一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題
1．（3分）下列函數(shù)屬于二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝2x3+1C．y＝x2+2D．
2．（3分）在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為3cm，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在圓外B．點A在圓上C．點A在圓內(nèi)D．不能確定
4．（3分）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）
A．平移B．旋轉(zhuǎn)C．軸對稱D．黃金分割
5．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
6．（3分）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點且EF∥BC，AE：BE＝3：2，若△AEF的面積為9，則四邊形BCFE的面積為（ ）
A．4B．6C．12D．16
7．（3分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦AB長為8米，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
8．（3分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的圖象上三個點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
9．（3分）如圖，△ABC中，BC＝6，BD是中線，E是BD上一點，作射線AE，交BC于點F，若BE＝2DE，則FC＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，且OA＝kOC，有下列結(jié)論：；③k2ac﹣kb+1＝0；④，其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①④B．①③④C．①③D．②③④
二、填空題（本題共有6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）二次函數(shù)y＝x2+2x的對稱軸是直線 ．
12．（3分）若＝，則＝ ．
13．（3分）如圖，已知邊長為5cm的正方形二維碼，若想估算出二維碼黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取100個點，有70個點在黑色部分，則黑色部分的面積約為 cm2．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在CD的延長線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝ 度．
15．（3分）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80m，高度為200m．則離地面150m處的水平寬度（即CD的長）為 ．
16．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處，延長EF，與∠ABF的平分線相交于點M，BM交AD于點N．當(dāng)時，的值是 ．
三、解答題（本題共有8小題，共72分.請務(wù)必寫出解答過程）
17．（8分）如圖，有4張分別印有2023年杭州亞運(yùn)會吉祥物和會徽的卡片：A宸宸、B琮琮、C蓮蓮、D潮涌．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．
（1）第一次取出的卡片圖案為“D潮涌”的概率為 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張卡片為“A宸宸”的概率．
18．（8分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，其中點A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．
（1）畫出△A1OB1；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中線段OB掃過的圖形的面積為 ．
19．（8分）中國高鐵近年來用震驚世界的速度不斷發(fā)展，已成為當(dāng)代中國一張耀眼的“國家名片”，修建高鐵時常常要逢山開道、遇水搭橋，如圖，某高鐵在修建時需打通一直線隧道MN（M、N為山的兩側(cè)），工程人員為了計算M、N兩點之間的直線距離，選擇了在測量點A、B、C進(jìn)行測量，點B、C分別在AM、AN上，現(xiàn)測得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直線隧道MN的長．
20．（8分）如圖，若∠BAC＝90°，且AD⊥BC于點D．
（1）求證：△ABD∽△CAD；
（2）若BD＝4，CD＝9，求AD的長度．
21．（8分）如圖，拋物線y＝﹣x2+4交x軸于A，B兩點，頂點為C．
（1）求△ABC的面積．
（2）在拋物線上是否存在點P，使得若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC，CD⊥AB于點D，直徑BF交CD于點E．
（1）若∠FBC＝20°，求∠BAC的度數(shù)．
（2）求證：∠DBE＝∠DCB．
（3）若，BE＝4，求OE的長．
23．（10分）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）當(dāng)x1＝2，且b+c＝﹣6時，
①求b，c的值；
②當(dāng)﹣2≤x≤t時，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求證：．
24．（12分）如圖，⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OF＝3，P是上一點，連結(jié)CP，交AB于點E，連結(jié)AD，交CP于點G，AP的延長線與CD的延長線相交于點Q．
（1）若CP⊥AD，求證：．
（2）在（1）的條件下，求線段EG的長．
（3）連結(jié)AC，若△ADQ的面積為4k，△PDQ的面積為，求△ACQ面積的值．
2024-2025學(xué)年浙江省溫州市山海聯(lián)盟九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（B卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題
