一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個合題目要求的．
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由集合可得.
故選：A.
2. 已知1，是方程的兩個根，則的值為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可得.
故選：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由解得；由解得；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則等于（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，即，
則，解得.
故選：D.
5. 已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)可知，即；
再由對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)可知，即，
所以可得.
故選：B.
6. 方程的解所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，
對于A，因為，，
所以的零點不在內(nèi)，所以A錯誤；
對于B，因為，，
所以的零點不在內(nèi)，所以B錯誤；
對于C，因為，，
所以的零點在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，
所以C正確；
對于D，因為，，
所以的零點不在內(nèi)，所以D錯誤.
故選：C.
7. 已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】易知函數(shù)的圖象的分段點是x=1，
且過點，，又.
故選：B．
8. 已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)題意可知，由可得，
再根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性畫出函數(shù)圖象示意圖如下：
對于不等式，
當時，即時，，由圖可知；
當時，即時，，由圖可知；
因此不等式的解集為.
故選：D.
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列敘述正確的是（ ）
A.
B. 命題“”的否定是“或”
C. 設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件
D. 命題“”的否定是真命題
【答案】ABD
【解析】對于A：當時，，
所以為真命題，故A正確；
對于B：命題“”的否定是“或”，故B正確；
對于C：由且，可以推得出，
故“且”是“”的充分條件，故C錯誤；
對于D：命題“”的否定為：，顯然，
所以命題為真命題，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由題意得，.
A. ，選項A錯誤；
B. ，選項B錯誤；
由集合與元素的關(guān)系得，，，選項C，D正確.
故選：CD.
11. 下列說法不正確的是（ ）
A. 函數(shù) 在定義域內(nèi)是減函數(shù)
B. 若是奇函數(shù)，則一定有
C. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是
D. 若定義域為，則 的定義域為
【答案】ABC
【解析】對于AB，若，因為，是奇函數(shù)，
但，時，無意義，故AB描述不正確，符合題意；
對于C，已知函數(shù)在上是增函數(shù)，
首先當時，單調(diào)遞增，則，
其次當時，（對稱軸）單調(diào)遞增，則，即，
但若要保證函數(shù)在上是增函數(shù)，
還需滿足，即，
所以實數(shù)的取值范圍是 ，故C描述不正確，符合題意；
對于D，若的定義域為，則的定義域滿足，
解得，故D描述正確，不符合題意.
故選：ABC.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)，則的值是________．
【答案】7
【解析】因為，所以，
所以.
13. 計算：________．
【答案】1
【解析】
.
14. ，用表示中的最小者，記為，，則的最大值為______．
【答案】0
【解析】令，
由解得或，
作出函數(shù)圖象如下，
由圖象可得，，
則函數(shù)的圖象如下，
所以.
四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15 已知集合，集合．
（1）當時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）當時，，，
所以，.
（2）因為，所以，解得，
所以，實數(shù)的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當時，討論函數(shù)的最小值．
解：（1）由題意得，函數(shù)對稱軸為直線，
∵函數(shù)在上是減函數(shù)，∴，即.
（2）①當時，在上為增函數(shù)，；
②當時，在上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù)，；
③當時，在上為減函數(shù)，.
綜上得，當時，，
當時，，
當時，.
17. 已知函數(shù)，且．
（1）求；
（2）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（3）在區(qū)間上，若函數(shù)滿足，求實數(shù)取值范圍．
解：（1）∵，∴，∴.
（2）由于，
證明：，且，
則，
∵，∴，
∴，即，故在上單調(diào)遞增.
（3）∵在上單調(diào)遞增，所以，
∴，，
∴.
18. 已知函數(shù)，記集合為的定義域．
（1）求集合；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）當時，求函數(shù)的值域．
解：（1）由真數(shù)大于0可知，，.
（2），
可知定義域關(guān)于原點對稱，
，
故為奇函數(shù)．
（3）令，對稱軸，在上，，
又在上遞減，
故的值域是：．
19. 某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當時，曲線是函數(shù)(且)圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于80時聽課效果最佳．
（1）試求的函數(shù)關(guān)系式；
（2）老師在什么時段內(nèi)講解核心內(nèi)容能使學生聽課效果最佳？請說明理由．
解：（1）由題意知，當時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，
拋物線頂點坐標為，且曲線過點，
設(shè)二次函數(shù)為，則，解得，
則可得，．
又當時，曲線是函數(shù)(且)圖象的一部分，
且曲線過點，則，即，解得，
則，．
則.
（2）由題意知，注意力指數(shù)p大于80時聽課效果最佳，
當時，令，
解得：.
當時，令，
解得：.
綜上可得，.
故老師在這一時間段內(nèi)講解核心內(nèi)容，學生聽課效果最佳．

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