)為．
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（3）．
答：該校選擇“文化藝術(shù)”的學(xué)生約有260人．
（4）對于課外活動，我認(rèn)為學(xué)校要加強科技創(chuàng)新宣傳，并提供相應(yīng)條件，促進(jìn)科技創(chuàng)新活動的開展．
19. 山西晉城景德橋，又名沁陽橋、西關(guān)大橋，是山西晉城市城區(qū)通往陽城、沁水的交通要道，是繼趙州橋之后我國現(xiàn)存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一，其主拱的結(jié)構(gòu)近似為圓弧形，某校“綜合與實踐”小組的同學(xué)為測量景德橋的主拱所在圓的半徑，撰寫了如下不完整的實踐報告：
解：設(shè)主拱所在的圓為，作直徑，連接，如圖所示：
則，
在中，，
，，
，
答：景德橋的主拱所在圓的半徑約為．
20. 某汽車監(jiān)測站用一種一氧化碳檢測儀測量家用燃油汽車尾氣中一氧化碳的含量，這種檢測儀的電路圖如圖1所示，其工作原理為當(dāng)尾氣中一氧化碳的濃度增加，氣敏電阻的阻值變小，電流隨之增大，即所顯示的一氧化碳含量就越高．已知氣敏電阻的阻值隨著尾氣中一氧化碳的含量變化的關(guān)系圖象如圖2所示，為定值電阻，電源電壓恒定不變．
（1）根據(jù)圖2可以判斷氣敏電阻與尾氣中一氧化碳的含量之間成___________函數(shù)，其函數(shù)解析式為___________．
（2）若某家用燃油汽車的氣敏電阻為，求該家用燃油汽車尾氣中一氧化碳的含量．
（3）若家用燃油汽車尾氣中一氧化碳的含量不超過方可達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)，請直接寫出該家用燃油汽車的氣敏電阻應(yīng)控制在什么范圍．
解：（1）由圖2可知，圖象上的點有，
∴，即，
∴R與β之間成反比例函數(shù)，解析式為：．
故答案為：反比例函數(shù)，．
（2）在中，當(dāng)時，，解得，
該家用燃油汽車尾氣中一氧化碳的含量為．
（3）根據(jù)題意得，，
由得，,∴，
∴.
21. 閱讀與思考
下面是小剛同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
（1）填空：材料中的依據(jù)1是指___________；依據(jù)2是指___________．
（2）將上述方法的證明過程補充完整．
（3）如圖3，在梯形中，，，，以，分別為邊構(gòu)造正方形、，連接，取線段的中點為，連接，則的面積為___________．
圖3
解：（1）由題意得：依據(jù)1：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
依據(jù)2：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）；
（2）補充證明為：，，
是的中點，
，
是的中位線，
，，
，
，，，
，．
（3）如圖，過點作直線于點，過點作直線于點，過點作直線于點，過點作直線于點，取的中點為，連接．
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
()，
，
同理可證：，
．
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
四邊形是梯形，為的中點，為的中點，
為梯形的中位線，
，，
，
，
．
22. 綜合與實踐
問題情境：
在“綜合與實踐”活動課上，老師給出了一張如圖1所示的正方形紙片，點在線段上，點在線段上，且滿足，連接．
數(shù)學(xué)思考：
（1）線段與的數(shù)量關(guān)系為___________，位置關(guān)系為___________．
猜想證明：
（2）如圖2，連接交于點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，取線段的中點并記為，連接，猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
拓展探究：
（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)三點共線時，直接寫出線段的長．
解：（1）．理由如下：
連接，如圖，
∵四邊形為正方形紙片，
∴， ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
則
（2）．
理由：如圖1，連接．
圖1
由（1）知，和都是等腰直角三角形．
是的中點，
，
，
，
，
，
，
．
在中，，
，
．
（3）線段的長為或．
情況1：如圖2，當(dāng)點在線段上時，
圖2
，
．
在中，．
是的中點，
．
，且點同一條直線上，
，
在中，，
．
，
．
情況2：如圖3，當(dāng)點在線段上時，
圖3
，
，
在中，．
是的中點，
．
，且點在同一條直線上，
．
在中，，
．
，
．
23. 綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，直線與拋物線交于，兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點的坐標(biāo)．
（2）求的值和點的坐標(biāo)．
（3）是第四象限內(nèi)拋物線上的動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，過點作于點．
①當(dāng)是線段的三等分點時，求點的坐標(biāo)；
②連接，，，在點運動的過程中，是否存在？若存在，直接寫出的長；若不存在，請說明理由．
解：（1）將點，點代入，
得，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
點的坐標(biāo)為．
（2）將點代入，解得，
聯(lián)立，解得（舍去），，
點的坐標(biāo)為．
（3）①由題意可知，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
．
是線段的三等分點，
或．
當(dāng)時，即，解得，（舍去），
點的坐標(biāo)為．
當(dāng)時，即，解得，（舍去），
點的坐標(biāo)為．
綜上所述，點的坐標(biāo)為或．
②存在，的長為．
如圖，過點作軸，過點作軸，令直線與軸的交點為，點關(guān)于直線對稱的點為，
，，
，，，
四邊形是正方形．
，
．
由正方形的對稱性可知，
．
把代入，得，
點在拋物線上，
當(dāng)點與點重合時，即滿足，
．測量對象
景德橋的主拱所在圓的半徑
成員
組長：×××．組員：×××，×××，×××
測量工具
測量角度的儀器，皮尺等
測量方案
將主橋拱記為，弦為水平面，設(shè)主拱所在圓的半徑為，在實地勘測拱橋后，“綜合與實踐”小組在上取了一點
測量示意圖
測量數(shù)據(jù)
，求半徑（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，，，，，，
反思
……
梯形的中位線
如圖1，在梯形中，，，是的中點，是的中點，連接，則叫作梯形的中位線，并滿足，．
圖1 圖2
證明：如圖2，連接并延長，交的延長線于點．
，
（依據(jù)1）．
是的中點，
．
，，，
（依據(jù)2），
……

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