1．（3分）下列函數(shù)屬于二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝2x3+1C．y＝x2+2D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)是二次函數(shù)逐項判斷即得答案．
【解答】解：A．y＝2x+1是一次函數(shù)，選項A不符合題意；
B．y＝2x3+1是不是二次函數(shù)，選項B不符合題意；
C．y＝x2+2是二次函數(shù)，選項C符合題意；
D．y＝﹣2不是二次函數(shù)，選項D不符合題意．
故選：C．
2．（3分）在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由一個不透明的布袋里裝有7個球，其中2個紅球，5個白球，它們除顏色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：從中任意摸出1個球，則摸到紅球的概率是：＝，
故選：C．
3．（3分）若⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為3cm，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在圓外B．點A在圓上C．點A在圓內(nèi)D．不能確定
【答案】C
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為3cm，
即點A到圓心O的距離小于圓的半徑，
∴點A在⊙O內(nèi)．
故選：C．
4．（3分）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）
A．平移B．旋轉(zhuǎn)C．軸對稱D．黃金分割
【答案】D
【分析】利用黃金分割比的意義解答即可．
【解答】解：∵每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618，
又黃金分割比為≈0.618，
∴其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，
故選：D．
5．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】C
【分析】由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠CAD＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠B的度數(shù)．
【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故選：C．
6．（3分）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點且EF∥BC，AE：BE＝3：2，若△AEF的面積為9，則四邊形BCFE的面積為（ ）
A．4B．6C．12D．16
【答案】D
【分析】先根據(jù)△AEF∽△ABC，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝（）2，再利用比例的性質(zhì)得到AE：AB＝3：5，接著求出△ABC的面積，然后計算△ABC與△AEF的面積差即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2，
∵AE：BE＝3：2，
∴AE：AB＝3：5，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝×9＝25，
∴四邊形BCFE的面積＝25﹣9＝16．
故選：D．
7．（3分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦AB長為8米，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【答案】B
【分析】過O點作半徑OD⊥AB于E，如圖，由垂徑定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理計算出OE，然后即可計算出DE的長．
【解答】解：過O點作半徑OD⊥AB于E，如圖，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2m．
故選：B．
8．（3分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的圖象上三個點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【答案】D
【分析】由題意可得，拋物線y＝ax2﹣2ax+b的對稱軸為直線x＝﹣＝1，a＜0，開口向下，x＝1時有最大值y3，再根據(jù)x1＜1＜x2，x1+x2＜2，可得y2＞y1即可得出答案．
【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+b的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∵a＜0，
∴開口向下，
∴x＝1時有最大值y3，
∵x1＜1＜x2，x1+x2＜2，
∴A、B在x＝1的兩側(cè)，且A離著對稱軸較遠(yuǎn)，
∴y2＞y1，
∴y3＞y2＞y1．
故選：D．
9．（3分）如圖，△ABC中，BC＝6，BD是中線，E是BD上一點，作射線AE，交BC于點F，若BE＝2DE，則FC＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【分析】先根據(jù)重心的性質(zhì)得到點E為△ABC的重心，則AF為BC邊上的中線，于是可得到FC的長．
【解答】解：∵BD是中線，BE＝2DE，
∴點E為△ABC的重心，
∴AF為BC邊上的中線，
∴FC＝BF＝BC＝×6＝3．
故選：C．
10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，且OA＝kOC，有下列結(jié)論：；③k2ac﹣kb+1＝0；④，其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①④B．①③④C．①③D．②③④
【答案】B
【分析】依據(jù)題意，由拋物線開口向下，從而a＜0，又當(dāng)x＝0時，y＝c＞0，則OC＝c，故OA＝kOC＝kc，可得A（﹣kc，0），結(jié)合對稱軸是直線x＝﹣＞0，且a＜0，從而b＞0，進(jìn)而可以判斷①；
依據(jù)題意，由拋物線與x軸有兩個交點，從而Δ＝b2﹣4ac＞0，又a＜0，則＜0，故可判斷②；
依據(jù)題意，由A（﹣kc，0）在拋物線y＝ax2+bx+c的圖象上，則ak2c2﹣kbc+c＝0，結(jié)合c≠0，可以判斷③；
依據(jù)題意，令y＝ax2+bx+c＝0，故拋物線與x軸的兩交點橫坐標(biāo)x1，x2滿足，x1?x2＝，結(jié)合OA?OB＝﹣x1，x2，從而可以判斷④．
【解答】解：由題意，∵拋物線開口向下，
∴a＜0．
∵當(dāng)x＝0時，y＝c＞0，
∴OC＝c．
∴OA＝kOC＝kc．
∴A（﹣kc，0）．
∵對稱軸是直線x＝﹣＞0，且a＜0，
∴b＞0．
∴abc＜0，故①正確．
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
又∵a＜0，
∴＜0，故②錯誤．
∵A（﹣kc，0）在拋物線y＝ax2+bx+c的圖象上，
∴ak2c2﹣kbc+c＝0．
又c≠0，
∴k2ac﹣kb+1＝0，故③正確．
由題意，令y＝ax2+bx+c＝0，
∴拋物線與x軸的兩交點橫坐標(biāo)x1，x2滿足，x1?x2＝．
又∵OA?OB＝﹣x1，x2，
∴OA?OB＝﹣，故④正確．
綜上，正確的是①③④．
故選：B．
二、填空題（本題共有6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）二次函數(shù)y＝x2+2x的對稱軸是直線 x＝﹣1 ．
【答案】x＝﹣1．
【分析】化成頂點式即可得解．
【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)為y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴二次函數(shù)為y＝x2+2x的對稱軸是直線x＝﹣1．
故答案為：x＝﹣1．
12．（3分）若＝，則＝ ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】直接利用已知將原式變形進(jìn)而得出x，y之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴2x+2y＝3x，
故2y＝x，
則＝．
故答案為：．
13．（3分）如圖，已知邊長為5cm的正方形二維碼，若想估算出二維碼黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取100個點，有70個點在黑色部分，則黑色部分的面積約為 17.5 cm2．
【答案】17.5．
【分析】用正方形的面積乘以點落在黑色部分的頻率即可得出答案．
【解答】解：黑色部分的面積約為5×5×＝17.5（cm2），
故答案為：17.5．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在CD的延長線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝ 140 度．
【答案】140．
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ADC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC，再根據(jù)圓周角定理計算即可．
【解答】解：∵∠ADE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADE＝180°﹣70°＝110°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝140°，
故答案為：140．
15．（3分）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80m，高度為200m．則離地面150m處的水平寬度（即CD的長）為 40m ．
【答案】40m．
【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意，設(shè)出拋物線解析式，然后根據(jù)點（40，0）在拋物線上，可以求出拋物線解析式，再將y＝150代入求出x的值，即可得到CDD的值．
【解答】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2+200，
由圖可知：點（40，0）在該拋物線上，
∴0＝a×402+200，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+200，
當(dāng)y＝150時，150＝﹣x2+200，
解得x1＝﹣20，x2＝﹣20，
∴點C的坐標(biāo)為（﹣20，150），點D的坐標(biāo)為（20，150），
∴CD＝20﹣（﹣20）＝20+20＝40，
故答案為：40m．
16．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處，延長EF，與∠ABF的平分線相交于點M，BM交AD于點N．當(dāng)時，的值是 ．
【答案】．
【分析】過點N作NG⊥BF于點G，證明△NFG∽△BFA，得到邊之間的關(guān)系，設(shè)AN＝x，設(shè)FG＝y(tǒng)，可求得AB＝BG＝（）x，AF＝（）y，再由勾股定理，得AB2+AF2＝BF2，可解出y＝x，從而可求出答案．
【解答】解：過點N作NG⊥BF于點G，
∵NF＝AN+FD，AN+NF+FD＝AD，
∴NF+NF＝AD，
∴NF＝（）AD＝（）BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝（）BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴＝＝＝，
∴AB＝（）NG，F(xiàn)A＝（）FG，
設(shè)AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝（）x，
設(shè)FG＝y(tǒng)，則AF＝（）y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴[（）x]2+[（）y]2＝[（）x+y]2，
解得y＝x．
∴BF＝BG+GF＝（）x+x＝（）x．
∴＝＝＝．
故答案為：．
三、解答題（本題共有8小題，共72分.請務(wù)必寫出解答過程）
17．（8分）如圖，有4張分別印有2023年杭州亞運(yùn)會吉祥物和會徽的卡片：A宸宸、B琮琮、C蓮蓮、D潮涌．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．
（1）第一次取出的卡片圖案為“D潮涌”的概率為 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張卡片為“A宸宸”的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)概率公式即可求解；
（2）根據(jù)題意，畫出樹狀圖，進(jìn)而根據(jù)概率公式即可求解．
【解答】解：（1）共有4張卡片，
第一次取出的卡片圖案為“D潮涌”的概率為，
故答案為：．
（2）樹狀圖如圖所示：

由圖可以看出一共有16種等可能結(jié)果，其中至少一張卡片圖案為“A宸宸”的結(jié)果有7種．
∴P（至少一張卡片圖案為“A宸宸”）＝．
答：兩次取出的2張卡片中至少有一張圖案為“A宸宸”的概率為．
18．（8分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，其中點A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．
（1）畫出△A1OB1；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中線段OB掃過的圖形的面積為 π ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點A、B的對應(yīng)點B1、A1即可；
（2）先計算出OB的長，然后利用扇形面積公式計算．
【解答】解：（1）如圖，△A1OB1為所作；
（2）OB＝＝，
在旋轉(zhuǎn)過程中線段OB掃過的圖形的面積＝＝π．
故答案為π．
19．（8分）中國高鐵近年來用震驚世界的速度不斷發(fā)展，已成為當(dāng)代中國一張耀眼的“國家名片”，修建高鐵時常常要逢山開道、遇水搭橋，如圖，某高鐵在修建時需打通一直線隧道MN（M、N為山的兩側(cè)），工程人員為了計算M、N兩點之間的直線距離，選擇了在測量點A、B、C進(jìn)行測量，點B、C分別在AM、AN上，現(xiàn)測得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直線隧道MN的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴，
∵BC＝45
∴MN＝3000，
答：直線隧道MN長為3000米．
20．（8分）如圖，若∠BAC＝90°，且AD⊥BC于點D．
（1）求證：△ABD∽△CAD；
（2）若BD＝4，CD＝9，求AD的長度．
【答案】（1）見解析；
（2）6．
【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出∠ADB＝90°，根據(jù)等角的余角相等，得出∠BAD＝∠C，結(jié)合∠ADB＝∠CDA，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．
∴∠ADB＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
又∵∠ADB＝∠CDA，
∴△ABD∽△CAD；
（2）解：∵△ABD∽△CBA，
∴，
又∵BD＝4，CD＝9，
∴AD2＝BD×CD＝36．
∴AD＝6（負(fù)值舍去）．
21．（8分）如圖，拋物線y＝﹣x2+4交x軸于A，B兩點，頂點為C．
（1）求△ABC的面積．
（2）在拋物線上是否存在點P，使得若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）8；
（2）（，2）或（﹣，2）或（，﹣2）或（﹣，﹣2）．
【分析】（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以先求出點A、B、C的坐標(biāo)，然后即可計算出△ABC的面積；
（2）先判斷，然后根據(jù)判定求出點P的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+4，
∴當(dāng)y＝0時，x＝2或x＝﹣2，
∵拋物線y＝﹣x2+4交x軸于A，B兩點，頂點為C，
∴點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點B的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，4），
∴AB＝4，OC＝4，
∴S△ABC＝＝＝8；
（2）在拋物線上存在點P，使得S△PAB＝S△ABC，
設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，
∵S△PAB＝S△ABC，AB＝4，S△ABC＝8，
∴＝×8，
解得m＝±2，
當(dāng)m＝2時，2＝﹣x2+4，得x＝±；
當(dāng)m＝﹣2時，﹣2＝﹣x2+4，得x＝±；
∴點P的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，2）或（，﹣2）或（﹣，﹣2）．
22．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC，CD⊥AB于點D，直徑BF交CD于點E．
（1）若∠FBC＝20°，求∠BAC的度數(shù)．
（2）求證：∠DBE＝∠DCB．
（3）若，BE＝4，求OE的長．
【答案】（1）70°；
（2）見解析；
（3）1．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠BCF＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠F＝90°﹣∠CBF＝70°，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝∠F＝70°；
（2）由題意可知∠BCF＝∠ADC＝90°，利用圓周角定理可得∠BAC＝∠BFC，根據(jù)內(nèi)角和為180°可得∠ACD＝∠FBC，因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，通過等量代換即可求解；
（3）根據(jù)角的互余可得∠FEC＝∠FCE，從而可得FE＝FC，設(shè)FC＝x，則BF＝4+x，根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】（1）解：∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BCF＝90°，
∵∠FBC＝20°，
∴∠F＝90°﹣∠CBF＝70°，
∴∠BAC＝∠F＝70°；
（2）證明：∵BF為⊙O的直徑，
∴∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，
∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBE＝∠BCD；
（3）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠DBE+∠FEC＝90°，
∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
設(shè)FC＝x，則BF＝4+x，
在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，
解得x＝2，
∴BF＝6，
∴OB＝BF＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1．
23．（10分）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）當(dāng)x1＝2，且b+c＝﹣6時，
①求b，c的值；
②當(dāng)﹣2≤x≤t時，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求證：．
【答案】（1）①當(dāng)b、c的值分別為2、﹣8；②t＝1；
（2）證明見解答．
【分析】（1）①由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
②當(dāng)﹣2＜t＜﹣1時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＝﹣2時，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，當(dāng)x＝t時，y＝t2+2t﹣8，則t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；當(dāng)t＞﹣1時，同理可解；
（2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，則x2＝﹣b，即（﹣b）2+b?（﹣b）+c＝0，即可求解．
【解答】（1）解：①當(dāng)x1＝2，則拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（2，0），且b+c＝﹣6，
則，解得：
即b、c的值分別為2、﹣8；
②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
當(dāng)﹣2＜t＜﹣1時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x＝﹣2時，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，當(dāng)x＝t時，y＝t2+2t﹣8，
則t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，
方程無解；
當(dāng)t＞﹣1時，y的最小值為﹣9，最大值為t2+2t﹣8，
則t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
（2）證明：∵x1＝3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個根，
∴x1+x2＝﹣b，
∴3x2+x2＝﹣b，
∴x2＝﹣b，
∴（﹣b）2+b?（﹣b）+c＝0，
∴c＝b2，
∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3，
∴．
24．（12分）如圖，⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OF＝3，P是上一點，連結(jié)CP，交AB于點E，連結(jié)AD，交CP于點G，AP的延長線與CD的延長線相交于點Q．
（1）若CP⊥AD，求證：．
（2）在（1）的條件下，求線段EG的長．
（3）連結(jié)AC，若△ADQ的面積為4k，△PDQ的面積為，求△ACQ面積的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）＝+32．
【分析】（1）利用垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理得到∠PCD＝∠BAD，再利用圓周角定理的推論解答即可；
（2）連接OC，利用勾股定理求得CF，利用垂徑定理得到DF＝4，CD＝2CF＝8，利用勾股定理求得AD，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得CE＝2，EF＝2，最后通過證明△CEF∽△CDG，利用相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式解答即可得出結(jié)論；
（3）利用三角形的面積公式求得DQ＝k．，則FQ＝DF+DQ＝4+k，CQ＝CD+DQ＝8+k；利用三角形的面積公式得到△ACQ的面積，利用勾股定理表示出AQ2，利用相似三角形的判定與性質(zhì)列出比例式求得k值，則結(jié)論可求．
【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，CP⊥AD，
∴∠CFE＝∠AGE＝90°，
∵∠CEF＝∠AEG，
∴∠PCD＝∠BAD．
∴
（2）解：連接OC，如圖，
∵⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，
∴CF＝DF，CF＝＝4，
∴DF＝4，CD＝2CF＝8，
∴AF＝OA+OF＝5+3＝8，
∴＝＝4．
由（1）知：∠PCD＝∠BAD，
∵∠CFE＝∠AFD＝90°，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∴，
∴CE＝2，EF＝2．
∵∠CFE＝∠CGD＝90°，∠ECF＝∠DCG，
∴△CEF∽△CDG，
∴，
∴，
∴EG＝．
（3）解：∵△ADQ的面積為4k，
∴DQ?AF＝4k，
∵AF＝8，
∴DQ＝k．
∴FQ＝DF+DQ＝4+k，CQ＝CD+DQ＝8+k．
∴CQ?AF＝8（8+k）＝4k+32．
∴AQ2＝AF2+QF2＝82+（k+4）2＝k2+8k+80．
連接AC，如圖，
∴AC＝，
∵四邊形ACDP為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠QPD＝∠ACD，
∵∠Q＝∠Q，
∴△QPD∽△QCA，
∴，
∴，
∴3k2＝80，
∴k＝（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴k＝，
∴S△ACQ＝4k+32＝×4+32＝+32。

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